什么是無理數(shù)？

周瑜珍

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探究進(jìn)行時/實驗方案

什么是無理數(shù)？

周瑜珍

實驗課題

無理數(shù)的概念.

實驗背景

無理數(shù)概念的建立要有一定的抽象思維和初步的極限概念.以往同學(xué)們對無理數(shù)概念的意義理解不夠，有時會有一些誤解，如認(rèn)為“無理數(shù)就是帶根號的數(shù)”，現(xiàn)“蘇科版”教材在初一實數(shù)一章中直接給出無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，但這可能也會讓同學(xué)們體會不到數(shù)的擴(kuò)充的必要性.

因此現(xiàn)對無理數(shù)概念的建立做一個新的設(shè)計：首先通過活動，讓同學(xué)們親身經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，體會無理數(shù)概念的意義，再進(jìn)一步通過探索活動增進(jìn)對無理數(shù)概念意義的理解，即無限不循環(huán)的認(rèn)識.

實驗?zāi)康?/p>

通過活動，讓同學(xué)們親身經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，通過探索活動增進(jìn)對無理數(shù)概念的理解.

實驗難點

尋找一個平方為2的數(shù).

實驗準(zhǔn)備

單位為1的數(shù)軸、單位為1的兩個正方形、圓規(guī)、刻度尺.

實驗過程

活動一：有兩個邊長為1的小正方形，剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個大的正方形.

【活動說明】通過剪紙、拼圖等操作，將兩個正方形組合成一個大正方形，發(fā)現(xiàn)大正方形的面積為2.

活動二：討論：若設(shè)大正方形的邊長為a，則a要滿足什么條件？

活動想法記錄：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【活動說明】體會a2=2的幾何意義，感受正方形邊長和面積之間的關(guān)系，為將a數(shù)值化做準(zhǔn)備.

活動三：能否在下面的數(shù)軸上找到表示數(shù)值為a的點 （單位長度與小正方形單位長度一致）.

【活動說明】可以通過圓規(guī)的量取或是直接將大正方形邊長疊加在數(shù)軸上等試驗方式獲得a點，通過動手操作及圖形直觀，讓同學(xué)們了解該點能在數(shù)軸上表示，即a是實數(shù)，為下面的學(xué)習(xí)做鋪墊.

活動四：根據(jù)以上的實驗，請猜想這個數(shù)的值為多少？

1.若a是整數(shù)，請寫出具體的數(shù)值；若不是，請說明理由.

2.若a是分?jǐn)?shù)，請寫出具體的數(shù)值；若不是，請說明理由.

3.你有什么發(fā)現(xiàn)？

【活動說明】通過剛才的實驗，同學(xué)們可以確定a顯然不是一個整數(shù)，是介于1與2之間的一個數(shù).第二小問是幫助同學(xué)們進(jìn)行思考和討論的，最后可以得出：a既不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)，它不屬于有理數(shù)，但屬于實數(shù).a確實是存在的，但不是有理數(shù)，那是什么數(shù)呢？a又究竟是多少呢？通過反復(fù)計算、實驗可以發(fā)現(xiàn)a是無限不循環(huán)小數(shù)，可類比除不盡的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).這發(fā)現(xiàn)也可糾正分?jǐn)?shù)即有限小數(shù)的錯誤判斷.

實驗小結(jié)

1.無理數(shù)定義：

無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).

2.嘗試畫出實數(shù)分類的思維導(dǎo)圖：

【活動小結(jié)】

數(shù)學(xué)概念具有二重性，即過程性和對象性，從而決定了數(shù)學(xué)思維、理解的兩步性.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識背景，即“情境”相互聯(lián)系.在實際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使同學(xué)們利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和經(jīng)驗“同化”和“索引”出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識，促進(jìn)對新知識的意義認(rèn)識.

同學(xué)們的已有經(jīng)驗是影響概念學(xué)習(xí)的重要因素之一.有的同學(xué)能夠從過去的經(jīng)驗中找出與新概念相關(guān)的概念，在比較它們異同的基礎(chǔ)上建立新的概念，而有的同學(xué)則會受這種經(jīng)驗的干擾，產(chǎn)生錯誤的概念理解，認(rèn)為a不是整數(shù)，那么a就是小數(shù)，而小數(shù)就是分?jǐn)?shù)，所以a肯定是分?jǐn)?shù).這就是有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知識的學(xué)習(xí)的干擾.

同學(xué)們在實驗過程中可一起討論和交流，在交流中使數(shù)學(xué)概念得以深入和發(fā)展.這樣的討論和交流不僅可以更正錯誤認(rèn)識，彼此達(dá)成一致觀點，而且還能建立一個主動探索、自主學(xué)習(xí)、體驗數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

作者單位：（江蘇省太倉市雙鳳中學(xué)）