直線與雙曲線的相交問題
——教材原題變式拓展（一）

蔣麗亞

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思維訓練營/例題延伸

直線與雙曲線的相交問題
——教材原題變式拓展（一）

蔣麗亞

課本例題和習題是同學們理解、掌握知識的載體，數學課堂教學中，教師可以根據學習目標和同學們交流反饋的信息精選題目，并通過變式訓練讓同學們在解答探索過程中深化對知識的理解和應用.下面我們以“反比例函數”這一章中的一道課本習題為例，對它進行一些變式探究，來解決直線與雙曲線的交點問題.

（1）求k的值，并畫出這個反比例函數的圖像；

（2）根據反比例函數的圖像，指出當-4< x<-1時，y的取值范圍.

【思路點撥】這是直線與雙曲線相交的計算問題，解決問題的關鍵是圖像的交點同時滿足兩個函數解析式，把x=2代入正比例函數y=2x，求出縱坐標y=4，代入反比例函數，即可求出k的值.再結合圖1，求出-4< x<-1時，y的取值范圍是-8

圖1

（1）試確定這兩個函數的表達式；

（2）求出這兩個函數圖像的另一個交點B的坐標，并根據圖像寫出使反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍.

圖2

【思路點撥】可以把A（1，-k+4）分別代入兩個函數關系式中，得到關于k、b的二元一次方程組，求出兩個函數表達式.聯立方程組，求出交點B的坐標，再根據圖像得到反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍.

【說明】變式1的兩個函數和點A的坐標都含有兩個不同的參數，問題的關鍵是把點A的坐標代入兩個表達式，聯立方程組，求出這兩個參數.這里需要解兩個不同的二元一次方程組，求表達式時是解關于參數k、b的方程組，求交點坐標時是解關于x、y的方程組，兩者要區別開來.

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若直線y=x+b與反比例函數的圖像只有一個公共點，求b的值.

又∵因為直線經過一、三、四象限，

【說明】把變式2的反比例函數和一次函數兩個表達式聯立方程組，含有參數b，這里需要根據方程根的判別式與交點個數的關系求出參數b的值.

【思路點撥】先根據不等式組求出a的取值范圍，再把一次函數和反比例函數的表達式聯立方程組，根據a的取值范圍判斷根的判別式的情況，從而得出公共點的個數.

∵因為-2

以上三個變式都是圍繞直線與雙曲線的交點情況展開，由簡單到復雜，由確定到不確定.同學們解決這類問題的關鍵是把兩個函數表達式聯立方程組，由根的判別式和交點個數的關系解決問題.再結合已有的知識和數學思想方法靈活應用，如方程、不等式、分類思想、轉化思想，從而解決各類直線與雙曲線的交點問題.

作者單位：（江蘇省常州市武進區前黃實驗學校）