高溫超導軸向磁懸浮軸承的懸浮力分析

劉飛，裴曠怡，孔奎，張鋼，孟慶棟

(上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072)

超導磁懸浮系統由超導體(HTS)、永磁體(PM)和冷卻系統組成，主要應用在超導磁懸浮軸承[1-2]、飛輪儲能系統[3-4]、磁懸浮導軌列車[5-6]、陀螺導航等領域。隨著各種交叉學科、高新技術的發展，國內外對高溫超導磁懸浮軸承試驗及理論研究也越來越廣泛深入。高溫超導磁懸浮軸承(SMB)分為徑向和軸向2種類型[7-10]。文獻[11]通過對楊氏模型和Hull John R模型進行改進，提出一種改進的磁通凍結-鏡像模型，其雖然考慮了磁滯模型，也可以適用徑向和軸向的超導磁懸浮軸承且方法簡單，但只能對超導軸承進行定性分析，不能對磁偶極子進行精確計算。文獻[12]在超導計算中加入了超導的各向異性，給出了臨界電流密度與各向異性的關系，利用T方法對超導懸浮力展開了數值計算，并對不同運動狀況下的懸浮力進行了分析。文獻[13-14]基于A-V方法，采用控制體積法對高溫超導磁懸浮系統的懸浮力和導向力進行了數值計算，經驗證計算結果與試驗結果比較接近。下文介紹一種基于磁矢勢的懸浮力計算方法，對軸向高溫超導磁懸浮系統展開力學分析，并與已有試驗結果進行比較。

1 數學計算

1.1 基于分子電流法求解磁場強度

分子電流法是基于對永磁環表面等效電流的分析建立的數學模型，即假設永磁體內部沒有電流，其磁動勢可用等效的表面電流表達。軸向磁化的永磁環的等效電流模型如圖1所示。

圖1 軸向磁化永磁環的分子電流模型

根據Biot-Savart定律，電流元在空間產生的磁感應強度為

(1)

式中：dB為電流元產生的磁感應強度；μ0為真空磁導率；i為環形導線中的電流；dl為電流元長度；r為電流元矢徑。

利用Biot-Savart定律對永磁體的磁感應強度Br求解，通過磁場強度求解出永磁體在空間的磁場分布情況。建立柱坐標系(ρ,φ,z)如圖2所示，對于無限長柱形永磁體，其磁感應強度可表示為

(2)

式中：Sr為柱形永磁體外表面面積；Rp為柱形永磁體的外半徑；az為沿z軸方向的單位矢量。

圖2 無限長圓柱永磁體

高溫超導磁懸浮軸承中的永磁轉子多采用環形永磁體，計算永磁環在空間磁場分布，即計算2個柱形永磁體計算的矢量和。為便于計算，建立如圖3所示的柱坐標系(ρ,φ,z)，點P(ρ,φ,z)為空間內任意一點，P′(ρ′,φ′,z′)為永磁體面上任意一點。通過對單個電流元積分，可得柱形永磁體在空間任意一點P的磁矢勢為

(3)

r-r′=(ρ-ρ′cosφ″)aρ+

(ρ′sinφ″)aφ+(z-z′)az，

φ″=φ-φ′，

式中：aρ為沿半徑ρ方向的單位矢量；aφ為沿偏移角度方向φ的單位矢量。

圖3 永磁體磁場分布模型

由 (2) 式和(3)式可得外徑為Rp、厚度為tp的柱形永磁體在P點的磁矢勢為

。(4)

環形永磁體的磁矢勢可等效為求解外半徑為Rp柱形永磁體的磁矢勢AR(ρ,z)和內半徑為rp柱形永磁體的磁矢勢Ar(ρ,z) 的矢量和，即

。(5)

上式為定積分表達式，由于被積函數比較復雜，可以通過積分的近似數值求解

(6)

式中：Ak(k=0,1,2,…,n) 為求積系數，與函數f(xk)無關；ζk,xk為積分變量。

根據以上原理對柱形永磁體的磁矢勢求解。首先進行變量變換，將φ的積分分成μ1，μ2，μ3，…，μM，變換形式為

φ′(ui)=πui-sin πui，

(7)

則dφ′(ui)=π-πcos πui。

將 (7) 式代入 (5) 式可得

(8)

式中：tpm(m=1,2,3，…,M)為將柱形永磁體分解成M個部分后每個磁體的厚度。

在坐標系中，對磁矢勢A求旋度，可得磁感應強度B為

(9)

由 (3) 式可知磁矢勢的方向與環形電流的方向相同，因此柱形永磁體產生的徑向磁感應強度為

(10)

式中：F，E分別為第一類、第二類完全橢圓積分。

柱形永磁體產生的軸向磁感應強度為

。(11)

永磁環的磁感應強度為半徑Rp和rp的柱形永磁體磁感應強度的矢量和。在高溫超導磁懸浮系統中，永磁轉子多為永磁環的疊加。不同的疊加方式產生的磁感應強度分布如圖4所示。圖4a表明磁環軸向疊加的徑向磁懸浮軸承轉子產生的徑向磁感應強度呈對稱分布；圖4b表明磁環徑向疊加的軸向磁懸浮軸承轉子產生的軸向磁感應強度則呈不規則連續分布，在磁極外半徑處磁感應強度達到最大值。

圖4 不同的疊加方式產生的磁感應強度

1.2 懸浮力的計算

由Faraday電磁感應定律可知，當磁場變化時導體內產生渦流現象。在超導體內部任意一點的磁矢勢為永磁體產生的磁場Ap和超導體內電流產生的磁場As的矢量和，即

A=Ap+As。

(12)

根據Biot-Savart定律，超導體內電流產生的磁矢勢為

(13)

式中：rs，Rs分別為超導體的內、外半徑；ts為超導體厚度；Js為超導體內的電流密度。

(14)

E-J冪指數關系模型[1]為

(15)

式中：Ec為超導體中的臨界場強；J為電流密度；Jc為溫度T下的臨界電流密度。

將 (15) 式代入 (14) 式可得

(16)

結合 (8)，(12)，(13)和(16) 式可得

(17)

選取的高溫超導體為塊狀釔鋇銅氧，該材料中的電流密度有很強的各向異性。為此，將超導塊沿厚度方向劃分為Nz個平行薄片，只考慮氧化銅內的屏蔽電流。為了便于計算，在每一薄片內再進行網格劃分，如圖5所示，分別從徑向和圓周方向將薄片等分為Nρ×Nφ個。求解過程中假設每個網格內的電導率是恒定值。對于涉及時間域的電磁計算，選取等長的時間跨度dt，對 (17) 式三重積分的求解轉化為

(18)

式中：ΔV為網格的體積。

圖5 超導體網格劃分

由(17) 式求出超導體內的電流密度后，根據洛倫茲力可求得高溫超導磁懸浮系統的懸浮力為

(19)

具體計算流程如圖6所示。

圖6 懸浮力計算流程

2 超導軸向磁懸浮軸承懸浮力性能分析

對于軸向超導磁懸浮軸承，一般永磁體位于超導體的上方，如圖7所示。若永磁體受到軸向的擾動力Fz而產生軸向位移z，則超導體會給予永磁體反作用力Fsz阻止其運動。

圖7 軸向高溫超導磁懸浮的軸向移動

2.1 場冷高度40 mm(零場冷)

為便于與其他計算和試驗結果[14-15]作比較以校正模型的正確性，選取與文獻中相同的柱形超導體：半徑Rs=10.5 mm，厚度ts=10 mm，臨界電場Ec=1，臨界電流密度Jc=1×108A/m2，指數n=20；永磁體半徑Rp=11 mm；厚度tp=20 mm，剩磁強度Br=1.1 T。

假設永磁體在距離超導體上表面40 mm位置開始冷卻，冷卻后施加向下的Fz使永磁體以1 mm/s的速度下降到距離超導體上表面3 mm處，再施加反向Fz使永磁體以1 mm/s的速度向上移動到40 mm處。永磁體往復運動中受到超導定子的反向作用力Fsz。場冷高度40 mm下軸向力隨軸向位移的變化如圖8所示。由圖可知：永磁體上升過程中，理論計算值與文獻[14-15]中的試驗值吻合度較高，在3 mm處的最大值比試驗值小0.7 N左右；永磁體下降過程中，二者差別較大。這是因為當永磁體與超導體之間的間距最小時，超導體所處的磁場強度最大，有大量磁通穿入超導體內；當永磁體與超導體的間距逐漸增大時，超導體所處的外部磁場強度減小，使得穿入超導體的部分磁通被排出，但由于磁通釘扎作用，產生了磁滯現象，此時超導體內部磁通運動較為復雜，文中采用的E-J模型雖然可以給出磁通運動的本質規律，但由于進行了大量簡化，因此當磁通運動劇烈時模擬結果存在誤差。

圖8 場冷高度40 mm下軸向力隨軸向位移的變化

2.2 場冷高度1 mm

選取與文獻[16]中相同的試驗參數：高溫超導體直徑為30 mm，高度為12 mm，臨界電流密度為Jc=100 A/cm2；永磁體的直徑和高度均為12.7 mm，剩磁強度為0.831 T。

將高溫超導體在場冷高度為1 mm處進行冷卻，在足夠的永磁體產生的外磁場強度條件下，高溫超導體由正常態轉變成超導態。同樣施加Fz以1 mm/s的速度上升到距離高溫超導體上表面25 mm處，再返回初始位置。場冷高度1 mm下軸向力隨軸向位移的變化如圖9所示。

圖9 場冷高度1 mm下軸向力隨軸向位移的變化

由圖9可知：永磁體開始上升時，理論計算值與試驗值基本吻合，隨著軸向位移的增大，二者的差值增大，直至軸向力最小(軸向位移8 mm)時誤差為1 N；永磁體下降過程中，理論計算值和試驗結果的最大誤差約為2 N。這是因為在場冷過程中，部分磁通被釘扎在超導體內(即凍結磁通)，其與永磁體的相互作用使永磁體受到的懸浮力與零場冷卻下的懸浮力不同。另外，選取的E-J關系模型與實際有所差距，運動時間的增加會使溫度發生變化從而影響計算結果。

2.3 小結

通過對比2種不同場冷高度下的理論計算結果與試驗結果可知：文中計算方法對零場冷卻下和場冷卻下懸浮力(軸向力)的分析均適用。在零場冷卻下懸浮力幾乎均為正值，超導體主要表現抗磁特性；場冷卻下懸浮力為負值，先快速增大后逐漸減小，由于超導體俘獲的磁通較多，主要表現出磁通釘扎特性，使得永磁體和超導體之間的磁力較大。由此可知，初始冷卻條件對懸浮力的影響顯著，可以通過調整初始冷卻條件實現對懸浮力的控制。

3 結束語

對永磁環的磁場分布情況進行了分析，列出了高溫超導磁懸浮力計算方法和流程，利用該方法對不同冷卻方式下軸向高溫超導磁懸浮系統的懸浮力進行了計算。對比試驗結果可知，該方法在永磁體軸向時對軸向力計算是可靠的。在軸對稱情況下，永磁體在超導體上方軸向移動過程中受到反作用力；超導體在零場下冷卻時產生的軸向懸浮力比場冷卻下的大，且磁滯特性不明顯。