深入概念，活學(xué)活用

吳存紅

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深入概念，活學(xué)活用

吳存紅

一、深入理解兩個概念

概念1二次根式

【概念深入】二次根式的定義是從形式上界定的（不是本質(zhì)定義），只要具備的形式就是二次根式，這里a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，同時a必須大于或等于0.

例1下列各式中，哪些是二次根式？

我們可以利用下面的思維導(dǎo)圖進(jìn)行直觀的判斷：

解：（3）（4）（5）（6）是二次根式.

【小結(jié)提升】判斷一個式子是不是二次根式，一定要緊扣定義，看式子是否完全具備二次根式的兩個特征：

（2）看是否“合法”：被開方數(shù)a需要滿足a≥0.不滿足其中任何一個特征，就不是二次根式.

概念2最簡二次根式

一般地，如果一個二次根式滿足下面兩個條件：

（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含分母.

這樣化簡后得到的二次根式叫做最簡二次根式.

【概念深入】第（1）條指被開方數(shù)中的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都要小于根指數(shù)2，如果被開方數(shù)是多項式，要先因式分解，再進(jìn)行判斷.第（2）條指被開方數(shù)中必須是整數(shù)或整式，不能含分?jǐn)?shù)和分式.

【小結(jié)提升】把二次根式化簡為最簡二次根式不僅使結(jié)果看起來更簡潔，而且為二次根式的加減提供了便利.二次根式的加減實質(zhì)就是合并同類二次根式，而同類二次根式就是指化為最簡二次根式后被開方數(shù)相同的二次根式.下面我們通過一個例題來具體看一看.

例3計算：

【小結(jié)提升】同學(xué)們在進(jìn)行二次根式的運算時可以類比有理數(shù)的運算和整式的運算，將數(shù)與式進(jìn)行類比，將合并同類二次根式與合并同類項進(jìn)行類比，形成知識鏈.

二、活用雙重非負(fù)性

活用1：“三英聚會”

在初中階段，有三種最常見的具有非負(fù)性質(zhì)的代數(shù)式：絕對值代數(shù)式、偶次冪代數(shù)式、二次根式.當(dāng)這三種代數(shù)式聚在一起的話，會擦出什么樣的火花呢？我們一起來看下面的例題：

∴ab-c=-1.

【小結(jié)提升】如果幾個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每個非負(fù)數(shù)均等于零，從而可求出a、b、c的值，解答所求問題.

活用2：“門當(dāng)戶對”

∴2-x≥0.

解得：x≤2.

活用3：“左右為難”

當(dāng)同一問題的二次根式被開方數(shù)相反時，能得到什么結(jié)論呢？下面我們來看一下.

解：由二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性可知：x-4≥0且4-x≥0，解得x=4.于是y=-5.

故（x+y）2016=1.

【小結(jié)提升】每個二次根式的被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù)，如果一個問題里面出現(xiàn)的兩個二次根式的被開方數(shù)恰好為相反數(shù)（比如則要同時滿足兩個條件：a≥0和-a≥0（解得a≤0）.我們把a的兩個取值范圍放到同一個數(shù)軸上（如圖1所示），就會發(fā)現(xiàn)a真的是“左右為難”，不過好在還有一條“活路”（即a=0）.這樣，問題便迎刃而解！

圖1

作者單位：（江蘇省太倉市沙溪實驗中學(xué)）