探微數學認知的過程及理解的層次

李倫

摘 要：從數學現象、數學心象到數學抽象，構成了認知心理學視角下的數學認知過程。學生的數學認知理解水平具有三個層次，即操作性理解、關系性理解以及遷移性理解。

關鍵詞：認知心理學；數學認知過程；認知理解層次

上世紀中葉，心理學逐步觸及數學教育領域問題。這標志其已逐漸脫離行為主義的桎梏，步入認知革命時期。從研究的方法上看，信息加工理論為認知心理學的知識建構提供了實踐支撐。它主張用計算機模擬人腦思維，認為人腦基本上是按照計算機模型進行工作的。從事物的本源上看，依據科學反映論的觀點，有機生命體在經歷長期進化的過程中，催生了人腦形成反映的機制和功能，即具有以概念形式反映客觀現象規律的能力。因此，數學認知過程可以認為是人腦與數學客體的反映與被反映的相互作用的過程。

一、數學認知的過程

從數學現象、數學心象到數學抽象的認知過程，就是源自認知心理學的視角，并體現反映論的觀點，可視為數學教學上的一種認知過程。

1.數學現象

數學現象是數學的本源。自然界、人世間或人為的設計構造中，各種數量關系、空間形式以及概率論和數理統計中的隨機現象，都能視為數學現象。現實世界中存在著大量的數學現象。而數學就是探究或論述數學現象的科學，數學教學則是闡述并運用數學現象規律的科學。對于教師而言，在教學過程中可以依據教學內容精心設計學習情景，引導學生主動發掘與觀察數學現象；對于學生而言，需理解數學的抽象知識與普遍方法的來源是基于數學現象的，要重視數學現象的匯集、整理和分析。

2.數學心象

數學心象指人們心目中表征數學現象時所映射出的直覺形象，這些直覺形象往往缺乏理性分析，呈現出變幻不定，甚至淡化模糊的狀態。在人們的社會實踐與數學學習歷程中，每個年齡階段都會接觸到各種數學現象，這些數學現象會通過個人耳聞目睹的感知在頭腦中形成各類直觀的心智圖形，簡稱數學心象。可見，數學現象是數學心象的客觀背景。數學現象作用于人腦生成映像的過程，就是人腦基于數學現實進行想象與默思的過程，其間存在著高度的對應關系。

3.數學抽象

人類的大腦經歷長期的進化和遺傳，已具有抽象概括的本能。在高層次的本能中還包含建模能力、想象力和猜想的能力。同時，人們又通過社會實踐和數學學習訓練不斷喚醒與提高這種抽象能力。一般而論，達到認知的抽象階段，其運行路徑是依托數學心象的積淀、碰撞與整合，促使人腦歸納提煉數學共性特質，進而形成數學概念，并創制出表征數學概念的符號和數學名詞，再運用抽象的數學知識與數學方法解決問題。

可見，學生的數學認知過程，始于自身接觸大量且具體的數學現象，進而在頭腦中產生直觀性的數學心象，再通過數學心象的積累、變化與重組等過程，最終形成概括性的數學抽象概念。

二、數學認知理解的層次

理解就是數學知識的內化過程，是新知與學生已有認知結構建立起的相關聯系。理解的程度則依賴于新知與認知結構聯系的多與少、強與弱。而數學知識具有二重性，它是對象性和過程性的統一，從而對其理解就表現出既有概念性理解，又有程序性理解的雙特征。因此，諸多因素促使學生數學認知理解水平存在層次性。

1.操作性理解

操作性理解指學生理解數學原理，掌握數學概念與數學事實，且熟悉數學技能的操作流程。其主要表現有：學生初步掌握數學“雙基”；能運用習得的知識解決語義含義和關系復雜性較簡單的數學問題，以及帶有操作性步驟的實際問題。但學生在解決陌生的問題時，常常手足無措，靈活性和獨創性明顯不足。研究表明，在小學階段，數學認知處于操作性理解水平的學生所占比例較高，對于解答帶有識記性與操作步驟的問題，他們的認知成績往往較好。

2.關系性理解

關系性理解指學生能在縱橫聯系中深刻認知數學的本質、規律以及相關聯的事物。其主要表現有：學生能明晰、理順概念間的上位、下位和同位的關系；能準確把握數學知識之間的內在聯系；能運用所學知識與經驗去同化、概括新知和解決一些綜合性問題。研究表明，對于數學知識的理解，小學階段的多數學生都處于關系性理解水平之下，其數學認知體系也尚未構建完善。當面對綜合性問題測試時，他們的成績并不理想。

3.遷移性理解

遷移性理解指基于學生的關系性理解水平，將數學基本思想、數學方法、數學基本活動經驗以及習得的數學知識遷移到其他場合。其主要表現有：學生能深刻認識數學基本思想和數學方法；靈活運用數學基礎知識以及數學基本活動經驗解決問題，自主將習得的數學知識遷移到陌生的情景中。研究表明，在小學階段，僅有少數學生的數學認知達到遷移性理解水平，在解決實際問題的能力測試中，大部分學生的成績遠低于預期。

綜上所述，學生的數學認知理解水平遵循由低到高的發展規律，呈現逐步深入的趨勢。學生要構建完善的數學認知結構，須達到關系性理解水平；要活化思維，在陌生的問題情景中應用數學，則須達到遷移性理解水平。

參考文獻：

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