宋 偉
(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系,黑龍江 雞西 158100)
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由一個(gè)等腰梯形性質(zhì)給出一個(gè)內(nèi)積空間的特征
宋偉
(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系,黑龍江 雞西 158100)
摘要:對(duì)于內(nèi)積空間的特征,迄今為止學(xué)者們已經(jīng)取得了大量的成果。本文通過(guò)等腰梯形的一個(gè)性質(zhì)給出一個(gè)內(nèi)積空間的特征并予以證明。
關(guān)鍵詞:等腰梯形;內(nèi)積空間; 范數(shù)
1預(yù)備知識(shí)


圖1
定義1[2]稱E是一實(shí)賦范線性空間,是指E是一線性空間,并且對(duì)E中每一個(gè)元按一定法,則使其與一其非負(fù)實(shí)數(shù)‖x‖相對(duì)應(yīng),此對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足
(2) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(?x,y∈E)(三角不等式);
(3) ‖αx‖=|α|‖x‖(?α∈R,?x∈E)(齊次性),






在歐氏空間E中滿足以下任意兩個(gè)條件的范數(shù)構(gòu)成的內(nèi)積,也就是說(shuō)E是一個(gè)內(nèi)積空間。


2內(nèi)積空間的一個(gè)特征
現(xiàn)將(Ⅰ)式引入內(nèi)積空間,對(duì)于給定的向量x,y,z,ω(如圖2)

圖2
此外,要證等腰梯形的條件需要引入如下式子:
‖ω-x‖=‖y‖;x=μ(ω-y)其中μ≥0,
情形1:當(dāng)μ=1時(shí),梯形平行的兩條邊等長(zhǎng),我們易知此時(shí)的梯形為矩形,此種情形被廣泛定義為實(shí)賦范線性空間的正交性。
情形2:當(dāng)μ為另外一種取值時(shí),引用公式(Ⅱ)就有



定理1 一個(gè)實(shí)賦范空間E是內(nèi)積空間當(dāng)且僅當(dāng)E中任意向量x,y,z∈E都有等式(Ⅳ)成立。
證明:必要性是顯然的,只需證明充分性。

對(duì)于E中任意兩個(gè)單位向量α,β,且α,β∈SE,此時(shí)上式變?yōu)?/p>



其次證明,再一次用等式(Ⅳ),用y代替z,得到
從這一等式能得到兩個(gè)結(jié)果:α,β∈SE,用α+β替換x,α替換y:





由于任意單位向量α,β,α,β∈SE,再由證明內(nèi)積空間的條件(1)可得所證空間為內(nèi)積空間,此定理得證。
[參考文獻(xiàn)]
[1] F. Suzuki.A Certain Property of Isosceles Trapezoid and its Application to Chain Circle Problems[J]. Math. mag.,1995,8(2):136-145.
[2] 張恭慶, 林源渠. 泛函分析講義[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2006: 26-28.
[3] M. M. DAY.Some characterizations of inner product spaces[J].Trans. Amer. Math. Soc.,1947(62):320- 337.
[責(zé)任編輯:崔海瑛]
Characterizations of inner product spaces through an isosceles trapezoid property
SONG wei
(Department of mechanical engineering,HeiLongjiang University of Technology,Jixi 158100,China)
Abstract:For the characteristics of the inner product space, scholars have made a lot os results so far. In this paper, on the basis of an isosceles trapezoid nature shows a characteristic of the inner product space and prove it.
Key words:isosceles trapezoid;inner produce space; norms
作者簡(jiǎn)介:宋偉(1982-),女,黑龍江雞西人,教師,從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)泛函分析方向研究。
中圖分類號(hào):0177
文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A
文章編號(hào):2095-0063(2016)03-0044-03
收稿日期:2016-02-28
DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.03.012