挖掘基本模型巧解題

談岳

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挖掘基本模型巧解題

談岳

中考中涉及反比例函數的考點不僅考查反比例函數的相關性質，而且常與其他幾何圖形相結合考查，因此考查面較廣又比較復雜，很多同學常常找不到解題突破口.筆者認為，這類題型的解決方法還是有章可循的，其中模型法的應用常常能讓問題簡單化.下面就來談談反比例函數的三個模型及其應用，供參考.

一、反比例函數三個模型（證明略）

①

結論：S矩形ABCO=2S△ABO=S△OCD=S梯形ABCD.

②

結論：AB=CD.

③

結論：BD∥CE.

注：以上三個模型中在反比例函數圖像上的點都是圖像上的任一點.

二、模型應用

A.8B.6C.4D.2

圖1

解：∵點P在雙曲線m上，

∴S矩形OCPD=

又∵點A、B在雙曲線n上，

∴S四邊形PAOB=S矩形OCPD-S△OAC-S△OBD=10-3-3=4.故選C.

圖2

【分析】由模型③，可得EF∥AC，所以△BEF∽△BAC，

【解答】可得EF∥AC，所以△BEF∽△BAC.

又因為E是AB的中點，S△BEF=2，

即S△BEF∶S△ABC=1∶4，S矩形AOCB=16，

③滿足題設的k的取值范圍是0＜k≤12；

請寫出所有正確命題的序號_______.

圖3

（3）因為點F不經過點C（4，3），所以k≠12，故命題③錯誤；

解：過E作EM⊥OB于M，

命題①錯誤.理由如下：

命題②正確.理由如下：

又∵EN=CE，∴直線EF為線段CN的垂直平分線，即點N與點C關于直線EF對稱，故命題②正確.

命題③錯誤.理由如下：

由題意，點F與點C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命題③錯誤.

命題④正確.理由如下：

為簡化計算，不妨設k=12m，則E（4m，3），F（4，3m）.

∴D（0，3m+3）；G（4m+4，0）.

如圖4，過點E作EM⊥x軸于點M，則OM=AE=4m，EM=3.

圖4

在Rt△DAE中，AD=OD-OA=3m，AE= 4m，由勾股定理得：DE=5m；

在Rt△EMG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5.

∴k=12m=1，故命題④正確.

綜上所述，正確的命題是：②④.

【點評】本題綜合考查了反比例函數圖像上點的坐標特征、基本模型、待定系數法、矩形及勾股定理等多個知識點，有一定的難度.本題計算量較大，解題過程中注意認真計算.

總之，利用反比例函數的以上3個模型，是解決反比例函數問題的重要方法之一，我們在學習過程中應該重視這些幾何模型的掌握和應用.

作者單位：（江蘇省常州市武進區前黃實驗學校）