數學建模在高數教學中的應用

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摘 要：常微分方程是解決實際問題中最基本的數學理論和方法，方程求解后的結果代表了自然現象的內涵，工程中也經常用到常微分方程。在研究實際問題的過程中，我們要先建立起數學模型，然后對模型進行分析求解，因此，探討常微分方程具有重要的現實意義。

關鍵詞：常微分方程；模型構建；模型求解

中圖分類號：O175.1 文獻標識碼：B 收稿日期：2015-12-15

一、數學建模在高數教學中的意義

數學建模是用數學的方法將特定對象的內涵完整、清晰而又簡潔地表述出來。在高數教學中建模思想占據重要地位，它是將數據和實際問題相連接的紐帶，以物理、化學為代表的自然科學和以金融、管理為代表的社會科學以及以機械為代表的工程學中都經常用到數學模型。

二、數學建模在常微分方程模型數值解法的應用

本文以商品價格為例探討數學建模的實際應用。在完全的市場經濟體制中，產品的價格由市場的需求決定：供大于求，產品價格自然上不去；求大于供，產品緊俏，價格自然下不來。換句話說，假定我們忽略一些影響產品價格不斷波動的因素，僅考慮市場和產品因素，可以說，市場上供與求的關系一定程度上決定了產品的價格，然而，實際上，產品的價格受到多方面的影響，不會完全取決于市場需求，且產品價格也不是一成不變的，它會是一個波動值。

1.模型的構建

我們用數學模型來表示產品價格與市場需求的關系：設定時間為t，產品定價為p（t）。p（t）不等于生產廠家的價格定位，這時市場供需關系發生變化，供與求的不均衡會導致產品價格需要重新定價。在新的定價下，供需關系會再次產生變化，這樣循環反復。因為供需關系的變化，產品的價格就是不斷變化的，是動態的，我們發現產品價格p（t）和供求關系的比值—有正相關的關系，我們用f（p，r）代表市場需求，用g（p）代表向市場供應的產品數量（r為設定值），那么可得到下式

注意，p0代表產品在時間t=0的定價，α是正的實數。

從這里我們可以看出市場價格的模型是一個關于一階常微分方程的數學模型，可以通過常微分方程的數值解法求解分析。

2.模型的求解

建立數學模型是為了用數學方法解決實際過程中存在的問題，數學建模即用數學語言將實際問題表述出來，這只是解決問題的第一步，這一部分需要我們明確建立模型的目的。同時要搜集大量的資料。還要建立研究對象之間的數學模型關系。然后再對數學模型進行求解，求解過程中需要應用數學理論和計算機技術，這個過程需要有扎實的數學理論基礎以及個人的敏銳的觀察力以及大膽的假設。高等數學教學中經常會出現理論知識過于豐富，但是實際應用程度卻很低的情況，將數學建模應用于高等數學教學中，在解決實際問題過程中具有重要意義，能夠利用它更好地分析實際問題并給出相應的結論。

參考文獻：

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