右刪失數據下回歸函數的局部組合分位數回歸估計

何曉霞，劉　熙，王志明

(武漢科技大學理學院，湖北 武漢，430065)

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右刪失數據下回歸函數的局部組合分位數回歸估計

何曉霞，劉熙，王志明

(武漢科技大學理學院，湖北 武漢，430065)

本文研究右刪失數據情形下的組合分位數回歸模型，采用局部多項式逼近來估計回歸函數，得到回歸函數在某一點的估計量的漸近正態性和區間估計，并通過蒙特卡洛模擬驗證了所提方法的有限樣本性質。

刪失數據；回歸函數；分位數回歸；漸近正態性；局部多項式；非參數回歸

在非參數統計中，通常用一個光滑函數來描述協變量X和響應變量Y之間的關系，而分位數回歸(quantileregression)被廣泛應用于探索二者之間的潛在關系。分位數回歸的基本思想是根據因變量的條件分位數對自變量進行回歸，從而得到分位數的回歸模型。由于分位數回歸可以刻畫響應變量更多的分布特征，因此引起了研究人員的大量關注。Zou等[1]針對分位數回歸估計效率容易受到分位數特定取值影響的問題而提出了組合分位數回歸，該方法的優勢在于能綜合多處分位數回歸的信息。局部多項式方法是一類性能良好的非參數回歸估計方法，Kai等[2]提出了局部多項式組合分位數回歸，并證明了當誤差服從非正態分布時，該方法比普通的局部最小二乘估計方法具有更高的估計效率。Jiang等[3]提出了單指標模型局部線性組合分位數回歸估計。呂亞召等[4]通過回歸函數的多項式逼近，研究了部分線性單指標模型的組合分位數回歸和變量選擇。

上述研究都是基于完全數據，但在實際應用中，尤其是在生存分析以及可靠性理論分析中，往往得不到完整的數據，即數據存在刪失。Koul等[5]提出了在誤差分布未知的情況下刪失數據的分位數回歸模型。Wang等[6]基于左截斷數據得到回歸函數的局部組合分位數回歸估計的漸近正態性質。關于刪失數據的中位數回歸分析也有不少研究成果[7-9]。

本文將考慮右刪失數據情形下回歸函數的估計，采用局部多項式逼近方法構造相應的損失函數。由于數據類型不同導致損失函數存在差異，文獻[6]中的方法不能直接應用，因此本文充分利用右刪失數據的K-M(Kaplan-Meier)估計的性質，運用泰勒展開得到相應估計量的漸近正態性。

1　問題描述

本文考慮的分位數回歸模型為

(1)

式中：X=(X1,…,Xp)T為協變量；對于給定的非負整數q，τk=k/(q+1),k=1,2,…,q；ck=F-1(τk)，其中，F為模型誤差εi的分布函數；g(·)是未知的可微函數。

理論上,損失函數為

(2)

式中：ρτk(u)=u[τk-I(u<0)]為τk∈(0,1)時的分位數損失函數，其中I(·)為示性函數。對于給定的樣本，當Xi在x0的鄰域中時，g(Xi)可以線性近似表示為g(Xi)?g(x0)+g′(x0)(Xi-x0)，這樣，上述目標函數可以局部線性表示為

其中ωi是以x0為中心的非負權重。為進一步簡化上述損失函數，令ak=ck+g(x0)，b=g′(x0)，在右刪失數據條件下觀測到數組(Yi,Xi,δi)，其中Yi=min(Ti,Ci)，δi=I(Ti≤Ci)，這里Ti為刪失時間變量；Ci是刪失變量，其分布函數為G。則損失函數為

(3)

2　模型假設及主要結果

為了估計模型中參數與未知函數的漸近性質，需要如下正則性條件：

(A1)K(·)為非負有界的連續對稱密度函數，具有有界支撐[-M,M]；

(A3)函數g(·)為二階Lipschitz連續，且其二階導數有界；

(A4)X的密度函數fX(x)在x0連續，fX(x0)>0，0≤f(s|X=x)≤B0，B0為正常數；

(A5)模型誤差ε的密度函數f(·)為正且對稱，其二階導數有界；

(A6)窗寬hn滿足hn→0,nhn→∞；

(A7)對于?t∈[0,c]，Ρr(t≤T≤c)≥ζ0≥0，這里ζ0是常數。

定理2假定條件(A1～A7)成立，則有

3　定理的證明

3.1定理1的證明

其中，

因此

[Bni,k]2=[Bni,k]2I(Δi,k≥ε)+[Bni,k]2I(Δi,k<ε)。

一方面，

另一方面，

因此，

(4)

運用泰勒展開式，得到

因此

且

因此有

(5)

根據鞅中心極限定理，有

(6)

應用凸引理[11]及二次漸近引理[12]，得到

(7)

因為

類似地，Cov(w1k,w21)→ν1λkk′(x0),Var(w21)→ν2λkk′(x0)，則應用Cramér-Wald定理，有

(8)

式中：W2是均值為0的正態隨機變量。

因此可以得到

且

3.2定理2的證明

則可得

因此

進一步，由于

因此，有

定理2得證。

4　數值模擬

4.1相容性質

運用蒙特卡洛模擬法檢驗局部組合分位數回歸(CQR)估計的有限樣本性質，在分析中使用局部最小二乘(LS)估計作為比較對象。這里考慮模型誤差分別服從正態分布與非正態分布的隨機數據，模擬模型如下：

應用定理2，漸近均方差(AMSE)定義為

使AMSE達到最小值的最優窗寬為

針對每一種誤差分布，均分別運用局部LS和CQR(q分別取5、9、19)估計，記錄x0=0.75時估計量的偏差Bias、標準差Sd以及平均平方誤差比率(RASE)。RASE定義為

從表1～表3中可以看出：

(1)當誤差服從標準正態分布時，RASE值略低于1，表明局部組合分位數回歸估計與局部最小二乘估計的效率很接近；當誤差服從非正態分布時，RASE值大于1，表明前者較后者的估計效率更高。

表1　εi～N(0,1)的模擬結果

表2　εi～t(3)的模擬結果

表3　εi～Cauchy(0,1)的模擬結果

(2)誤差分布、樣本容量和刪失率相同時，由Bias和Sd的數值可知CQR19的估計效率優于CQR5和CQR9的估計效率，即分位數的組合數量越多，估計效率越高。

(3)誤差分布及樣本容量相同時，隨著刪失率的增加，估計量偏差與標準差也隨之增加，即刪失率越小，估計效率越高；

(4)誤差分布及刪失率相同時，樣本容量的增多能提高模型估計的精確性。

4.2置信區間估計

考慮模型誤差εi服從標準正態分布N(0,1)的情況，模擬數據樣本容量n分別為200、800，模擬次數為400，數據刪失率為15%、30%、45%。分別運用局部LS和CQR(q=9)估計，記錄x0=0.75時的平均置信區間長度(AL)與區間覆蓋概率(CP)，見表4。

從表4中可以看出：

(1)對于給定的樣本容量與刪失率，CQR9比LS的平均置信區間長度小，同時CQR9的覆蓋概率更接近于95%，說明CQR9的估計性能更好；

(2)樣本容量越大、數據刪失率越小，則平均置信區間長度越小，覆蓋概率越接近于95%。

表4　置信水平為95%時的平均置信區間長度與覆蓋概率

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[12]FanJ,GijbelsI.Localpolynomialmodellinganditsapplications[M].London:Chapman&Hall,1996.

[責任編輯尚晶]

Localcompositequantileregressionestimatorofregressionfunctionwithrightcensoreddata

He Xiaoxia, Liu Xi, Wang Zhiming

(CollegeofScience,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430065,China)

Thispaperstudiesthecompositequantileregressionmodelfortherightcensoreddata.Byapproximatingtheregressionfunctionwithlocalpolynomial,theasymptoticnormalityandintervalestimationoftheestimatorforthefunctionvalueatapointareobtained.ThefinitesampleperformanceoftheproposedmethodisverifiedbyMonteCarlosimulations.

censoreddata;regressionfunction;quantileregression;asymptoticnormality;localpolynomial;non-parametricregression

2015-12-14

國家自然科學基金資助項目(11201356).

何曉霞(1979-)，女，武漢科技大學副教授，博士.E-mail:hexiaoxia@wust.edu.cn

O212.7

A

1674-3644(2016)04-0309-08