約化Kukles系統的雙中心問題及其全局相圖的分布

丁 維，周 俊

(1．四川大學數學學院，四川成都610064; 2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

約化Kukles系統的雙中心問題及其全局相圖的分布

丁 維1，周 俊2*

(1．四川大學數學學院，四川成都610064; 2．四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066)

微分方程定性理論的研究起源于常微分方程，由于絕大多數的方程不能求出其精確解，因而需要直接通過微分方程的表達式來研究其性質，其中定性理論在天體力學、生物、化學等領域得到了廣泛應用．研究了約化Kukles系統的雙中心問題及其雙中心條件下系統的全局相圖，找到了所有的雙中心條件，并分析了在此情形下無窮遠平衡點的性質．通過證明八字環的存在性和確定雙中心與赤道之間的軌線分布，得到了Poincaré圓盤上的全局相圖．

雙中心;全局相圖;Kukles系統;Poincaré變換

平面微分系統的模型常常出現在流行病學、種群動力學、生化反應及其他應用數學領域［1－6］．平面微分系統中，其定性理論的研究已取得豐富的成果，其中一個有趣的問題是尋找系統有多個中心的條件，即多中心問題．尋找一個平面系統具有2個中心的充要條件就是所謂的雙中心問題．平面微分系統中，具有雙中心的系統有豐富的動力學行為．比如，文獻［7－10］給出了具有2個中心的平面微分系統在擾動下極限環個數及其分布．文獻［11－12］分別解決了二次系統和三次Z2等變系統的雙中心問題．但是對于一般的三次系統的雙中心問題還有待解決．

本文研究了約化Kukles系統［13］

的雙中心問題及其全局相圖，其中x，y，ai，bi∈R．注意到，通過變換x→－x，y→－y，系統(1)化為

因此，在系統(1)中，只需要考慮a1≥0的情形．第2節中，給出了系統(1)具有雙中心的充要條件．在系統的雙中心條件下，在第3節中分析了系統(1)在無窮遠處平衡點的性質．在第4節中，給出了b3≤0時系統(1)的全局相圖分類．

1 雙中心條件

在本節中，尋找系統(1)的雙中心條件．由文獻［14］的定理3．6，原點O:(0，0)是系統(1)的中心當且僅當下面的條件之一成立:

1)b1=0，

2)a1=b2=0，

3)a2=b3=a1+b2=0． (2)

證明 因為平衡點(x0，y0)滿足y0=0和－x0，把參數空間分為以下幾種情形:當(H1)或(H3)成立時，系統(1)有唯一的平衡點．當(H2)成立時，系統(1)有2個平衡點O和(1/a1，0)，其中向量場在(1/a1，0)的雅克比行列式為負值，所以(1/a1，0)是一個鞍點．

當(H4)成立時，系統(1)有2個平衡點O和(2/a1，0)．由文獻［14］的定理3．6，O是中心當且僅當b1=0．此時系統(1)化為通過變換x→x+2/a1，y→y，把(2/a1，0)平移到下面系統的原點

由文獻［15］第2章的定理7．3得，系統(4)的平衡點O是尖點，則系統(3)的平衡點(2/a1，0)也是尖點．因此，系統(1)至多有一個中心．

當(H5)成立時，系統(1)有3個平衡點O，A: (a，0)和B:(b，0)，其中

如果a1=0，向量場在A處的雅克比行列式為負值，所以A是鞍點．相似地，可以證明B也是鞍點．因此，系統(1)在a1=0時至多有一個中心．

定理1．1 系統(1)存在雙中心當且僅當

雙中心分別在原點和(b，0)且都是非退化的，其中b由(5)式給出．

證明 由引理1．1的證明得，系統(1)有3個平衡點O，A:(a，0)和B:(b，0)，其中a，b由(5)給出．向量場在A和B的雅克比矩陣分別是:

從而，trace(J(A))=b1a，trace(J(B))=b1b．當O不是中心時，如果A、B是中心，則b1a=b1b=0，即b1=0．另一方面由(2)式知O是中心，這與O不是中心矛盾，所以系統(1)至多有一個中心．因此，如果系統(1)有雙中心，則O一定是中心．則由(2)式和引理1．1可得，在系統(1)中b1=0．即系統(1)化為

可得J(A)和J(B)的行列式分別是

從而，A和 B都是非退化的．由det(J(A))和det(J(B))的表達式知，a2＞0時，A和B都是鞍點; a2＜0時，A是鞍點．下面尋找a2＜0時系統(7)中平衡點B是中心的充分條件．由變換x→b+x/(a1b，把B平移到下面系統的原點

由文獻［14］的定理3．6，系統(8)的平衡點O是中心．因此系統(7)的平衡點B也是中心．因此，系統(1)有雙中心當且僅當

在定理1．1中，得出系統(1)有雙中心的充要條件，且確定了其坐標．注意到在系統(1)中，如果a1＜0，雙中心分別是原點和(a，0)，其中a由(5)式給出．

2 無窮遠處的平衡點

本節討論系統(1)滿足雙中心條件(即定理1．1中(6)式成立時)和b3≤0時無窮遠處平衡點的性質．

定理2．1 當(6)式及b3≤0時系統(1)在無窮遠處有2個平衡點C+和C－，其中C+和C－都是退化的且都在y軸上．而且當(b2，b3)∈I∪IV時，C±的小鄰域由雙曲部分組成，如圖1(a)所示;當(b2，b3)∈II∪III時，C±的小鄰域分別由雙曲部分和拋物部分組成，如圖1(b)～(c)所示，其中

證明 作Poincaré變換x=1/z，y=u/z和dt= z2dτ，系統(1)化為作變換x=v/z，y=1/z和dt=z2dτ，系統(1)化為

顯然，系統(9)在u軸上沒有平衡點，也就是說，如果系統(1)在無窮遠點存在平衡點，則平衡點肯定在y軸上．

為了考慮系統(1)在y軸上的無窮遠處的平衡點，需要考慮系統(10)的平衡點O，其與系統(1)在無窮遠處的平衡點C±相對應．對系統(10)作極坐標變換v=r cos θ，z=r sin θ可得

其中，G(θ)=－sin3θ，H(θ)=－b3cos θ－b2sin θ +cos θ sin2θ．顯然，系統(10)的特殊方向是θ=0和θ=π．

當(b2，b3)∈I∪II時，H(θ)=cos θ sin2θ－b2sin θ且H(0)=H(π)=0．作Briot－Bouquet變換v→v，z→u1v和時間尺度變換ds=vdτ，系統(10)化為

在u1軸上，系統(12)有一個平衡點(0，0)．把系統(12)化為極坐標形式，得到形如(11)的方程．當(b2，b3)∈I時，G(θ)=sin θ cos θ(－2 sin2θ+a2cos θ2)，H(θ)=－sin4θ+cos2θ sin2θ－a2cos4θ;當(b2，b3)∈II時，G(θ)=b2cos θ sin2θ，H(θ)=－b2cos2θ sin θ．(b2，b3)∈I時，G(θ)有4個零點0，π/2，π和3π/2．因為G'(0)H(0)=G'(π)H(π)=－＜0，G'(π/2)H (π/2)=G'(3π/2)H(3π/2)= －2＜0，由文獻［15］的第2章定理3．7得，系統(12)分別有唯一的軌線沿著θ=0和θ=π離開O并分別有唯一的軌線沿著θ=π/2和θ=3π/2進入O．因此系統(12)在O附近的的軌線如圖2(a)．由文獻［15］的第2章引理7．1，得到系統(10)在O附近的的軌線如圖2(b)．

當(b2，b3)∈II時，G(θ)有4個零點0，π/2，π，3π/2且H(0)=H(π/2)=H(π)=H(3π/2)=0．對系統(12)分別作變換v→v1u1，u1→u1，dσ=u1ds和v→v，u1→u2v，dσ=vds，把系統(12)分別化為

和

系統(13)和(14)在v1軸和u2軸上分別有唯一平衡點(0，0)．由文獻［15］的第2章定理7．1，系統(13)的平衡點O是一個鞍結點．所以系統(13)在平衡點O附近的軌線如圖2(c)所示．把系統(14)化為極坐標形式，得到G(θ)=2 cos θ sin θ(b2sin θ +a2cos θ)，H(θ)=b2sin3θ－a2cos3θ+a2cos θ sin2θ－b2cos2θ sin θ．G(θ)=0的根分別是0，π/2，π，3π/2，arctan(－a2/b2)，π +arctan(－a2/b2)，且G'(0)H(0)=G'(π)H(π)=－＜0，G'(π/2)H(π/ 2)=G'(3π/2)H(3π/2)=－＜0．由文獻［15］第2章定理3．7，系統(10)分別有唯一的軌線沿著θ=0和π/2離開O并分別有唯一的軌線沿著θ=π和3π/2進入O．因為作變換v→v，u2→u3v，dω=vdσ，系統(14)化為

系統(15)在u3軸上有2個平衡點O和D:(0，－a2/b2)，其中O是鞍點．為了研究平衡點D的性質，作變換v→v，u3→u3－a2/b2和ω→－2－1a－12ω，把D平移到下面系統的原點其中

3a2)v2+o(v2)，使得f(v)+Q1(v，f(v))=0．因為2(d)．因此，系統(14)的相圖如圖2(e)．由系統(13)的相圖(如圖2(c))和系統(14)的相圖(如圖2(e))，得到系統(12)的相圖如圖2(f)．最后，得到系統(10)的相圖如圖2(g)．

與(b2，b3)∈II的情形相似，當(b2，b3)∈III時，系統(10)在平衡點O附近的軌線如圖2(h)．

當(b2，b3)∈IV時，G(3)(0)H(0)=G(3)(π)H(π) =6b3＜0．由文獻［15］的第2章定理3．7，系統(10)分別有唯一的軌線沿著θ=0離開O和沿著θ =π進入O．因此，系統(10)在O附近的軌線如圖2(b)所示．最后，得到系統(1)滿足(6)時在無窮遠處的相圖如圖1(a)～(c)，它們分別和圖2(b)、(g)、(h)對應．

3 全局相圖

由第2、3節得到的平衡點性質，在本節給出系統(1)滿足(6)時的全局相圖．

證明 顯然，系統(1)有一個首次積分2

其中，(a，0)是系統(1)的鞍點．因此，沒有軌線連接(a，0)和C±．即系統存在一個雙同宿軌(或稱八字形環)．另一方面，所有雙同宿軌外的軌線是周期的．否則，由H的解析性，非周期軌道的存在性意味著H(x，y)是一個常量．進一步，由定理1．1和2．1所給出的平衡點性質，得到系統(1)的全局相圖如圖3．

在定理3．1中給出了滿足(6)式和b3≤0時系統(1)的所有的全局相圖．b3＞0時，與第3節相同的方法，也可以得到滿足(6)時系統(1)在無窮遠處平衡點的性質．也就是說，平衡點附近的軌線是清楚的．但是，在Poincaré圓盤上，很難確定有限遠處的平衡點和赤道之間區域上的軌線分布．另一方面，一類具有雙中心的約化Kukles系統的全局相圖在文獻［16］中被給出．具體地，如同在文獻［16］的第3部分開始部分指出的一樣，此系統除了滿足雙中心條件，還對b2(文獻［16］中的a3)有一個限制．

致謝 四川師范大學博士科研啟動一般項目(2015KYQD314)對本文給予了資助，四川大學數學學院陳興武教授對本文給予了指導與幫助，謹致謝意．

易得

［1］彭梅，李傳東，何興．基于直接免疫的SEIR計算機病毒傳播模型［J］．重慶師范大學學報(自然科學版)，2013，30(1): 78－80．

［2］楊文川，楊志春．一類具有兩斑塊效應的SIS傳染病模型的穩定性分析［J］．重慶師范大學學報(自然科學版)，2015，37(5):82－84．

［3］苗寶軍，梁慶利．具有Beddington－DeAngelis功能反應函數捕食模型正穩態解存在性［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2014，32(5):332－337．

［4］邵翠，陳文彥．帶有Sigmoidal型響應函數反應擴散模型的正解［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2013，36(4): 535－539．

［5］陳和柏，石勇國．FitzHugh神經系統中無窮遠奇點及閉軌的存在性［J］．四川師范大學學報(自然科學版)，2013，20(1): 18－22．

［6］徐昌進．一類離散多種群合作與競爭的捕食者與食餌模型的周期解［J］．重慶師范大學學報(自然科學版)，2015，32(2): 58－63．

［7］COLL B，LI C，PROHENS R．Quadratic perturbations of a class quadratic reversible systems with two centers［J］．Discrete Contin Dyn Syst，2009，24:699－729．

［8］ILIEV I D，LI C，YU J．Bifurcation of limit cycles from quadratic non－Hamiltonian systems with two centers and two unbounded heteroclinic loops［J］．Nonlinearity，2005，18:305－330．

［9］LIU C．The cyclicity of period annuli of a class of quadratic reversible systems with two centers［J］．J Diff Eqns，2012，252: 5260－5273．

［10］SONG Y．The Poincare bifurcation of a class of quadratic system［J］．Pure Appl Math，2004，42:160－163．

［11］LI C．The quadratic system which has two centers［J］．Acta Math Sin，1985，28:644－648．

［12］LIU Y，LI J．Complete study on a bi－center problem for the Z2－equivariant cubic vector fields［J］．Acta Math Sin，2011，27: 1379－1394．

［13］KUKLES I S．Necessary and sufficient conditions for the existence of a center［J］．Dokl Akad Nauk，1944，42:160－163．

［14］CHRISTOPHER C J，LLOYD N G．On the paper of Jin and Wang concerning the conditions for a center in certain cubic system［J］．Bull London Math Soc，1990，22:5－12．

［15］ZHANG Z，DING T，HUANG W，et al．Qualitative Theory of Differential Equations［C］//Transl Math Monogr．Providence:Am Math Soc，1992．

［16］WU Y，CHEN G，YANG X．Kukles system with two fine foci［J］．Ann Diff Eqns，1999，15:422－437．

Bi-center and Global Phase Portraits of the Reduced Kukles System

DING Wei1，ZHOU Jun2

(1．College of Mathematics，Sichuan University，Chengdu 610064，Sichuan; 2．College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

The study of the qualitative theory of differential equations originated ordinary differential equations．Since the accurate solutions for many complex equations can’t be obtained，we need to study the properties of the equations．The qualitative theory is used in the field of celestial mechanics，biology，chemistry and so on．In this paper we study the bi-center problem of the reduced Kukles system and its global phase portraits．We have found all bi-center conditions and analyze the equilibria at infinity．After proving the existence of figure eight-loop and determining all orbits between the bi-center and the equator，we obtain the global phase portraits on the Poincaré disc．

bi-center;global phase;Kukle system;Poincaré transformation

O175．1

A

1001－8395(2016)04－0508－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．008

(編輯 周 俊)

2015－10－30

四川省教育廳自然科學一般項目(16ZB0063)

*通信作者簡介:周 俊(1982—)，男，助理研究員，主要從事微分方程與動力系統的研究，E－mail:matzhj@126．com

2010 MSC:34C05;34C07;34C37