Boussinesq方程的怪波解

劉芝鏜，斯仁道爾吉

(內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022)

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Boussinesq方程的怪波解

劉芝鏜，斯仁道爾吉

(內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022)

摘要：通過拓展同宿試驗法，構造了測試函數，借助Mathematica符號計算系統，給出了Boussinesq方程的精確解。應用同宿呼吸子極限方法，得出Boussinesq方程的呼吸子孤立波解和有理呼吸波解，并發現有理呼吸波解恰好是Boussinesq方程的怪波解。

關鍵詞：Boussinesq方程；同宿試驗法；同宿呼吸子極限法；怪波解

0引言

真實怪波在海洋學[1]、超流體[2]、光學纖維[3-4]和經濟學[5]等諸多領域內都存在，從而引起人們的極大關注。隨著對怪波的深入研究，相繼提出了尋找非線性方程怪波解的反散射方法[6]、Darboux變換法[7]、代數幾何解[8]和Hirota方法[9]等具體方法。

Boussinesq方程及其變形方程作為波傳播形變的數學模型，在淺水波的研究中有著廣泛應用。對于Boussinesq方程，文獻[10]利用雙函數法給出了新的顯式精確行波解。文獻[11]利用G′/G展開法給出了其精確解。文獻[12]利用首次積分法求出其精確尖波解。文獻[13]通過對同縮軌道的研究給出了其周期解等。此外，對于各類變形Boussinesq方程也有許多研究，如文獻[14]利用F-展開法求出了變形Boussinesq方程組的周期解；文獻[15]利用簡化齊次平衡方法求出了變形Boussinesq方程組的多重孤波解、有理函數解及周期解；文獻[16]研究了廣義Boussinesq方程光滑解的整體存在性與解的穩定性；文獻[17]研究了系列Boussinesq方程的Painlevé性質與B?cklund變換等。

本文旨在研究Boussinesq方程的怪波解，即由Boussinesq方程的平凡解出發，利用文獻[18]所提出的拓展同宿試驗法(extended homoclinic test approach，EHTA)求出Boussinesq方程的精確解，再利用文獻[19]所提出的同宿呼吸子極限法(homoclinic breather limit method，HBLM)對所得出的呼吸子孤立波解取極限，給出Boussinesq方程的怪波解。本文所給出Boussinesq方程怪波解的結果有助于了解和解釋Boussinesq方程描述的物理現象的本質屬性。

1 Boussinesq方程的精確解

考慮Boussinesq方程：

utt+αuxx+β(u2)xx+γuxxxx=0，

(1)

其中：α,β,γ都是非零的常數。

通過Painlevé分析，取Boussinesq方程的平凡解u0，并引入變換

(2)

其中：f為關于x和t的實函數。

將式(2)代入方程(1),積分兩次并令積分常數為0，方程(1)化為：

(3)

根據Hirota雙線性算子

(4)

方程(3)寫成雙線性形式：

(Dt2+(α+2u0β)Dx2+γDx4)f·f=0。

(5)

根據EHTA，取測試函數

f=e-P(x-wt)+b1cos(p1(x+w1t))+b2ep(x-wt)，

(6)

其中：p，p1，w，w1，b1，b2為待定系數。

將測試函數(6)代入式(5)并令sin(p1(x+w1t)),cos(p1(x+w1t)),ejp(x-wt),sin(p1(x+w1t))ejp(x-wt),cos(p1(x+w1t))ejp(x-wt)的系數為0，則得到關于p,p1,b1,b2,w,w1的非線性代數方程組：

(7)

利用Mathematica符號計算系統對方程組(7)進行求解，并一一列出與此相應的方程(1)的精確解:

b2>0，b1為任意參數。

方程(1)的解為：

(8)

b2>0，p1為任意參數。

方程(1)的解為：

(9)

b1為任意參數。

方程(1)的解為：

(10)

2Boussinesq方程的怪波解

令方程組(7)中p=p1，得到以下方程組：

(11)

由方程組(11)化簡求出：

(12)

其中：w1,w,b2為自由常數。

(13)

(14)

將式(13)和式(14)代入式(2)，方程(1)的解為：

(15)

(16)

對于式(16)，令b2=1，得到：

(17)

(18)

式(18)是Boussinesq方程的有理解并且是呼吸子類型的解。當x→±∞時，上述解趨于0。并且Uroughwave的振幅在短時間內是周圍波振幅的2倍到3倍，所以它還是短時間內形成的怪波，因此式(18)是Boussinesq方程的怪波解。

3結束語

本文首先通過拓展同宿試驗法得到Boussinesq方程的3個精確解，再利用同宿呼吸子極限方法，將其中的呼吸子孤立波通過取周期無窮大找到Boussinesq方程的有理呼吸子解，這個解恰好是Boussinesq方程的怪波解。

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基金項目：國家自然科學基金項目(11261037,10461006);內蒙古自然科學基金項目(2014MS0111);內蒙古師范大學“十百千”人才培養工程基金項目(RCPY-2-2012-K-033);內蒙古師范大學研究生科研創新基金項目(CXJJS15073);內蒙古自治區研究生教育創新計劃基金項目

作者簡介：劉芝鏜(1990-),女,山西平遙人,碩士生；斯仁道爾吉(1954-),男,蒙古族,內蒙古正藍旗人,教授,博士,博士生導師,主要研究方向為孤立子與可積系統理論及應用.

收稿日期：2016-04-13

文章編號：1672-6871(2016)05-0067-04

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.05.015

中圖分類號：O175.29

文獻標志碼：A