廣義集值變分不等式的強(qiáng)制性條件

李擇均，何詣然

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

廣義集值變分不等式的強(qiáng)制性條件

李擇均，何詣然*

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

通過引入一些強(qiáng)制性條件，獲得一些廣義集值變分不等式解的存在性的結(jié)果，其中涉及到的算子f是最近被S．Laszló介紹的ql型算子，同時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)關(guān)于ql型算子的開映射定理，作為應(yīng)用，建立了一個(gè)擾動的廣義集值變分不等式解集的擾動分析．

廣義集值變分不等式;強(qiáng)制性條件;ql型算子;擾動

1 預(yù)備知識

設(shè)(X，‖·‖)為實(shí)Banach空間，X*為X的對偶空間，K?X為非空閉凸子集．設(shè)T:K→2X*為非空集值映射，映射f:K→X，〈·，·〉表示對偶集X*和X上的數(shù)量積．所謂的廣義集值變分不等式GVI(T，f，K)是指:求 x∈K，使得存在x*∈T(x)滿足

特別地，若映射f是K上的恒等映射時(shí)，則廣義集值變分不等式GVI(T，f，K)退化到經(jīng)典的集值變分不等式VI(T，K)．VI(T，K)是指:求x∈K，使得存在x*∈T(x)滿足

M．A．Noor在文獻(xiàn)［1］中考慮如下變分不等式:設(shè)H是Hilbert空間和為非空閉凸集．設(shè)T:H→H，f:H→H，映射T和f都是連續(xù)映射，求x∈K，使得f(x)∈K，滿足

當(dāng)f(K)=K時(shí)，(1)式和M．A．Noor［1］提出的變分不等式本質(zhì)上為同一問題．J．C．Yao［2］研究了(1)式的變分不等式問題，其中所涉及的算子f為連續(xù)線性算子．S．Laszló［3］擴(kuò)展了J．C．Yao的研究，將所涉及的算子f拓展為比線性算子更為廣泛的ql型算子．當(dāng)K是弱緊集時(shí)，文獻(xiàn)［2－4］已經(jīng)證明了一系列的GVI(T，f，K)解的存在性結(jié)果．然而，當(dāng)K不是弱緊集時(shí)，廣義集值變分不等式的解的存在性結(jié)果較少，見文獻(xiàn)［2］的推論3．4和文獻(xiàn)［4］的定理3．2．當(dāng)K沒有緊性時(shí)，在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上引入了幾個(gè)強(qiáng)制性條件，并且證明了廣義集值變分不等式的解的存在性，見本文定理4．1和定理4．2．

文獻(xiàn)［3］介紹了ql型算子并證明了它的許多性質(zhì)，例如:線性算子是ql型算子，但反之不一定成立．本文證明了一個(gè)關(guān)于ql型算子的開映射定理，見本文定理2．4．特別地，當(dāng)f為線性算子時(shí)能夠退化為已知的開映射定理．應(yīng)用獲得的開映射定理得到了一個(gè)GVI(T，f，K)解的存在性結(jié)果，見本文推論4．6．

研究擾動變分不等式的解集性質(zhì)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)主要內(nèi)容之一，見文獻(xiàn)［5－10］．本文應(yīng)用獲得的結(jié)論研究一個(gè)擾動的廣義集值變分不等式GVI(T+εf，f，K)．GVI(T+εf，f，K)是指:求x∈K和x*∈T(x)，使得

為非空閉凸子集，T:K→2Rn為上半連續(xù)且具有非空緊凸值的集值映射，f:Rn→Rn為連續(xù)的ql型算子且為雙射．在一個(gè)強(qiáng)制條件下，證明GVI(T+εf，f，K)有解和解集{S(T+εf，f，K):t∈(0，ε］}有界，其中ε＞0．特別地，當(dāng)f為恒等映射時(shí)，本文定理5．1和定理5．2能退化為文獻(xiàn)［6］中的定理4．1和定理4．5．

本文包含5個(gè)節(jié)．下一節(jié)介紹了需要使用的ql型算子的性質(zhì)和證明了ql型算子的一個(gè)新的性質(zhì)．第三節(jié)回憶廣義變分不等式GVI(T，f，K)解的存在性的結(jié)論和介紹了一些強(qiáng)制性條件．第四節(jié)通過使用強(qiáng)制性條件建立一系列GVI(T，f，K)解的存在性結(jié)果．第五節(jié)研究了一個(gè)擾動的廣義集值變分不等式．

2 ql型算子

設(shè)x，y∈K，［x，y］表示從點(diǎn)x到點(diǎn)y的連線段，故［x，y］={tx+(1－t)y:t∈［0，1］}．(x，y)表示線段［x，y］去掉端點(diǎn)x和y．co{D}表示集合D的凸包．一個(gè)拓?fù)淇臻g如果任意2個(gè)不同的點(diǎn)各自有一個(gè)開領(lǐng)域互不相交，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)Hausdroff空間，或T2空間．例如度量空間是T2空間，更多的T2空間內(nèi)容見文獻(xiàn)［11］．由文獻(xiàn)［12］的命題3．3知弱拓?fù)洇?X，X*)為T2空間．對于r＞

命題2．1［3］設(shè)函數(shù)．函數(shù)f為單調(diào)遞增(遞減)當(dāng)且僅當(dāng)對任意a，b∈I，a≤b，z∈［a，b］∩I，都有f(z)∈［f(a)，f(b)］(相應(yīng)地，f(z)∈［f(b)，f(a)］)．函數(shù)f為嚴(yán)格單調(diào)遞增(遞減)當(dāng)且僅當(dāng)對任意a，b∈I，a≤b，z∈［a，b］∩I，都有f(z)∈(f(a)，f(b))(相應(yīng)地，f(z)∈(f(b)，f(a)))．

定義2．1［3］設(shè)X和Y是2個(gè)線性空間和算子f:D?X→Y．如果對任何x，y∈D和z∈［x，y］∩D，都有f(z)∈［f(x)，f(y)］，那么算子f被稱為ql型算子．

命題2．2［3］設(shè)函數(shù)是ql型算子當(dāng)且僅當(dāng)f為單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)．

命題2．3［3］設(shè)X和Y是2個(gè)線性空間和f:X→Y是一線性算子，則f是ql型算子．

注2．1［3］從命題2．1和命題2．2容易得出，f:R→R是ql型算子，但不一定是線性算子．

定義2．2［3］設(shè)X是一個(gè)線性空間，是凸集．函數(shù)f:稱為擬凸函數(shù)，若對任意x，y∈D和t∈［0，1］，使得

若函數(shù)－f是擬凸函數(shù)，則f稱為擬凹函數(shù)．當(dāng)f既是擬凸函數(shù)，又是擬凹函數(shù)，則f稱為擬線性函數(shù)．

命題2．4［3］設(shè)X是一個(gè)線性空間，是凸集．函數(shù)，則f是ql型算子當(dāng)且僅當(dāng)f為擬線性函數(shù)．

注2．2［3］從命題2．4可知:f:X→R是ql型算子，但不一定是線性算子．

命題2．5［3］設(shè)X、Y、Z為3個(gè)線性空間，X．設(shè)f:D→Y，g:f(D)→Z為2個(gè)ql型算子，則g·f: D→Y是ql型算子．

下面將給出一些ql型算子的例子，這些例子能說明ql型算子是比線性算子更為廣泛的算子．

例2．1［3］設(shè)算子 A:［－1，1］×［－1，1］→R3，

則A是連續(xù)的ql型算子．

易知，算子S為線性算子，Q為單調(diào)算子，則算子S、Q為ql型算子．通過ql型算子的定義，可證算子P也是ql型算子．任意取x，y∈［－1，1］，設(shè)z∈［x，y］，則存在λ∈［0，1］，使得z=λx+(1－λ)y，通過計(jì)算能得到

易驗(yàn)證P(z)∈［p(x)，p(y)］，因此算子P是ql型算子．根據(jù)命題2．5得，算子A為連續(xù)的ql型算子．由0)，故算子A不是仿射算子．

注2．3［3］特別地設(shè)算子A:［－1，0］×{0}→．從ql型算子定義易得，算子A為連續(xù)的ql型算子，易證算子A為單射且不是仿射算子．

例2．2［4］設(shè) D:={f∈C［a，b］}|f(a)≥0?C［a，b］和算子S:D→RR，S(f)(x):=(f(a))2x，則有S是非線性的ql型算子．

定義2．3［3］設(shè)X是一個(gè)線性空間，Y是一個(gè)拓?fù)渚€性空間，映射．如果對任何收斂于0的序列和任意y∈D，使得x+tny∈D，則有當(dāng)n→∞時(shí)，f(x+tny)→f(x)，那么f稱為在點(diǎn)x處沿線結(jié)連續(xù)．如果f在D上的每一點(diǎn)都沿線結(jié)連續(xù)，則稱f在D上線結(jié)連續(xù)．

引理2．1［4］設(shè)X是一個(gè)線性空間，Y是一個(gè)拓?fù)渚€性空間并且Y也是Hausdorff空間．設(shè)是凸集，f:D→Y為沿線結(jié)連續(xù)的ql型算子，則對于任意x，y∈D，都有f(［x，y］)=［f(x)，f(y)］．如果f也是一個(gè)單射算子，那么對于任意x，y∈D，x≠y，都有f((x，y))=(f(x)，f(y))．

注2．4 文獻(xiàn)［3］的引理3．1是在Y是一個(gè)A1空間的條件下證明的，然而引理2．1是在Y是一個(gè)Hausdorff空間的條件下得出的結(jié)論．由于弱拓?fù)涫且粋€(gè)Hausdorff空間，故上述引理比文獻(xiàn)［3］的引理3．1更適用于弱拓?fù)淇臻g．

定理2．1［4］設(shè)X和Y是2個(gè)線性空間并且Y也是Hausdorff空間，D?X是凸集，f:D→Y為沿線結(jié)連續(xù)的ql型算子，則f(D)是凸集．

定理2．2［4］設(shè)X和Y是2個(gè)線性空間，設(shè)D?X是凸集，f:D→Y是ql型算子，則對任意有限個(gè)元素x1，x2，…，xn∈D和任意x∈co{x1，x2，…，xn}，都有f(x)∈co{f(x1)，f(x2)，…，f(xn)}．如果滿足引理2．1的假設(shè)，則有

定理2．3［12］(開映射定理) 設(shè)X和Y是2個(gè)實(shí)Banach空間，f是從X到Y(jié)的連續(xù)線性算子并且是滿射，則f將X中的任意開集映射為Y中的開集．此外，若f也是雙射，則f－1是從Y到X的連續(xù)線性算子．

定理2．4 設(shè)X=Rn，Y=Rm，以及f:X→Y是連續(xù)的ql型算子且為雙射，則f是開映射．

首先，證明下面的結(jié)論成立．

根據(jù)(4)式的結(jié)論，對任意h∈Y，‖h‖=1，存在th＞0，使得(4)式成立，則可以構(gòu)造一個(gè)非空集值映射Q:H→2R++，其中H={h∈Y:‖h‖=1}，對任意h∈H，Q(h)={th＞0:存在th＞0，使得y0+thh．設(shè)映射g:H→R++是集值映射Q的一個(gè)單值選擇，即對于任意h∈H，都滿足g(h)∈ Q(h)．若能證明，則對任意 t∈(0，，任意h∈H，都有故存在 y0的領(lǐng)域 B(y0，t)，B(y0，t)={y∈X:‖y－y0‖＜t}，使得，因此y0屬于f(U)的內(nèi)部．

注2．5 當(dāng)n=1，m=1，根據(jù)命題2．1和數(shù)學(xué)分析的知識容易證明定理2．4成立．當(dāng)n=2或3，m=2或3時(shí)，利用引理2．1、定理2．2和(4)式，通過簡單作圖能夠證明結(jié)論成立．特別地，當(dāng)f:Rn→ =g(hn)→0+．由映射Q和g的定義知，y0+thnhn∈，使得f(xn)=y0+thnhn．因?yàn)椤瑇n－x0‖ =ε，通過三角不等式，則有‖xn‖≤‖x0‖+ε，所以序列{xn}是有界序列，則存在收斂子序列{xnj}．取xnj→b，易證b∈(Bε)，然而y0+ thnhn=f(xn)→y0，則有f(b)=y0=f(x0)．顯然b≠x0，又因 f是單射，因此得到了一個(gè)矛盾，故Rn為連續(xù)線性映射且為雙射時(shí)，定理2．4能退化為Rn維空間中的開映射定理．

3 廣義集值變分不等式和強(qiáng)制性條件

定理3．1［4］設(shè)為非空弱緊凸子集，X為實(shí)Banach空間，以及f:K→X為(弱拓?fù)涞饺跬負(fù)?序列連續(xù)的ql型算子，設(shè)T:K→2X*為(弱拓?fù)涞椒稊?shù)拓?fù)?上半連續(xù)且具有非空緊值的映射，則有．此外，如果對任意x∈K，T(x)也是凸值，則有

若K是弱緊集時(shí)，定理3．1獲得了廣義集值變分不等式問題GVI(T，f，K)的解的存在性結(jié)果．本文主要研究K不是弱緊集時(shí)，GVI(T，f，K)的解的存在性結(jié)果．設(shè)非空閉凸集，X為實(shí)Banach空間．設(shè)T:K→2X*為非空集值映射，映射f:K→X．考慮下列強(qiáng)制性條件:

設(shè)X和Y是2個(gè)實(shí)Banach空間，算子G:X→Y．如果{xn}是在X的弱拓?fù)渲惺諗坑趚的任意序列，則有G(xn)在Y的弱拓?fù)渲惺諗坑贕(x)，那么算子T被稱為在x點(diǎn)(弱拓?fù)涞饺跬負(fù)?序列連續(xù)．顯然，若算子G在x點(diǎn)(弱拓?fù)涞椒稊?shù)拓?fù)?序列連續(xù)，則在點(diǎn)x處沿線結(jié)連續(xù)．算子F:X→2Y稱為(弱拓?fù)涞椒稊?shù)拓?fù)?上半連續(xù)，若對于任意點(diǎn)x0∈X，以及任意一包含F(xiàn)(x0)且為Y的范數(shù)拓?fù)渲械拈_集N，都存在屬于X的弱拓?fù)渲械膞0的領(lǐng)域M，使得

在本文中，S(T，f，K)表示廣義集值變分不等式問題GVI(T，f，K)的解集．S(T，K)表示經(jīng)典集值變分不等式VI(T，K)的解集．相應(yīng)地，Sw(T，f，K)表示GVI(T，f，K)的弱解．如果x∈Sw(T，f，K)，則x∈K以及對任意y∈K，存在x*∈T(x)，使得〈x*，f(y)－f(x)〉≥0．對于r＞0，ρ＞0，Kr={x∈K:‖X‖≤

通過修改文獻(xiàn)［13］的強(qiáng)制性條件(C')和(C1)，得到了本文中的強(qiáng)制性條件(A)和(B)，其主要是為了適合廣義集值變分不等式問題GVI(T，f，K)．當(dāng)f為恒等映射時(shí)，條件(A)=(C')和(B)=(C1)．顯然(B)?(A)．當(dāng)T是f－擬單調(diào)時(shí)，文獻(xiàn)［14］使用強(qiáng)制性條件(C)建立了一些GVI(T，f，K)的存在性結(jié)果．若f是單射，條件(C)等價(jià)于存在ρ＞0:對任意x∈K且，都存在 y∈K，滿足‖f(y)‖＜‖f(x)‖，使得－f(y)〉≥0．當(dāng)f是恒等映射時(shí)，(A)=(C)．在下一節(jié)將證明在適當(dāng)條件下這些強(qiáng)制性條件都能保證GVI(T，f，K)解的存在性．

4 廣義集值變分不等式解的存在性

證明 因?yàn)闂l件(A)成立，n是條件(A)給出的n，對任意x∈K，取r＞max{n，‖x‖}，則有Kr為非空弱緊凸集．由定理3．1可知，任取xr∈Sw(T，f，Kr)，則有

1)若‖xr‖＜r，易證

事實(shí)上，任取y∈K{xr}．若f(y)=f(xr)，則有．若f(y)≠ f(xr)時(shí)，因?yàn)椤瑇r‖＜r，則存在t∈(0，1)，z∈K，使得z=ty+(1－t)xr∈Kr．由于f((x，y))=(f(x)，f(y))，則存在λ∈(0，1)，使得f(z)=(1－λ)f(y) +λf(xr)．因?yàn)閦∈Kr，由(5)式可得

2)若‖xr‖=r，由條件(A)能得到

任取y∈K{y0}．若 f(y)=f(y0)，則有．若f(y)≠f(y0)時(shí)，因?yàn)椤瑈0‖＜r，則存在t∈(0，1)，z∈K，使得z=ty0+(1－t)y∈Kr．由于f((x，y))=(f(x)，f(y))，則存在λ∈(0，1)，使得f(z)=(1－λ)f(y)+λf(y0)．因?yàn)閦∈Kr，那么由(5)式可得

由(7)式得到

(8)式+(9)式，則有

由于λ∈(0，1)，則

根據(jù)引理2．1知，若算子f為連續(xù)的單射ql型算子或?yàn)檫B續(xù)的線性算子時(shí)，則滿足定理4．1中算子f的假設(shè)條件，故易得下面2個(gè)推論．

證明 由于(B)?(A)成立，則根據(jù)推論4．2，結(jié)論成立．

單值映射f:Z→Y稱為集值映射F:Z→2Y的單值選擇是指:對于任意z∈Z，都滿足f(z)∈F(z)．下面的引理使廣義集值變分不等式GVI(T，f，K)和經(jīng)典的集值變分不等式VI(T，K)建立了聯(lián)系．事實(shí)上，它是文獻(xiàn)［3］的引理3．1的集值版本．

引理4．1［3］設(shè)X是實(shí)Banach空間，K是X的非空子集，T:K→2X*為集值映射，f:K→X為單值映射，映射g:f(K)→K是逆映射f－1的一個(gè)單值選擇，則有u∈f(K)是VI(T°g，f(K))的解當(dāng)且僅當(dāng)g(u)∈K是GVI(T，f，K)的解．

引理 4．2［15］設(shè)X和Y是Hausdorff拓?fù)淇臻g，如果T:X→2Y是從緊空間X到Y(jié)的具有非空緊值的上半連續(xù)映射，那么F(X)是緊的．

引理 4．3［15］設(shè)X和Y是Hausdorff拓?fù)淇臻g，如果T:X→2Y是具有閉值的上半連續(xù)映射，那么F是閉的(即F的圖是閉的)．

命題4．1［6］設(shè)為非空閉凸集，X為自反的實(shí)Banach空間，T:K→2X*為(弱拓?fù)涞椒稊?shù)拓?fù)?具有非空緊凸值的上半連續(xù)映射，如果下列條件成立，

(C1)，y∈K，且‖y‖＜‖x‖，使得那么VI(T，K)解存在．

證明 由于f:X→X為連續(xù)算子，則f序列連續(xù)．由定理3．1得上述推論成立．

當(dāng)K不是弱緊集時(shí)，下面的定理給出了一個(gè)保證GVI(T，f，K)解存在的強(qiáng)制條件．

證明 由于f:X→X為同胚映射，K是閉集，易得f(K)為非空閉集．根據(jù)拓?fù)涞闹R得，映射f在K上的限制映射f|K:K→f(K)也是同胚映射．設(shè)映射 g:f(K)→K，且滿足:(f|K)－1(y)，則g是f|K的逆映射的一個(gè)連續(xù)的單值選擇．容易得出，T·g:f(K)→2X*為(弱拓?fù)涞椒稊?shù)拓?fù)?具有非空緊凸值的上半連續(xù)映射．因?yàn)閒是連續(xù)的ql型算子，則由定理2．1知f(K)是凸集．

證明 由于f:X→X是連續(xù)線性算子且是雙射，根據(jù)定理2．3知，f是開映射且f－1是連續(xù)線性映射．又因?yàn)閒為連續(xù)線性算子，由文獻(xiàn)［12］定理3．9知，f為(弱拓?fù)涞饺跬負(fù)?同胚映射．根據(jù)定理4．2知，

當(dāng)X=Rn時(shí)，推論4．4中的線性算子能被ql型算子替換，同樣能夠保證結(jié)論的成立．

證明 根據(jù)定理2．4知，f一個(gè)開映射且為雙射，則f－1是連續(xù)映射，因此f:X→X是同胚映射．根據(jù)定理4．2得

注4．1 對比強(qiáng)制性條件(A)和(C)，條件(A)比條件(C)更簡潔，以及更少的假設(shè)條件．然而，我們必須注意條件(C)比條件(A)更容易和經(jīng)典的集值變分不等式問題建立聯(lián)系．

5 擾動的廣義集值變分不等式

在這一節(jié)，研究了一個(gè)擾動的廣義集值變分不等式GVI(T+εf，f，K):尋找x∈K和x*∈T(x)，使得

定理5．1 設(shè)K是Rn的一個(gè)非空閉凸子集，f: Rn→Rn為連續(xù)的ql型算子且為雙射，T:K→2Rn為上半連續(xù)且具有非空緊凸值的集值映射．如果條件(C)成立，則對任意ε＞0有:

(ii)集合{S(T+εf，f，K):t∈(0，ε］}有界;

(iii)設(shè)F:R++→K，F(xiàn)(ε)=S(T+εf，f，K)，，那么對任意 x∈S(T+εf，f，K)，集合F－1(x)是凸集．

證明 (i)設(shè)ρ是條件(C)給出的ρ．假設(shè)能得到:對任意x∈K且，存在y∈K，滿足‖f(y)‖ ＜‖f(x)‖，使得ε f(x)，f(x)－f(y)〉≥0．如果該假設(shè)成立，由于f是連續(xù)的ql型算子且為雙射，則T+εf為上半連續(xù)且具有非空緊凸值的集值映射．由推論4．6可得GVI(T+εf，f，K)有解．現(xiàn)在證明該假設(shè)成立．由于存在y∈K，滿足:對任意且‖f(y)‖＜‖f(x)‖，使得

則有

(ii)設(shè)t∈(0，ε］和xt∈S(T+tf，f，K)，則有．如果，由(i)知，存在yt∈K且滿足‖f(yt)‖＜‖f(xt)‖，使得

由于xt∈S(T+tf，f，K)和yt∈K，則有

(iii) 設(shè) ε1，ε2∈F－1(x)，將證明［ε1，ε2］∈F－1(x)．由于ε1，ε2∈F－1(x)，那么分別存在T(x)和，使得

從上面的2個(gè)不等式易得

故得到［ε1，ε2］∈F－1(x)，因此集合F－1(x)是凸集．

定理5．2 設(shè)K是Rn的一個(gè)非空閉凸子集，f:

Rn→Rn是連續(xù)的ql型算子且為雙射，T:K→2Rn為上半連續(xù)且具有非空緊凸值的集值映射．如果條件(C)成立，則有

根據(jù)(17)式得，〈x*，f(y)－f(x)〉≥0，因此，x∈S(T，f，K)．

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Coercivity Conditions of Generalized Multivalued Variational Inequalities

LI Zejun，HE Yiran

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，by using some coercivity conditions，we obtain some existence results of the solutions for generalized multivalued variational inequalities problems involving elements belonging to the operators of type ql，which was recently introduced by Szilard Laszló．By the way，we find an open mapping theorem of the operators of type ql．As an application，the perturbation analysis for the solution sets of a perturbed generalized multivalued variational inequality is established．

generalized multivalued variational inequalities;coercivity conditions;operators of type ql;perturbation

O151．25

A

1001－8395(2016)04－0467－08

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．001

(編輯 鄭月蓉)

2015－04－25

國家自然科學(xué)基金(11271274)

*通信作者簡介:何詣然(1973—)，男，教授，主要從事非線性規(guī)劃領(lǐng)域的研究，E－mail:yiranhe@hotmail．com

2010 MSC:47J20;49J40