基于小波奇異譜及SVDD的軸承故障檢測方法

李勇發，左小清，楊芳，徐晶

(1.昆明理工大學 國土資源工程學院，昆明 650093;2.黑龍江科技大學 理學院，哈爾濱 150027)

利用信號處理技術對滾動軸承進行故障檢測主要涉及2個問題：1)提取故障信號的特征值，實現降維和去噪的目的；2)利用訓練得到的模型進行故障檢測[1-2]。故障數據缺乏是故障檢測的一大難題，因難以獲取樣本數據而導致傳統的檢測方法效果不理想。

支持向量數據描述(Support Vector Data Des-cription,SVDD)具有訓練速度快、普適性強等優點，而且在分類過程中僅需一類樣本，能夠有效處理小樣本數據[2-3]。但SVDD算法需要對二次規劃問題進行求解，求解過程中的計算量與數據維數成正比，數據維數越高，就需要越多的樣本數去準確描述目標類[3]。因此，嘗試利用小波分析方法分解初始信號，計算小波奇異譜值并進行優選，實現信號的降維和去噪，然后再使用SVDD進行故障診斷，以取得更好的分類效果。

1 故障診斷流程

1.1 小波奇異值優選

在限定時間序列長度為N=2J的條件下，由信號J個尺度的分解構成的(J+1)×N矩陣為D(J+1)×N，其中：DJ表示信號在j(j=1,2,…,J)尺度下的小波分解細節，SJ表示信號J層小波分解的尺度。

利用小波變換得到下列矩陣

(1)

首先利用小波變換對信號進行分解并計算出奇異譜值，然后以該奇異譜值作為特征進行故障檢測[2]。為了提高SVDD算法的分類效果，需對奇異值進行優選。獲得的數據不同，奇異值優選的方法也不同，如果擁有部分故障數據，應當選擇最適合故障檢測的奇異值；如果沒有故障數據，則首先假定一個閾值K，將序號小于這個閾值的奇異值作為特征值。

1.2 支持向量數據描述

SVDD是一種單值分類方法，其理論基礎源于支持向量機[6]，但在構建最優超平面上與有監督的支持向量機不同。SVDD算法構建一個最優超球體將目標類數據(球內)與非目標類數據(球外)區分開，對于輸入空間不可分時，可引入核函數將其轉化為線性可分，然后再構造最優超球體，并使其半徑最小且包含大多數據點。該超球體就是區分目標類與非目標類的描述模型，如圖1所示。

圖1 超球體示意圖

對于給定的含有N個數據的訓練樣本集{xi,i=1,2,…,N}，構造中心為a和半徑為R的超球體，定義結構風險ε=(R,a)=R2，限制條件為xi-a≤R2，引入松弛因子ξi和懲罰參數C，對初始函數進行最小化，即

(2)

s.txi-a2≤R2+ξi,

ξi≥0(i=1,2,…,N)。

引入Lagrange乘子進行化簡后得

(3)

對Lagrange函數求關于R，a，ξi的偏導數，并令其等于0得

。(4)

求出當L達到最小值時的αi。當αi=0時對應的樣本點xi為內部點，即目標樣本點；αi=C時對應的xi為外部點，即非目標點;0≤αi

。(5)

對于某一待測樣本Z，可用決策函數劃分其所屬類別，即

fSVDD(z,a,R)=(z-a)(z-a)T=

(6)

(7)

式中：Q為指示函數。若Q為真，則標記為-1，說明是目標類樣本；反之標記為1，說明是非目標類樣本。

檢驗一組新樣本數據的決策函數為

(8)

從上述分析可知，SVDD模型只需通過訓練得到球體中心a和球體半徑R，即可構成故障檢測模型，用于新樣本的識別。

核函數是將輸入空間通過非線性函數映射到高維特征空間，可以用原始輸入空間中核函數的計算替代高維特征空間內積的計算，從而大大減少計算量[9-10]。選用高斯核函數代替內積，即

(x.y)→K(x,y)=exp(-‖x-y‖2/s2)，

(9)

則檢驗一個新數據對象的決策函數變為

1.3 故障檢測流程

首先，利用db5小波對正常振動信號進行5層小波分解，計算出奇異值進行優選；然后，將優選出來的奇異值輸入SVDD中進行訓練，并利用(5)式計算超球體中心和半徑；最后，利用判別函數進行分類(正?；蚬收?，故障檢測流程如圖2所示。

圖2 基于SVDD的故障檢測流程

2 試驗分析

某型號軸承正常狀態及內圈、外圈、滾動體發生磨損的故障狀態下原始信號的時域波形如圖3所示[11]。從圖中可以看出，正常狀態下振動信號比較平穩，幅值較低；故障信號的幅值較大，其中滾動體振動信號中包含周期性的瞬時沖擊成分。

圖3 原始信號的時域波形圖

2.1 線性區分能力分析

每種狀態取20組樣本，利用db5小波進行分解并計算小波奇異譜值，結果如圖4所示。從圖中可以看出，利用小波變換得到的奇異值按遞減順序排列，在前10個奇異值特征上，正常樣本與內、外圈故障數據的線性區分能力較為明顯，但與滾動體之間的線性區分能力不明顯。

圖4 不同狀態下振動信號的奇異譜均值

利用SVDD對前20個奇異值進行線性區分能力因子測試，正常狀態與不同故障狀態間的線性區分能力如圖5所示。結果表明：正常數據與內、外圈故障數據間的線性區分能力隨著奇異值序號的增加而降低，與滾動體故障間的線性區分能力則隨奇異值序號的增加而逐漸上升。

圖5 不同奇異值的線性區分能力

定義線性檢測能力為

(16)

式中：p為故障數據；k為正常樣本數據；ri為第i個奇異值。不同奇異值維度的線性區分能力如圖6所示。

圖6 不同奇異值維度的線性區分能力

從圖中可以看出，第3個奇異值處線性區分能力較低，第8和第9維奇異值處噪聲對線性區分能力影響最強。為使正常信號與滾動體信號之間的區分能力提高，將[8，9，7，6，10，5，11，4，2]9個奇異值維度作為特征向量輸入SVDD進行故障檢測。

2.2 基于SVDD的軸承故障檢測方法

不同窗口大小對檢測正確率的影響如圖7所示。結果表明：數據窗口越大，檢測正確率越高；反之，檢測正確率越低。但數據量的加大會加倍的增加計算量，并造成系統延遲，因此應根據實際情況選擇窗口大小。從圖中可以發現，當窗口大小為1 024時，就已經能夠達到較好的效果。

圖7 窗口大小對檢測性能的影響

高斯核參數對SVDD檢測正確率的影響如圖8所示。從圖中可以看出：高斯核寬度與正常樣本的檢測正確率成正比，與故障樣本的檢測正確率成反比。當高斯核寬度為0.3時，正常及故障樣本的檢測正確率均達到最大。

圖8 不同核函數參數對檢測率的影響

利用優選得到的9個奇異值作為特征向量輸入SVDD分類器進行訓練。選擇高斯核函數寬度為0.3，構建好SVDD模型后，按 (7) 式求出超球體中心和半徑，即可對新樣本進行分類。經過訓練得R=3.091 912，a=0.418 414。利用測試樣本(測試樣本數為2 936，其中內圈、外圈、滾動體故障樣本數分別為582，586，588)進行模型檢驗，分類效果如圖9所示，檢測正確率達到了98.6%。

3 結束語

采用小波分析提取奇異值并進行優選能夠有效提取可充分反映故障本質的敏感特征，從而使訓練和分類效果得到很大的提高。而通過選擇合理的窗口大小及高斯核寬度，SVDD算法的檢測正確率達到了98.6%，完全能夠滿足軸承故障診斷的要求。但上述方法主要檢測了有無故障發生，還不能準確判斷故障發生部位，需做進一步研究。

圖9 SVDD分類效果圖