關(guān)于指數(shù)Diophantine方程ax+by=z2的一個注記

付瑞琴，楊 海，裴元太

(1．西安石油大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710065; 2．西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048)

關(guān)于指數(shù)Diophantine方程ax+by=z2的一個注記

付瑞琴1，楊 海2*，裴元太2

(1．西安石油大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710065; 2．西安工程大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710048)

設(shè)a和b是大于1的互素的正奇數(shù)．當(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)時，方程ax+by=z2無正整數(shù)解(x，y，z)．運用初等數(shù)論方法證明了以下一般性的結(jié)果:如果a是適合a≡±3(mod 8)的奇素數(shù)，b有約數(shù)d可使(a/d)=－1，其中(a/d)是Jacobi符號，則該方程僅有正整數(shù)解(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

指數(shù)Diophantine方程;二次剩余;Jacobi符號

1 主要結(jié)論

丟番圖方程形式的多樣性和求解原則的復(fù)雜性決定了丟番圖方程的研究沒有統(tǒng)一的方法．楊仕椿［1］借助Beukers的一些丟番圖逼近的深刻結(jié)果和初等數(shù)論方法，討論了一類廣義Ramanujan－Nagell丟番圖方程在特殊條件下的一些非例外情形，給出了一些有意義的結(jié)論．

設(shè)Z、N分別表示全體整數(shù)和正整數(shù)的集合．設(shè)a和b是大于1的互素的正奇數(shù)，文獻［2－5］證明了:當(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)時，方程

無正整數(shù)解(x，y，z)．該方程屬于指數(shù)丟番圖方程，近年來有關(guān)指數(shù)丟番圖方程的研究已得到了很多有意義的結(jié)果(參見文獻［6－13］)．對于方程(1)本文應(yīng)用初等數(shù)論方法證明了以下一般性的結(jié)果:

定理1 如果a是適合a≡±3(mod 8)的奇素數(shù)，b有約數(shù)d可使

這里(*/*)是Jacobi符號，則方程(1)僅有正整數(shù)解

顯然，數(shù)組(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)和(5，63)都滿足本文定理1的條件，所以文獻［2－5］的結(jié)果都是本文定理1的推論．

2 若干引理

引理1 如果正奇數(shù)a和d滿足(2)式，則d＞1且d必有奇素因數(shù)q可使

證明 因為(a/1)=1，所以a和d滿足(2)式時必有d＞1．將d表示成奇素數(shù)q1，q2，…，qk的乘積，即

根據(jù)文獻［14］的第3．6節(jié)，由(2)式可得

由于(a/qi)=±1(i=1，2，…，k)，故由(5)式可知必有qj(1≤j≤k)可使(a/qj)=－1，因為qj是d的奇素因數(shù)，所以取q=qj即得(4)式．引理1得證．

引理2 設(shè)p是奇素數(shù)，X和Y是適合X＞Y以及gcd(X，Y)=1的正整數(shù);又設(shè)

如果X≡Y(mod p)，則d=p且p‖Xp－1+Xp－2Y+…+Yp－1;否則d=1．

證明 參閱文獻［15］．

引理3 設(shè)n是大于3的正整數(shù)．方程

僅有解(n，X，Y，Z)=(5，3，－1，11)．

證明 參閱文獻［16］的定理1．1．

3 定理1的證明

設(shè)(x，y，z)是方程(1)的一組解．因為a和b都是奇數(shù)，所以由(1)式可知

如果x是奇數(shù)，則因gcd(a，b)=1，并且由(1)式可知z2≡ax(mod b)，所以同余式

有解．又由(7)式可知，對于b的任何約數(shù)d，同余式

都有解．因此，根據(jù)Jacobi符號的定義(參見文獻［14］的3．6)，由(8)式可知:對于b的任何約數(shù)d都有(a/ d)=1，與題設(shè)條件(2)矛盾．由此可知在本定理的題設(shè)條件下，方程(1)的解(x，y，z)必定滿足

因為gcd(a，b)=1且2ab，所以由(1)、(6)和(9)式可知

由(10)式可得

又由(11)式可得

和

如果2|y，則由(1)、(6)和(9)式可得

這一矛盾，故必有

又因y＞1，所以由(15)式可知y必有奇素因數(shù)p，故有

將(16)式代入(13)式可得

由于a是奇素數(shù)，fr－gr是偶數(shù)，所以根據(jù)引理2，由(17)式可得

或者

當(18)式成立時，因為f＞g≥1，故有

這一矛盾．

當(19)式成立時，因為

且f－g≥2，所以由(19)式中第二等式可知

由(16)、(18)和(21)式可得

設(shè)d是b滿足(2)式的約數(shù)．根據(jù)引理1可知此時d必有奇素因數(shù)q滿足(4)式．由于q也是b的奇素因數(shù)，又由(11)式可知b=fg，故必有q|f或q|g．因為f和g在(22)式中是對稱的，所以不妨假定

由(22)和(23)式可得

由于由(15)式可知y－1是偶數(shù)，所以當x/2是奇數(shù)時，由(24)式可知

與(4)式矛盾．由此可知x/2必為偶數(shù)，即

由(21)、(22)和(26)式可得

當y=3時，由(21)和(27)式可知

又由(28)式可知方程

有解

對于正整數(shù)k，設(shè)

因為(u，v)=(2，1)是方程(29)的最小解，所以根據(jù)文獻［14］的定理10．9．1和10．9．2，由(31)式可知(u，v) =(uk，vk)(k=1，2，…)是方程(29)的全部解．

由于2a，故由(30)和(31)式可得

此時，由(31)和(32)式可知

因為由(34)式可知(2/a)=1，故由文獻［14］的定理3．6．3可知a≡±1(mod 8)，與題設(shè)a≡±3(mod 8)矛盾．由此可知y≠3，故有

因為由(15)和(27)式可知所以根據(jù)引理3，由(35)和(36)式可得

因此，由(11)、(12)和(37)式可知:在題設(shè)條件下，方程(1)僅有解(3)．定理得證．

致謝 西安石油大學(xué)博士科研項目(2015BS06)對本文給予了資助，謹致謝意．

［1］楊仕椿．關(guān)于丟番圖方程x2－D=2n的一些非例外情況的解［J］．四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2004，27(4):373－377．

［2］SROYSANG B．On the Diophantine equation 3x+5y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2012，81(4):605－608．

［3］SROYSANG B．More on the Diophantine equation 3x+85y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(1):131－134．

［4］SROYSANG B．On the Diophantine equation 5x+43y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(4):537－540．

［5］SROYSANG B．On the Diophantine equation 5x+63y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(4):541－544．

［6］LE M H．Some exponential diophantine equation I:the equation D1x2－D2y2=λkz［J］．J Number Theory，1995，55(2):209－221．

［7］LE M H．Exponential solutions of the exponential diophantine equation(x3－1)/(x－1)=(yn－1)/(y－1)［J］．J Reine Angew Math，2002，543:187－192．

［8］胡永忠，袁平之．指數(shù)丟番圖方程ax+by=cz［J］．數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，48(6):1175－1178．

［9］BUGEAUD Y，MIGNOTTE M，SIKSEK S．Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations I．Fibonacci and Lucas perfect powers［J］．Ann Math，2006，163(3):969－1018．

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［11］DENG M J．A note on the diophantine equation(na)x+(nb)y=(nc)z［J］．Bull Austral Math Soc，2014，89(2):316－321．

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A Note on the Exponential Diophantine Equation ax+by=z2

FU Ruiqin1，YANG Hai2，PEI Yuantai2

(1．School of Science，Xi’an Shiyou University，Xi’an 710065，Shaanxi; 2．School of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，Shaanxi)

Let a and b be odd positive integers such that min{a，b}＞1 and gcd(a，b)=1．Recently，B．Sroysang proved that if(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)or(5，63)，then the equation ax+by=z2has no positive integer solutions(x，y，z)．In this paper，using elementary number theory methods，we prove that if a is an odd prime with a≡ ±3(mod 8)，b has a divisor d with(a/d)=－1，where(a/d)is the Jacobi symbol，then the equation has only the solution(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

exponential diophantine equation;quadratic residue;Jacobi symbol

O156．7

A

1001－8395(2016)04－0528－03

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．012

(編輯 陶志寧)

2016－01－19

國家自然科學(xué)基金(11226038和11371012)和陜西省教育廳科研計劃項目(14JK1311)

*通信作者簡介:楊 海(1979—)，男，副教授，主要從事數(shù)論及其應(yīng)用的研究，E－mail:xpuyhai@163．com．

2010 MSC:11D61