一類四階非線性特殊兩點邊值問題的正解

趙冬霞，張　玲，趙　微，田淑杰，唐　莉

(1.大慶師范學院 教師教育學院，黑龍江 大慶 163712；2.東北石油大學 數學與統計學院，黑龍江 大慶 163000)

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一類四階非線性特殊兩點邊值問題的正解

趙冬霞1，張玲1，趙微1，田淑杰2，唐莉1

(1.大慶師范學院 教師教育學院，黑龍江 大慶 163712；2.東北石油大學 數學與統計學院，黑龍江 大慶 163000)

摘要：非線性泛函分析在現代數學中處理非線性問題時有極為重要的作用，特別是在處理實際生活中出現的常見的微分方程問題時發揮著十分重要的作用，利用不動點定理，并結合Green函數的性質，證明了一類非線性四階特殊兩點邊值問題的正解存在性。

關鍵詞：錐不動點;非線性四階邊值問題;Green函數

0引言

非線性四階邊值問題在物理學、應用數學、航天、生物等領域有著極為廣泛的研究和應用，尤其是非線性四階邊值問題的正解具有深刻的意義。不少作者都曾對此問題有過研究，并且得到了一些結論。本文討論包含參數的非線性四階兩點邊值問題，當參數屬于一定范圍時，得出問題的正解。

1 問題與假設：

研究非線性四階邊值問題，即

(1)

本文假設如下：

μΦu≠u,?u∈?Kr,0≤μ≤1

2邊值問題的格林函數

下面為了研究格林函數的導數估計與上下界估計,給出如下引理。

滿足

3正解的存在性

邊值問題等價于如下形式的積分方程

其中

引理4Φ:K→K是緊算子，且為連續算子。

再由引理3知，

故有

即

故Φ:K→K是全連續算子。

現在證明定理1。

下證μΦu≠u,?u∈?Kr,μ≥1,采用反證法。

上式左右兩端乘以sinπt再取0到1得積分，得

4結語

本論文改善已有的研究方法,將微分方程理論與非線性泛函分析相結合,對一類含參數的四階邊值問題進行了研究，文章的關鍵是構造出Green函數，在適當的空間中來定義算子，將積分方程化為算子方程，再結合算子緊性與全連續討論，利用錐不動點定理，并結合Green函數性質，在非線性項滿足超線性或者次線性的條件下，證明了四階邊值問題正解的存在性。

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[責任編輯：崔海瑛]

作者簡介：趙冬霞(1983-)，女，黑龍江大慶人，講師，從事非線性問題研究。

基金項目：大慶師范學院自然科學基金項目(12ZR10)。

中圖分類號：O631

文獻標識碼：A

文章編號：2095-0063(2016)03-0039-05

收稿日期：2015-12-24

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.03.011