運用改進正交匹配追蹤算法精確估計跳頻信號跳變時刻*

沙志超，盛衛東，徐　湛，李　駿

(國防科技大學 電子科學與工程學院， 湖南 長沙　410073)

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運用改進正交匹配追蹤算法精確估計跳頻信號跳變時刻*

沙志超，盛衛東，徐湛，李駿

(國防科技大學 電子科學與工程學院， 湖南 長沙410073)

摘要：現有方法得到的跳變時刻精度不高、抗干擾能力較弱，為此提出一種運用改進正交匹配追蹤算法的跳變時刻精確估計方法。根據跳頻信號原理建立跳變時刻估計的稀疏表示模型，用改進正交匹配追蹤算法求解該模型，獲取跳變時刻。理論分析和仿真結果證明該方法能夠獲取高精度的跳變時刻，估計性能方面優于現有算法。

關鍵詞：跳頻信號；稀疏重構；時頻分析；正交匹配追蹤

跳頻通信以其良好的抗干擾性、低截獲概率及組網能力在軍事戰術通信中得到廣泛應用[1]。跳頻信號參數估計是跳頻通信對抗的重要任務，而估計跳變時刻是全部跳頻參數估計的關鍵[2-3]。

現有的跳變時刻估計方法主要包括時頻分析方法[4-10]、原子分解方法[11]、自回歸滑動平均(Auto-Regressive and Moving Average, ARMA)模型方法[12]、稀疏線性回歸(Sparse Linear Regression, SLR)方法[2]等。時頻分析方法包括短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)、Gabor變換、Wigner-Ville分布、平滑偽Wigner-Ville分布(Smoothed Pseudo Wigner-Ville Distribution, SPWVD)及重排類時頻分布方法[4]。時頻分析方法[5-10]估計跳變時刻普遍存在精度不高，抗干擾能力弱的缺點。文獻[11]提出了基于原子分解的跳頻參數盲估計方法，該方法需要在龐大的時頻原子字典中迭代搜索，計算量大，很難投入到應用中。文獻[12]用ARMA模型描述含噪跳頻信號，利用跳變點對模型的影響來跟蹤跳頻信號，該算法理論性較強，主要針對多通道接收的情況，實時性較強但信噪比適應能力極弱。文獻[2]用SLR方法解決多個跳頻信號同時存在時的跳頻參數估計問題，利用跳頻信號時頻稀疏性，在高信噪比條件下取得較好的效果，但在低信噪條件下性能較差且計算量較大。

為了精確估計跳頻信號的跳變時刻，沙志超等以現有時頻分析方法的粗估結果為基礎，提出了一種基于改進匹配追蹤算法(Improved Orthogonal Matching Pursuit，IOMP)的跳頻信號跳變時刻精確估計方法。該方法能夠在低信噪比情況下精確估計跳變時刻。

1跳頻信號及跳變時刻稀疏表示模型

1.1跳頻信號模型

根據跳頻信號的產生原理，假設在觀測時間

T內有M個跳頻信號進入接收機，則單天線接收的跳頻信號為：

(1)

其中：sm(t)表示第m個跳頻信號，v(t)表示零均值、方差為σ2的加性高斯白噪聲。對于第m個跳頻信號，設其跳周期為Tm，第k跳對應的載頻為fmk，第0跳持續時間為αTm(0<α≤1)，則sm(t)可以表示為：

(2)

1.2跳變時刻稀疏表示模型

常規的稀疏重構理論[13]考慮信號y∈P在一組標準正交集ψ1,ψ2,…,ψP上是稀疏的，則信號可以表示為：

(3)

其中：Ψ=[ψ1,ψ2,…,ψP]∈P×P，αi=〈y,ψi〉，α∈P且。針對頻域稀疏信號，可以設計Ψ是由頻率網格劃分構成的傅里葉正交基，ψi=[ejωi1,ejωi2,…,ejωiP]T，頻率ωi=2πi/P。

當y中發生頻率跳變時，式(3)的α就不再具有稀疏性，常規的稀疏表示模型將不再適用。在跳變頻率未知的情況下，建立文獻[2]中的稀疏模型，矩陣Ψ的維數為P×P2，且求解過程的矩陣求逆導致計算量很大。考慮到現有的時頻分析方法可以得到粗估的跳變時刻和較為準確的跳頻頻率，下面利用這些信息建立精確估計跳變時刻的稀疏表示模型。采用如下方法選取觀測數據。以粗估跳變時刻為中心，在觀測長度P內每個跳頻信號最多包含一個跳變點。依據該數據截取方法，以觀測數據段內是否包含跳變點為標準，每個跳頻信號有兩種可能：在位置p∈[2,P-1]處由頻率ωi跳變到ωj，或在觀測時間內頻率恒定。對包含跳變點的跳頻信號，依次改變頻率跳變位置得到觀測矩陣A=[a1,a2,…,aP-2]∈P×2(P-2)，其中：

(4)

對于頻率恒定的跳頻信號觀測矩陣由一個單頻列向量和一個零向量組成，表示為：

(5)

每一個跳頻信號根據頻率變化情況設計一個對應矩陣，并將全部信號的矩陣依次按列擴展為一個綜合的觀測矩陣Ψ，以兩個跳頻信號為例，一個包含跳變點，另一個頻率恒定，則觀測矩陣Ψ=[A, Φ]。

2IOMP算法

2.1OMP算法原理

正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[14]屬于貪婪類算法，每次迭代過程中尋找Ψ中與觀測向量相關性最大的列向量，并在觀測向量中去掉所選列集合的影響。經過m次依次迭代，找出Ψ中組成觀測向量的列向量集合。文獻[15]中用理論和仿真證明了OMP算法能夠在含噪情況下很好地恢復稀疏信號。OMP算法描述如下。

步驟1：輸入觀測數據y，觀測矩陣Ψ，稀疏度k。

步驟2：初始化冗余信息r0=y，列向量位置的集合Φ0=Λm=?，迭代次數t=0。

步驟3：進行算法迭代。

1)通過式(6)，得到列向量位置λt。

(6)

2)擴展Φt=[Φt-1φλt]，Λt=Λt-1∪{λt}。

4)計算近似觀測信號at=Φtxt和冗余信息rt=v-at。

5)t=t+1，如果t

2.2IOMP算法原理

式(3)中稀疏表示矩陣ap的兩列代表一個跳變時刻，兩列的線性組合共同表示跳頻信號。因為Ψ中與觀測數據相關性較大的列不一定代表真實的跳變時刻，而真實跳變時刻對應矩陣ap的單列與觀測數據的相關值很可能不是最大，所以式(6)的子空間選取方法不能適應兩列組合選取的情況。為了求解2.1節的稀疏表示模型，對OMP算法的子空間選取規則做了修改。

考慮包含跳變點的信號

(7)

當d=2n-1時，則

(8)

當d=2n時，則

(9)

(10)

(11)

通過以上分析可知雖然真實跳變時刻對應的矩陣ap的單列相關值很可能不取最大，但在理論上與跳頻信號跳變點匹配的矩陣ap兩列相關值之和應該取最大值。因此，IOMP方法在子空間選取時要以兩類相關值之和為選取標準。首先計算冗余信息與觀測矩陣各列的相關值。

(12)

然后將λt(j)的第2n-1位與第2n位相加得到λ′t(n)，取λ′t(n)的最大值位置作為與觀測數據匹配的向量ap位置。

(13)

在集合Φt擴展時將根據式(13)選取的兩列統一加入集合，其他過程與2.1節算法相同。

2.3性能分析

根據IOMP算法的原理，其計算量由式(12)中的向量相關計算決定。如果式(12)中向量的維數記為L，其計算量可表示為2L。如果數據中包含m個跳變時刻，則矩陣Ψ包含2mL列，完成m個跳變時刻估計需要運行式(12)的次數為2m2L。綜上所述，IOMP算法完成m個跳變時刻估計的計算量約為(2mL)2，計算量與數據分段長度的平方成正比。因此為了控制計算量，在利用該算法時盡量把跳變時刻放在數據分段的中間，且分段長度不能太長。

由于IOMP算法在向量劃分時以采樣點為單位，因此IOMP算法估計跳變時刻的精度可以精確到采樣點。而傳統的時頻分析方法存在時頻不確定性，在保證頻率估計精度前提下窗長度不能太短，這就影響了時間的估計精度。

3算法仿真

通過仿真試驗驗證提出算法估計跳變時刻的性能。仿真1以單跳頻信號為分析對象，驗證算法的有效性及信噪比適應能力。因為文獻[12]中的ARMA模型方法主要針對陣列接收且要求信噪比較高，所以本文列為比較對象。選擇典型的時頻分析方法[8]、稀疏表示類的SLR方法[2]進行仿真比較。仿真2是以兩個跳頻信號為分析對象，分析多用戶對算法信噪比適應能力的影響。

3.1單跳頻信號時頻分析仿真

頻率集個數P=64，網格均勻劃分，頻率集W={2πp/P},p=0,2,…,P-1。觀測數據采樣點長度為1000，跳變周期為300點，第一跳的持續時長為200點，各跳變的頻率依次為[ω10,ω15,ω8,ω12]，信噪比為0 dB時SPWVD方法得到的時頻圖如圖1所示。用本文算法估計的跳變時刻與真實值的比較如圖2所示。由圖2可知，本文算法可以準確估計該仿真跳頻信號的跳變時刻。圖3給出了信噪比從-10 dB到16 dB變化時，本文算法與文獻[2]中SLR方法、文獻[8]中SPWVD方法的跳變時刻估計精度的比較。每組仿真條件下，分別進行100次Monte-Carlo仿真。

圖1　SPWVD方法時頻分析結果(單信號)Fig.1　SPWVD distribution (one signal)

圖2　SNR=0 dB時本文算法跳變時刻估計結果Fig.2　Estimation result of hop timing in SNR=0 dB

圖3　算法性能比較(單信號)Fig.3　Performance comparison (one signal)

從圖3可以看出，在信噪比低于0 dB時本文方法性能明顯優于其他三種算法，在信噪比大于0 dB時本文方法與SLR方法性能相當，且估計偏差逐漸趨于0，SPWVD方法在高信噪比情況下仍存在的估計偏差。

3.2多跳頻信號時頻分析仿真

在仿真1的基礎上在增加一個跳頻信號，跳變周期為400點，第一條的持續時長為100點，各跳變的頻率依次為[ω10,ω16,ω8,ω12,ω18,ω14]。信噪比為0 dB時SPWVD方法得到的時頻圖如圖4所示，各時刻對應頻譜最大值如圖5所示。可以看出，傳統的跳變時刻估計方法不能適應多用戶情況。

圖6為不同信噪比條件下本文算法與SLR方法估計跳變時刻的平均偏差的比較。從圖6可以看出，本文算法信噪比適應能力明顯優于SLR方法。

圖4　SPWVD方法時頻分析結果(兩信號)Fig.4　SPWVD distribution (two signals)

圖5　時頻分布各時刻的頻譜最大值Fig.5　Frequency spectrum maxima of time-frequency distribution

圖6　算法性能比較(兩信號)Fig.6　Performance comparison (two signals)

4結論

由于目前已有的跳頻信號跳變時刻估計方法估計精度低，信噪比適應能力較差，于是提出一種基于IOMP算法的跳頻信號跳變時刻精確估計方法。仿真試驗結果表明本文方法具有高精度的跳變時刻估計能力，建立的稀疏重構模型能夠適應多跳頻信號情況，在估計精度、信噪比適應能力上均優于現有算法。另外，本文算法是屬于貪婪類算法，具有計算量小的優點。但在分析時只考慮頻率值完全匹配的情況，模型頻率失配時的性能需要進一步研究。

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doi:10.11887/j.cn.201602018

*收稿日期：2015-03-13

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61302141)

作者簡介：沙志超(1985—)，男，河北滄州人，講師，博士，E-mail：shazhichao_163@163.com

中圖分類號：TN911.7

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2016)02-107-05

Hop timing precise estimation for frequency-hopping signals based on improved orthogonal matching pursuit algorithm

SHA Zhichao, SHENG Weidong, XU Zhan, LI Jun

(College of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：The hop timing estimates derived from existing methods are coarse and unreliable, therefore, a novel method for estimating hop timing for frequency-hopping signals precisely was proposed based on an improved orthogonal matching pursuit algorithm. The sparse representation model for hop timing estimation was established according to the principle of frequency-hopping signals. Then, the improved orthogonal matching pursuit algorithm was used to solute the model and get hop timing finally. The theoretical analysis and simulation results verified that the method is capable of obtaining precise hop timing, and is better than current methods.

Key words：frequency-hopping signals; sparse reconstruction; time-frequency analysis; orthogonal matching pursuit

http://journal.nudt.edu.cn