引入區域量化的相控陣天線維修優化模型*

王永攀，楊江平，張　宇，李陸軍,3

(1. 空軍預警學院 陸基預警裝備系， 湖北 武漢　430019；2. 湖北工業大學 電氣與電子工程學院， 湖北 武漢　430068；3. 中國人民解放軍93975部隊， 新疆 烏魯木齊　830000)

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引入區域量化的相控陣天線維修優化模型*

王永攀1，楊江平1，張宇2，李陸軍1,3

(1. 空軍預警學院 陸基預警裝備系， 湖北 武漢430019；2. 湖北工業大學 電氣與電子工程學院， 湖北 武漢430068；3. 中國人民解放軍93975部隊， 新疆 烏魯木齊830000)

摘要：針對大型相控陣天線維修成本高、多部件維修時機難以確定、模型仿真計算困難等問題，提出一種引入區域量化的維修優化模型。建立天線陣列的區域量化模型，將天線陣列維修問題轉化成一個由不同區域陣元組成的k/n系統維修優化問題。以使用可用度為約束條件，以單位時間維修費用最小為優化目標，建立引入區域量化的大型相控陣天線多部件視情維修決策優化模型，并通過算例仿真與分析進行了模型驗證。結果表明：提出的維修優化模型真實有效，能夠很好地解決分布不均勻的相控陣天線維修優化問題。

關鍵詞：區域量化；維修優化模型；相控陣天線；陣元；直線陣

相控陣天線作為相控陣雷達作戰技術性能的關鍵部分，通常要求停機維修的次數少、時間短、費用低[1]。然而，當前部隊針對大型相控陣天線維修的情況卻不容樂觀，呈現出維修成本高、維修時機難以確定等問題。因此，如何在低維修成本的條件下確定大型相控陣天線的維修時機是一個亟待研究的課題。

由于相控陣天線由大量的天線單元組成，傳統的單部件事后維修策略會增加系統的停機時間以及維修工作量，已很難適用于相控陣天線的維修?？紤]到相控陣天線的冗余設計，部分學者將相控陣天線的維修問題看作一個由多個相同單元組成的k/n系統的維修[2-3]。在此基礎上，文獻[4-5]分別研究了大型相控陣雷達天線陣面的視情維修與定時維修策略，在一定程度上解決了相控陣天線的維修優化問題。然而，在工程設計中，為了得到較低的副瓣電平，天線陣列往往采用激勵幅度加權的方式進行設計，從而導致處于不同位置的陣元對天線性能的影響不同，使得天線陣列的分布具有不均勻性[6]。因此，天線陣列應該是一個由不同單元組成的大型k/n系統。但是天線陣列陣元數目眾多，使得天線維修優化建模的仿真計算困難，難以進行工程應用。為了解決上述問題，可以首先根據陣元對天線性能的影響對天線陣列進行區域量化，進而將不同單元組成的大型k/n系統的維修優化問題轉化成一個由不同區域單元組成的k/n系統的維修優化問題，從而簡化運算，以便進行工程運用。

為了研究天線陣元失效與天線性能之間的關系，部分專家學者開始用設計密度加權陣的思想來分析陣元失效問題，出現了一些研究成果[7-9]。然而這些文獻認為處于不同位置的陣元對天線性能的影響是相同的，因此只研究了陣元失效率對天線性能的影響，并沒有研究不同位置的陣元失效對天線性能的影響。但是在實際運用中，對于采用幅度加權的天線陣列，不同位置的陣元失效對天線性能的影響是不同的，因此，研究不同位置的陣元失效對天線性能的影響，總結陣元失效對天線性能的影響規律是進行天線陣列區域量化的基礎。

1陣元失效影響分析

1.1陣元失效影響模型

假設天線陣列由N個陣元組成，天線陣元各向同性，且以間隔d均勻排列在一條直線上。則以第一個陣元為坐標原點可建立如圖1所示坐標系。記處于第n個位置的陣元為A(n)，其中n=1,2,…,N。

圖1　N元直線陣Fig.1　Linear antenna with N array element

由于天線陣元各向同性，即陣元因子Se(θ)=1，則N元直線陣的天線方向圖[10]為：

(1)

其中：k為波數，k=2π/λ，λ為波長；In為第n個陣元的幅度值，采用Taylor加權。

定義示性函數X(n)，其中n=1,2,…,N。當A(n)正常工作時，記X(n)=1；當A(n)失效時，記X(n)=0。由此，得到N個陣元工作狀態的示性矩陣X。進一步可得到關于A(n)工作狀態的N元線性陣列方向圖函數，即陣元失效影響模型。

(2)

影響相控陣雷達性能的參數有很多，其中天線增益、副瓣電平是兩個非常重要的參數[11]。為此，主要考慮陣元失效對天線增益和副瓣電平的影響。

1.2陣元失效對天線增益的影響

(3)

根據增益的定義，陣元失效時在最大的波瓣方向θ0的天線增益為：

(4)

當陣列中所有部件都完好時有X(n)=1，此時陣列增益G0(θ)最大。

(5)

得到天線增益的下降率α為：

(6)

假設陣元數目為300，利用MATLAB進行仿真得到陣元失效對天線增益的影響關系如圖2所示。從圖2可以看出：不同位置的陣元單獨失效時天線增益的下降率不到0.5%，表明天線增益變化不大；失效陣元的數目增大時，天線增益的下降率逐漸增加，表明天線增益變化劇烈，當天線陣元全部失效時，天線增益為0。

圖2　陣元失效對天線增益的影響Fig.2　Influence from failure array element to gain of antenna

1.3陣元失效對副瓣電平的影響

根據建立的陣元失效影響模型，可通過仿真的方法研究陣元失效對副瓣電平的影響，總結陣元失效對副瓣電平的影響規律。

假設天線陣列由300個天線單元組成，其理想副瓣電平為-35 dB，陣元激勵幅度服從Taylor分布。根據建立的陣元失效影響模型，通過MATLAB軟件仿真，得到如圖3所示的仿真結果。

圖3　不同位置陣元對副瓣電平的影響Fig.3　Influence from array element in different location to sidelobe level

從圖3可以看出：關于陣列中心對稱的陣元對副瓣電平的影響基本相同；并且在一定的副瓣電平變化范圍內，陣元對副瓣電平的影響基本相同。由于陣元數目龐大，單個陣元對副瓣電平的影響較小，但是由于相控陣雷達對于天線低副瓣要求很高，因此研究不同位置陣元失效對天線副瓣電平的影響顯得非常必要。

2天線陣列區域量化模型

通過上述分析可知，天線陣元對天線性能的影響隨著陣元位置以及陣元數目的變化而不同，但是存在一定的陣元失效范圍(記為區域Ri)，在該范圍內不同位置的陣元失效對天線性能的影響是基本相同的。此影響規律可以拓展到任意陣元數目的天線陣列，因此，大型天線陣列可以分割成多個不同的Ri，如圖4所示。

圖4　天線陣列區域量化示意圖Fig.4　Sketch of regional quantification of antenna array

定義確定區域Ri的過程為區域量化。進行區域量化以后，不同Ri內的陣元失效對天線副瓣電平的影響不同，而同一區域內的所有陣元對天線副瓣電平的影響相同。通過確定不同的Ri(i=1,2,…)就可以將系統變換為一個由多個不同區域陣元組成的k/n系統，進而為研究天線陣列的維修優化奠定基礎。

2.1區域量化準則

區域量化準則主要根據不同位置的陣元單獨失效時天線副瓣電平的變化進行確定。根據分析，可建立如下量化原則：

1)同一區域Ri內不同位置的陣元單獨失效時，天線副瓣電平的變化范圍不超過ΔB；

2)不同區域Ri和Rj之間無交集，所有區域Ri內陣元的數目的總和為整個天線陣列中陣元的數目。

2.2區域量化模型

根據區域量化的原則，建立天線陣列區域量化模型，如圖5所示。區域量化模型分為數據處理和區域量化模型算法兩個階段。圖5給出了主要符號的具體含義，下面簡要分析該模型。

2.2.1數據處理階段

步驟1：確定天線陣元的數目N以及區域量化等級level；

步驟2：根據第1.1節建立的陣元失效影響模型，計算每個陣元A(n)失效時天線的峰值副瓣電平PSLL(n)；

步驟3：構建每個陣元失效時天線的峰值副瓣電平數據庫PSLL，該數據庫包含N個數據；

步驟4：計算所有峰值副瓣電平中的最大值Max與最小值Min；

步驟5：根據用戶需求，確定區域量化范圍內的副瓣電平變化值ΔB。

2.2.2區域量化模型算法

區域量化模型算法主要是借助數據處理得到的數據，逐個搜索陣元A(n)失效時天線的峰值副瓣電平PSLL(n)所在的范圍，從而最終確定陣元A(n)所屬的區域，具體算法流程如圖5所示。

圖5　直線型相控陣天線區域量化模型Fig.5　Regional quantification model of linear phased array radar antenna

2.3區域量化等級確定

要進行天線陣列的區域量化，首先要確定量化的等級level，即量化區域的個數。進行區域量化的目的是為了將天線陣列劃分成多個不同的區域，以便于進行科學維修。設天線故障時故障陣元數目為m，則區域Ri應具備mk個故障陣元的容量。因此，在進行天線區域量化時，量化等級level的確定要保證區域Ri內陣元數目ni≥m。根據天線故障陣元與天線增益的關系可以確定level的值。一般認為天線增益下降率αi大于10%時，天線不能正常工作，若此時故障陣元數目為mk，則區域量化后Ri內陣元數目ni≥mk。圖6給出了量化等級的確定方法。

圖6　區域量化等級確定方法Fig.6　Method to decide regional quantification level

3基于區域量化的維修優化模型

3.1維修優化模型

由于天線陣元幅度加權產生的電應力作用，不同區域內存在一定的故障權值，稱為區域故障權值。因此，區域故障權值wλi與激勵幅度IRi存在一定的函數關系。

wλi=f(IRi)

(7)

根據區域劃分結果可求得區域Ri內陣元的平均激勵幅度為：

IRi=∑Imni/Numi

(8)

其中，∑Imni為區域Ri內Numi個陣元的激勵幅度之和。設陣元本身故障率為λ0，則可得區域Ri內的陣元故障率為：

λi=wλiλ0

(9)

因此，經過區域量化以后，天線陣列轉換成由故障率為λi(i=1,2,…,level)的多個區域性陣元組成的k/n系統。進而，天線陣列的維修轉換成不同單元組成的k/n系統的維修。

根據區域Ri內陣元的故障率可知區域Ri內陣元可靠度為：

Ri(t)=exp(-λit)

(10)

設區域Ri內陣元數目為Ni，則所有陣元正常工作時系統的可靠度為：

(11)

已知N個相互獨立的不同元件組成的k/n系統中恰有m個元件發生故障的概率[13]為：

(12)

(13)

其中：NL為天線陣列中出現m個故障陣元的所有可能總數。

(14)

易知當N數目較大時，NL數目極大，運算復雜。當N為200時，m為40時，使用計算機已難以計算。為了簡化運算量，設區域Ri出現mi個故障陣元的所有可能有NNL種，則式(13)可轉化為：

(15)

進一步求得整個天線陣列的可靠度[14-15]為：

(16)

其中：

(17)

則其平均工作時間為：

(18)

(19)

進而可求得天線陣列預防性維修的使用可用度A[16]為：

(20)

在滿足裝備使用可用度要求的條件下實現系統維修費用的最小化一直是部隊追求的裝備維修優化工作的最終目標。為此，系統的視情維修優化模型為：

(21)

其中：Ci為維修啟動費用，元；Cr為維修人員的成本，元/(h·人)；Cs為維修備件的儲存與折舊費用，元/個；Ao為最低使用可用度要求。

3.2模型求解算法

3.2.1建立故障數據庫

根據區域劃分原則，每個區域Ri內具備mk個故障陣元的容量。天線陣列故障陣元達到mk時，認為天線失效需進行維修，因此，每個區域內故障陣元的數目mi應滿足：

(22)

當有m個陣元失效時對天線陣列進行維修，假設關于每個區域出現mi個故障陣元的可能有NNL種。則第l(l=1,2,…,NNL)種失效狀態下不同區域內天線陣元失效數目的矩陣Ml為：

Ml=[m1,m2,…,mlevel](1×level)

(23)

則天線陣列區域陣元失效數目矩陣為：

(24)

即為需要建立的故障數據庫。

3.2.2具體算法流程

為了得到天線陣列的視情維修優化結果，結合上述分析，設計了圖7所示的模型求解算法。通過MATLAB工具，輸入相應的參數即可求得基于區域量化的相控陣天線維修優化結果。

圖7　模型求解算法Fig.7　Model solution algorithm

4算例仿真與分析

4.1天線陣列區域量化

已知某直線型相控陣天線由300個陣元組成，其理想副瓣電平為-35 dB，陣元激勵幅度服從Taylor分布。根據區域量化模型及區域量化等級確定方法，借助MATLAB進行仿真，得到天線陣列的區域量化結果，如圖8所示。從圖8可以看出，天線陣列被劃分成4個區域，不同的區域之間無交集，且陣元數目總和為天線陣元總數。

圖8　天線陣列區域量化結果Fig.8　Regional quantification results of antenna array

表1給出了區域量化的具體結果，根據該區域量化結果，后續可以對量化的區域進行ki/ni系統的劃分，為進一步指導天線陣列的維修提供科學、合理的理論依據。

表1　區域量化結果

4.2基于區域量化的維修優化

在對4.1節中的天線進行區域量化以后，做出如下假設：該雷達天線陣列陣元的正常壽命服從參數λ=0.000 5 次/h的指數分布，陣元的換件維修率μ=0.1個/h；啟動一次換件維修所需費用Ci=20 000元；維修備件的儲存與折舊費用Cs=5元/h；人均維修工時費Cr=20元；對維修后天線使用可用度的最低要求Ao=0.95；區域故障權值ωλi=IRi。試求在滿足最低使用可用度要求下使得維修費用L最低的系統維修策略。

根據建立的區域量化模型及維修優化模型，將上述參數代入相應的模型，通過MATLAB進行仿真計算，可求得天線陣列的最佳視情維修閾值mopt=45個；最佳換件維修人數ropt=2；單位時間維修費用為L=270元/h；系統的使用可用度Ao=0.950 2，滿足最低使用可用度要求。

圖9給出了在維修人數ropt=2時單位時間維修費用與系統視情維修閾值的變化曲線。

圖9　單位時間維修費用曲線Fig.9　Maintenance cost curve of unit time

5結論

通過建立基于區域量化的維修優化模型，解決了陣面分布不均勻的相控陣天線維修優化建模中的計算困難、工程應用性差等問題，為進行科學、合理的相控陣天線維修提供了理論依據?？偟膩碚f，主要開展了以下工作：

1)建立了天線陣元的失效影響模型，通過理論推導與仿真分析的方法，分析了陣元失效對天線性能的影響規律；

2)提出了天線陣列區域量化的概念，并建立了天線陣列的區域量化模型。通過模型仿真可知，可以將天線陣列劃分成不同的陣列區域，為進一步指導相控陣天線的維修提供了理論依據。

3)在天線區域量化的基礎上，建立了基于區域量化的相控陣天線維修優化模型。通過該模型，可以在滿足天線最低使用可用度的條件下使得維修費用最低，并且簡化了運算量，方便工程應用。

4)對提出的天線陣列的區域量化模型和維修優化模型進行了算例仿真與分析。仿真和分析結果表明了提出的模型的正確性與可行性。

參考文獻(References)

[1]李瑋. 相控陣天線故障診斷方法研究與軟件實現 [D]. 成都: 電子科技大學, 2014.

LI Wei. Research on fault diagnosis methods and software implementation for phased array antenna [D]. Chengdu: University of Electronic Science and Technology of China, 2014. (in Chinese)

[2]De Smidt-Destombes K S, Van der Heijden M C, Van Harten A. On the availability of a k-out-of-n system given limited spares and repair capacity under a condition based maintenance strategy [J]. Reliability Engineer-ing and System Safety, 2004, 83(3): 287-300.

[3]De Smidt-Destombes K S, Van der Heijden M C, Van Harten A. Availability of k-out-of-n systems under block replacement sharing limited spares and repair capacity [J]. International Journal of Production Economics, 2007, 107(2): 404-421.

[4]盧雷, 楊江平, 左治方, 等. 大型相控陣雷達天線陣面視情維修優化模型 [J]. 雷達科學與技術, 2014, 12(3): 325-328.

LU Lei, YANG Jiangping,ZUO Zhifang,et al. Optimal analysis of condition-based maintenance model or large-scale phased array radar antenna [J]. Radar Science and Technology, 2014, 12(3): 325-328. (in Chinese)

[5]盧雷, 楊江平. 任意壽命分布下k/n(G)系統定時維修決策模型 [J]. 現代防御技術, 2015, 43(1): 145-149.

LU Lei, YANG Jiangping. Time based maintenance optimization model for k/n (G) system with various lifetime distribution [J]. Modern Defence Technology, 2015, 43(1): 145-149. (in Chinese)

[6]張光義, 趙玉潔. 相控陣雷達技術 [M]. 北京: 電子工業出版社, 2006.

ZHANG Guangyi, ZHAO Yujie. Phased array radar technology [M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2006. (in Chinese)

[7]張良. 低副瓣固態有源相控陣天線可靠性分析 [J]. 現代雷達, 1992(6): 97-105.

ZHANG Liang. Analysis on the reliability of low-sidelobe solid-state active phased array antenna [J]. Modern Radar, 1992(6): 97-105. (in Chinese)

[8]李建新, 高鐵. 低副瓣固態有源相控陣天線波瓣統計特性研究 [J]. 電波科學學報, 1993, 8(2): 64-69.

LI Jianxin, GAO Tie. Statistical pattern characteristics of low sidelobe solid-state active phased array antennas [J]. Chinese Journal of Radio Science, 1993, 8(2): 64-69. (in Chinese)

[9]高鐵, 李建新. 固態有源相控陣天線多階振幅量化及副瓣特性的研究 [J]. 電子學報, 1994, 22(3): 11-17. GAO Tie, LI Jianxin. Study of multi-step quantization and sidelobe characteristic for solid-state active phased arrays[J]. Acta Electronica Sinica, 1994, 22(3): 11-17. (in Chinese)

[10]Visser H J. Array and phased array antenna basics [M]. Netherlands: John Wiley & Sons Inc., 2005.

[11]傅文斌. 微波技術與天線 [M]. 北京: 機械工業出版社, 2007.

FU Wenbin.Microwave technique and antenna [M]. Beijing: China Machine Press, 2007. (in Chinese)

[12]郭燕昌, 錢繼曾, 黃富雄, 等. 相控陣和頻率掃描天線原理 [M]. 北京: 國防工業出版社, 1978.

GUO Yanchang, QIAN Jizeng, HUANG Fuxiong, et al. Phased array and frequency scanning antenna [M]. Beijing: National Defence Industry Press, 1978. (in Chinese)

[13]徐福榮. 由成敗型元件組成的k/n(G)系統的可靠性評定與綜合 [J]. 兵工學報, 1990(1): 66-74.

XU Furong. Confidence limits of reliability for the “k-of-n” systems consisting of different binomial components [J]. Acta Armamentarii, 1990(1): 66-74. (in Chinese)

[14]梅啟智, 廖炯生, 孫惠中. 系統可靠性工程基礎 [M]. 北京: 科學出版社, 1992.

MEI Qizhi, LIAO Jiongsheng, SUN Huizhong. System reliability engineering foundation [M]. Beijing: Science Press, 1992. (in Chinese)

[15]徐維新, 劉夢軍, 何杰, 等. 維修工程學 [M]. 北京: 電子工業出版社, 1992.

XU Weixin, LIU Mengjun, HE Jie, et al. Maintenance engineering [M]. Beijing: Electronic Industry Press, 1992. (in Chinese)

[16]甘茂治, 康建設, 高崎. 軍用裝備維修工程學[M]. 北京: 國防工業出版社, 2009.

GAN Maozhi, KANG Jianshe, GAO Qi. Military equipment maintenance engineering [M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2009. (in Chinese)

doi:10.11887/j.cn.201602016

*收稿日期：2015-03-17

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61401503)；國家部委基金資助項目(KJ2014023200B11145)；博士研究生專項資助項目(2014JY546)

作者簡介：王永攀(1987—)，男，河北保定人，博士研究生，E-mail: wypaning@163.com；楊江平(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail: yjp_wh@163.com

中圖分類號：TN95

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)02-092-07

Maintenance optimal model for phased array antenna with regional quantification

WANG Yongpan1, YANG Jiangping1, ZHANG Yu2, LI Lujun1,3

(1. Land-based Early Warning Equipment Department, Air Force Early Warning Academy, Wuhan 430019, China;2. College of Electrical and Electronic Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China;3. The PLA Unit 93975, Wulumuqi 830000, China)

Abstract：There exist several problems in the maintenance of phased array antenna, such as high maintenance costs, unsure maintenance chance, complicated model simulation and arithmetical operation. Considering these problems, a maintenance optimal model was put forth on the basis of regional quantification. A regional quantification model was given, and then the maintenance problems of phased array antenna were turned into the maintenance optimal of a k/n system, which consists of different regional array elements. A maintenance optimal model for the antenna was built, which chooses minimum maintenance costs per unit time as the object and the operational availability as the subject. Simulations and analysis of one instance were conducted to verify the validity of the proposed model. The results show that the proposed model could solve the maintenance problems of the asymmetrical array antenna well.

Key words：regional quantification; maintenance optimal model; phased array antenna; array element; linear array

http://journal.nudt.edu.cn