三角函數(shù)的特性及應(yīng)用

田 麟（酒泉市一中，甘肅 酒泉 735000）

?

三角函數(shù)的特性及應(yīng)用

田 麟
（酒泉市一中，甘肅 酒泉 735000）

摘 要：本文結(jié)合三角函數(shù)綜合題常見題型，對三角函數(shù)單調(diào)性、周期性、最值；三角函數(shù)圖像與圖像變換；三角函數(shù)圖像與解析式的互相轉(zhuǎn)化及三角函數(shù)與相關(guān)知識的融合題等題型的考查特點，出題方式、注意問題進行了具體分析探究，并提出對應(yīng)備考方法與答題策略。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；單調(diào)性；周期；最值

三角函數(shù)綜合題作為高考考查的熱點與高頻考點，經(jīng)過多年高考的磨礪整合，目前基本形成了內(nèi)容穩(wěn)定、題量穩(wěn)定、分值穩(wěn)定和難度適中四大特征［1］。如何在高考中輕松準確的解答三角函數(shù)題呢？筆者結(jié)合經(jīng)驗，為大家的備考復(fù)習(xí)提供一點思路。

1　考點再現(xiàn)

考點一：三角函數(shù)單調(diào)性、周期性、最值

【方法與技巧】

①將三角函數(shù)化歸為f（x）=Asin （ωx+φ）的形式。②結(jié)合三角函數(shù)的圖像，運用整體代入的基本思想求三角函數(shù)的單調(diào)性，最值與周期。

例1 已知函數(shù)f（x）=（sin2x+cos2x）2 -2sin2 2x 。

（1）求f（x）的最小正周期；

解：因為f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin2 2x

考點二：三角函數(shù)圖像與圖像變換

【方法與技巧】

三角函數(shù)平移：一般地，函數(shù)y=sin （ωx+φ）的圖像，可以看作把曲線y=sinx的圖像上所有點向左（當(dāng)0φ＞時）或向右（當(dāng)0φ＜ 時平移個單位長度而得到的；或者看作把曲線sinyxω=上所有點向左（當(dāng)0φ＞ 時）或向右（當(dāng)0φ＜時）平移個單位長度而得到的。

考點三：三角函數(shù)圖像與解析式的互相轉(zhuǎn)化

【方法與技巧】

根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+K 的圖像求其解析式的問題，主要從以下四個方面來考慮：

考點四：知識交匯點處的三角問題

（1）三角函數(shù)與向量

【方法與技巧】

①由向量的運算性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式，將關(guān)系式化歸為y=Asin（2x+φ）+k形式，再結(jié)合三角函數(shù)的圖像性質(zhì)求解單調(diào)性、周期、最值等相應(yīng)問題。②求最值時由自變量x的范圍，轉(zhuǎn)化出ωx+φ的范圍，在范圍內(nèi)借助圖像找最值。

例2 已知向量a=（cosωx-sinωx，sin ωx ），設(shè)函數(shù)f（x）=a· b+λ（x∈R）的圖像關(guān)于直線x=π對稱，其中ω、λ為常數(shù)，且

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）三角函數(shù)與解三角形

【方法與技巧】

①應(yīng)用三角公式中的二倍角公式、兩角和、差公式及輔助角公式化簡轉(zhuǎn)化。

②解三角形時應(yīng)用正、余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，一般邊為一次時用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，邊為二次時用余弦定理轉(zhuǎn)化。

2　精髓解讀

（1）把“ωx+φ（ω＞0）”視為一個“整體”。（2）A＜0時，所列不等式的方向與y=sin x（x∈R），y=cos x（ x∈R）的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向要相反。（3）求函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）的單調(diào)區(qū)間，只有當(dāng)ω＞0時，才可整體代入并求其解，當(dāng)ω＜0時，需把ω的符號化為正值后求解。（4）求三角函數(shù)的最值時，要注意自變量x的范圍對最值的影響。（5）平移轉(zhuǎn)換時分清是由y=sinx的圖像平移轉(zhuǎn)化得到的，還是由y=sinωx的圖像平移轉(zhuǎn)化得到的。

3　方法導(dǎo)引

（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，角相同時則變形，角不同則化角，即觀察角之間是否存在和、差、二倍關(guān)系。

（2）尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系，即觀察已知與已知之間，已知與未知之間的相互關(guān)系，尋找出內(nèi)在聯(lián)系。

（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化，角相同則應(yīng)用常見公式：

化歸；角不相同同，則用和角公式、差角公式、二倍角公式化歸為 f（x）=Asin （ωx+φ），再求解。

參考文獻：

［1］梁志芳.學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的調(diào)查研究［M］.石家莊: 河北師范大學(xué)，2011.

［2］符白陵.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)策略研究［M］.海口: 海南師范大學(xué)，2014.

（責(zé)任編輯：吳 芳）

中圖分類號：O1-645

文獻標識碼：A

doi:10.3969/j.issn.1672-7304.2016.01.059

文章編號：1672–7304（2016）01–0125–02

作者簡介：田 麟（1973-）， 男，甘肅酒泉人， 一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

The characteristic and application of trigonometric function

TIAN Lin
（One in Jiuquan， Jiuquan Gansu 735000）

Abstract:Combining with comprehensive topic common mould， trigonometric function examination characteristic， mode， draw attention question has carried on the concrete analysis， and put forward the corresponding test methods and problem solving strategies.

Key words:Trigonometric function； monotone； cycle； the most value