一類線性微分方程的整函數(shù)解

王曉媛 劉雅坤 禚彩萍

中國(guó)石油大學(xué)(華東)

一類線性微分方程的整函數(shù)解

王曉媛 劉雅坤 禚彩萍

中國(guó)石油大學(xué)(華東)

整函數(shù)解；微分方程；Nevanlinna 理論

一、背景

19世紀(jì)20年代，Nevanlinna提出了整函數(shù)和亞純函數(shù)值分布理論，為復(fù)微分方程的研究提供了有力工具。1933年，K.Yosida利用該理論對(duì)一些微分方程進(jìn)行了研究，同時(shí)給出了J.Malmquist在1913年提出的著名理論的新的證明和推廣。從1950年開始，H.Wittich利用Nevanlinna理論深入系統(tǒng)地研究微分方程[3,4,7]。

在討論復(fù)域上的微分方程時(shí)，證明所給微分方程的整函數(shù)解或亞純解的存在性和唯一性總是很有趣卻又非常困難的。最近，關(guān)于多種類型的微分差分方程的整函數(shù)解和亞純解的存在性、增長(zhǎng)性，有很多成果[1,2,6]。

二、引言

首先，回顧一些關(guān)于二階齊次線性周期微分方程的結(jié)論：

f''+P(ez) f'+Q(ez) f=0，其中，P(ez)、Q(ez)均為ez的多項(xiàng)式，且不同時(shí)為0。上述方程的所有解均是整函數(shù)。

近年來，很多作者已經(jīng)探究了二階線性微分方程整函數(shù)解的零點(diǎn)、增長(zhǎng)性以及相關(guān)問題[5]，主要涉及的線性微分方程的形式為：f''+e-zf'+Q(z) f=0，其中，Q(z)為有限級(jí)整函數(shù)。

三、正文

1.主要的引理

定義1.1[4]:設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，T(r, f )=N(r, f )+m(r, f ),r＞0是f的特征函數(shù)。

引理 1.1[8]:令h是一個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，且f(z)=eh(z)，那么就有：(1)當(dāng)h(z)是一個(gè)p次多項(xiàng)式時(shí)，ρ( f )=μ( f )=p；(2)當(dāng)h(z)是一個(gè)超越整函數(shù)時(shí)，ρ( f )=μ( f )=∞；(3) ρ2( f )=ρ(h)。

注1.1:從引理1.1和例1.1可以看出，對(duì)任意非零常數(shù)c和正整數(shù)p，函數(shù)f(z)=exp(czp)的超級(jí)為p，函數(shù)g(z)=exp(cez)的級(jí)為無窮大，超級(jí)為1。

引理1.4[8]:令h是一個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，且f(z)=eh(z)，那么(1) T(r,h)=o(T(r, f ))(r→∞)；(2)T(r,h' )=S(r, f )。

引理1.5[8]:假定f和g是非常數(shù)亞純函數(shù)，使得ρ(f)＜μ(g)，那么T(r, f )=o(T(r, g))(r→∞)。

引理1.6[8]:令f和g是亞純函數(shù)，使得T(r, f )=O(T(r, g))(r→∞, rE)，其中E是有限度量的集合，那么ρ(f)≤ρ(g)。稱為朗斯基行列式。

2.主要結(jié)果

那么

引理 2.1的證明：

定理2.1的證明：

則

(2.9)給出了

假定f的級(jí)有限，由引理 1.3、引理 2.1和(2.10)，有

證畢。

[1] R.G.Halburd and R.J.Korhonen, Diffenence analogue of the lemma on logarithmic derivative with applications to difference equations, J.Math.Anal.Appl.314 (2006), 477-487.

[2] R.G.Halburd and R.J.Korhonen, Nevanlinna theory for the difference operator, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.31 (2006), 463-478.

[3] E.Hille, Ordinary differential equations in the complex domain, Dover publications, Inc.Mineola, New York, 1976.

[4] I.Laine, Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin/New York, 1993.

[5] J.Langley, On complex oscillation and a problem of Ozawa, Kodai Math.J., 9 (1986), 430-439.

[6] L.W.Liao, C.C.Yang and J.J.Zhang, On meromorphic solutions of certain type of non-linear differential equations, Ann.Acad.Sci.Fenn.Math., 38 (2013), 581-593.

[7] H.Wittich, Ganze transzendente L¨osunger algebraischer Differentialgleichungen, Math.Ann., 122 (1950), 221-234.

[8] C.C.Yang and H.X.Yi, Uniqueness Theory of Meromorphic Functions, Science Press, Beijing/New York, 2003.

王曉媛（1994年11月12日-），女，漢族，河南三門峽人，中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，2013級(jí)本科生，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)

本文屬大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目階段性成果(項(xiàng)目編號(hào)：201610425064)