由一個(gè)等腰梯形性質(zhì)給出一個(gè)內(nèi)積空間的特征

宋　偉

(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，黑龍江 雞西 158100)

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由一個(gè)等腰梯形性質(zhì)給出一個(gè)內(nèi)積空間的特征

宋偉

(黑龍江工業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，黑龍江 雞西 158100)

摘要：對(duì)于內(nèi)積空間的特征，迄今為止學(xué)者們已經(jīng)取得了大量的成果。本文通過(guò)等腰梯形的一個(gè)性質(zhì)給出一個(gè)內(nèi)積空間的特征并予以證明。

關(guān)鍵詞：等腰梯形；內(nèi)積空間； 范數(shù)

1預(yù)備知識(shí)

圖1

定義1[2]稱E是一實(shí)賦范線性空間，是指E是一線性空間，并且對(duì)E中每一個(gè)元按一定法，則使其與一其非負(fù)實(shí)數(shù)‖x‖相對(duì)應(yīng)，此對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足

(2) ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(?x,y∈E)(三角不等式)；

(3) ‖αx‖=|α|‖x‖(?α∈R,?x∈E)(齊次性)，

在歐氏空間E中滿足以下任意兩個(gè)條件的范數(shù)構(gòu)成的內(nèi)積，也就是說(shuō)E是一個(gè)內(nèi)積空間。

2內(nèi)積空間的一個(gè)特征

現(xiàn)將(Ⅰ)式引入內(nèi)積空間，對(duì)于給定的向量x,y,z,ω(如圖2)

圖2

此外，要證等腰梯形的條件需要引入如下式子：

‖ω-x‖=‖y‖；x=μ(ω-y)其中μ≥0，

情形1：當(dāng)μ=1時(shí)，梯形平行的兩條邊等長(zhǎng)，我們易知此時(shí)的梯形為矩形，此種情形被廣泛定義為實(shí)賦范線性空間的正交性。

情形2：當(dāng)μ為另外一種取值時(shí)，引用公式(Ⅱ)就有

定理1 一個(gè)實(shí)賦范空間E是內(nèi)積空間當(dāng)且僅當(dāng)E中任意向量x,y,z∈E都有等式(Ⅳ)成立。

證明：必要性是顯然的，只需證明充分性。

對(duì)于E中任意兩個(gè)單位向量α,β，且α,β∈SE，此時(shí)上式變?yōu)?/p>

其次證明，再一次用等式(Ⅳ)，用y代替z，得到

從這一等式能得到兩個(gè)結(jié)果：α,β∈SE，用α+β替換x，α替換y：

由于任意單位向量α,β，α,β∈SE，再由證明內(nèi)積空間的條件(1)可得所證空間為內(nèi)積空間，此定理得證。

[參考文獻(xiàn)]

[1] F. Suzuki.A Certain Property of Isosceles Trapezoid and its Application to Chain Circle Problems[J]. Math. mag.，1995，8(2)：136-145.

[2] 張恭慶, 林源渠. 泛函分析講義[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2006: 26-28.

[3] M. M. DAY.Some characterizations of inner product spaces[J].Trans. Amer. Math. Soc.,1947(62):320- 337.

[責(zé)任編輯：崔海瑛]

Characterizations of inner product spaces through an isosceles trapezoid property

SONG wei

(Department of mechanical engineering，HeiLongjiang University of Technology，Jixi 158100，China)

Abstract：For the characteristics of the inner product space, scholars have made a lot os results so far. In this paper, on the basis of an isosceles trapezoid nature shows a characteristic of the inner product space and prove it.

Key words:isosceles trapezoid;inner produce space; norms

作者簡(jiǎn)介：宋偉(1982-)，女，黑龍江雞西人，教師，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)泛函分析方向研究。

中圖分類號(hào)：0177

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095-0063(2016)03-0044-03

收稿日期：2016-02-28

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2016.03.012