無限區間上均布變量概率計算方法研究

劉寶慧（青海大學，青海 西寧 810016）

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無限區間上均布變量概率計算方法研究

劉寶慧
（青海大學，青海 西寧 810016）

摘 要：給出了隨機變量X在無限區間（0，∞ ）、（-∞，0）、（-∞，+∞）上服從廣義均勻分布的概念及計算概率的方法。

關鍵詞：均勻分布；極限分布；廣義均勻分布

1　無限區間Θ上廣義均勻分布的概念

關于隨機變量X的“均勻”分布問題，因X的取值范圍不同而形成了不同的定義方法。

當隨機變量X在有限個值xi，i= 1，2，…，n 上“均勻”分布時，我們用X在各個值上的概率相等來定義均勻分布，即：

當隨機變量X在有限區間（a，b）上“均勻”分布時，因為在（a，b）上連續分布的隨機變量都有P（X=x）=0，x∈（a，b），所以不能用X取值的概率相等來定義有限區間（a，b）上的均勻分布。此時，我們用X在有限區間（a，b）上取值的密度相等來定義X在有限區間（a，b）上的均勻分布，即定義密度為：

設Θ為無限區間（0，∞）或（-∞ ，0）或（-∞，+∞），當隨機變量X在無限區間Θ上“均勻”分布時，如何定義X在無限區間Θ上均勻分布？

定義 1.1：設隨機變量X取值范圍為無限區間Θ，Θ為（0，∞）或（-∞，0）或（-∞，+∞），π（x）（ x∈Θ）是隨機變量X在x值的概率分布，若π（x）滿足條件：

（1）π（x）≥0，

（2）對?x1，x2∈Θ且x1≠x2，有π（x1）=π（x2），

則稱隨機變量X在無限區間Θ上服從廣義均勻分布。稱π（x）為X在無限區間Θ上的廣義均勻分布密度。我們認為當隨機變量X在無限區間Θ上“均勻”分布時，X沒有大于0的密度。用反證法來證明：若X在無限區間Θ上“均勻”分布，且有大于0的密度0c?，則必然事件Ω概率

這顯然與必然事件的概率P（Ω）=1 相矛盾。

正因為當X在不同的無限區間上“均勻”分布時，都沒有大于0的密度，故不能用密度來定義無限區間上的“均勻”分布，而文［4］仍沿用密度來定義無限區間上的“均勻”分布，因而在實際計算中產生了許多矛盾。

本文中，我們用隨機變量X在無限區間Θ上的“均勻”分布，稱之為X在無限區間Θ上的廣義均勻分布，并給出了在這種分布下如何計算概率的方法。

2　無限區間（0，∞）上的廣義均勻分布

當隨機變量X在無限區間（0，∞ ）上的“均勻”分布時，我們給出以下定義。

定義 2.1：設隨機變量X的取值范圍為無限區間（0，∞），且設X在任一有限區間（0，a）（a?0，a∈R）上服從均勻分布，當a→∞時，稱X在（0，a）上的均勻分布的極限為X在無限區間（0，∞）上的廣義均勻分布。

當隨機變量X在無限區間（0，∞）上服從廣義均勻分布時，為了計算概率，我們給出了定理。

定理 2.1：設隨機變量X的取值范圍為無限區間（0 ，∞）服從廣義均勻分布，則有：

（1）設 b ，c∈R，且（b，c）?（0，∞），有

P（x∈（b，c））=0 P（x∈［b，c））=0

P（x∈（b，c］）=0 P（x∈［b，c］）=0 （2.1）

設b∈R且b≥0，有P（x∈（b，∞））=1；（3）當b∈（0，∞）時，有P（X=b）=0；當x∈（0，∞）時，f（ x）為X的密度函數，則有f（ x）=0。

3　無限區間（-∞，0）上的廣義均勻分布

當隨機變量X在無限區間（-∞，0）上“均勻”分布時。我們給出如下定義。

定義 3.1：設隨機變量X的取值范圍為無限區間（-∞，0），且設X在任一有限區間（a，0）（a?0）上服從均勻分布，當a→-∞時，稱X在（a，0）上的均勻分布的極限分布為X在無限區間（ -∞，0）上的廣義均勻分布。當隨機變量X在無限區間（-∞，0）上服從廣義均與分布時，為了計算概率，我們給出以下定理。

定理3.1：設隨機變量X在無限區間（- ∞，0）上服從廣義均勻分布，則有

（1）設 b ，c∈R且（b， c?（-∞ ，0）），有

P（ x∈（b，c））=0P（x∈［b，c））=0

P（ x∈（b，c］）=0P（x∈［b，c］）=0 （3.1）

（2）設b∈R且b≤0，有

P（x∈（-∞，b））=1，x為X的取值 （3.2）

（3）當b∈（-∞ ，0）時，有

P（X=b）=0 （3.3）

（4）當x∈（-∞，0），f（x）為X的密度，則有

f（x）=0 （3.4）

4　無限區間（-∞，∞）上的廣義均勻分布

當隨機變量X在無限區間（-∞，∞）上“均勻”分布時定義如下：

定義 4.1：設隨機變量X的取值范圍為無限區間（-∞，∞），且X在任一有限區間（-a，a）上服從均勻分布，當a→∞時，稱X在（-a，a）上均勻分布的極限分布為X在無限區間（-∞，∞）上的廣義均勻分布。

定理 4.1：設隨機變量X在無限區間（-∞，∞）上服從廣義均勻分布，則有

（1）設b，c∈R，b?c，（b，c）?（-∞，∞），有

P（x∈（b，c））=0P（x∈［b，c））=0

P（x∈（b，c］）=0P（x∈［b，c］）=0（4.1）其中x是X的取值。

（3）設b∈R，有

（4）P（x∈（-∞，∞））=1 （4.4）

（5）當b∈（-∞，∞）時，有

P（X=b）=0 （4.5）

（2）P（x ∈（0，∞）?（-∞，∞））

P（x∈（-∞，0）?（-∞，∞））

同理可證（3）的另外三個等式成立。

（4）當X在（-∞，∞）上服從廣義均勻分布時，因X在（-∞，∞）上取值為必然事件Ω，故

P（x∈（-∞，∞））=P（ x ∈Ω）=1

因0≤P（X=b）≤P（b-1≤x≤b+1）=0；所以，當b∈（-∞，∞）時，有P（X=b）=0。證畢。

參考文獻：

［1］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率與數理統計［M］.北京: 高等教育出版社，2005.

［2］茆詩松，湯銀才.貝葉斯統計［M］.北京:中國統計出版社，2013.

（責任編輯：張時瑋）

中圖分類號：TL329+.2

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.049

文章編號：1672–7304（2016）01–0103–02

* 基金項目：青海大學中青年科研基金項目（2014-QSY-1）。

作者簡介：劉寶慧（1972-），女，河北保定人，講師，研究方向：經濟統計。

On the infinite interval uniform variable probability calculation method

LIU Bao-hui
（Qinghai University， Xining Qinghai 810016）

Abstract:Offering the concept and probability calculation method that how random variable X obeys extended even distribution in the infinite interva（0，∞）、（-∞，0）、（-∞，∞）.

Keywords:Even distribution； limiting distribution； extended even distribution