帽子謎題簡單版

許多讀者朋友可能會對前面提到的謎題感興趣。它的答案是什么？如果回答這種策略并不存在（事實上，一般人不經過仔細思考的話，很可能就會否定這種策略的存在），那么應聘者就在一個重要的面試問題上失敗了。但要想找到這個策略，當然也不容易。實際上，這道“100頂帽子”謎題是結合了運籌學、邏輯學和數學相關知識的一道中等難度的謎題。為了幫助讀者理解它的解答思路，我們先來看它的簡化版：警察抓來4個囚犯，但監獄已經滿員，于是典獄長想出了一個解決辦法，他給囚犯們出了一道謎題。他讓其中3個囚犯站成一列，第4個囚犯則被一扇屏風擋住。典獄長給每個囚犯各戴一頂帽子，并且對囚犯們說，其中兩頂帽子是黑色的，另外兩頂是白色的。每個囚犯都只能看見他前面的囚犯戴的帽子，但看不見他自己或他后面的囚犯戴的帽子。屏風背后的囚犯看不見自己的帽子，另外3個囚犯也看不見他。此外，囚犯之間不得有任何交流。如果任何一個囚犯能以100%的準確度（而不是靠猜測）報告典獄長他自己戴的帽子是什么顏色，那么4個囚犯均獲釋;但如果任何一個囚犯答錯，則4個囚犯都會被立即處死。謎題就是：不管典獄長怎樣分配帽子，找到讓所有囚犯逃生的策略。

為了方便解釋答案，我們對排成列的囚犯從前到后分別給予代號D、C和B（如上圖）。也就是說，C能看見B的帽子，D能看見B和C的帽子。囚犯們知道每種顏色的帽子只有兩頂，因此，如果D觀察到B、C的帽子同色，D就能推斷出他自己的帽子為另一種顏色。然而，如果B、C的帽子不同色，D就無法判斷自己帽子的顏色，也就只能不說話。其實這時候的關鍵在于C。從D的不說話，C就能判斷出他和B的帽子顏色不同。因為C能看見B的帽子是什么顏色，所以他就能斷定自己的帽子是與B不同的顏色。

與許多這類謎題一樣，上述答案依賴于一種假設：所有參與者都是理性的和足夠聰明的，因此足以作出合適的推斷。否則，上述逃生策略就行不通。在解決這道謎題后，我們可以對交流的本質進行一些思考：囚犯D有意的沉默是否違反了“不能交流”的規則？交流經常被定義為“信息傳遞”，而D不說話（不傳遞信息）恰恰提醒了C（或者說向C傳遞了一種無聲信息）。為了澄清這一點，謎題中“囚犯之間不得有任何交流”可改為“囚犯之間不得有任何語言交流”。

把上述謎題稍作改動：囚犯們知道黑色帽子有3頂，白色帽子只有1頂，并且屏風同一側的3個囚犯能相互看見（但A依然看不到自己所戴帽子的顏色），即B看得見C和D，C看得見B和D，D看得見B和C。但B、C和D都看不見A，而A也看不見他們。那么，逃生策略是什么？

答案要分兩種情況。第一種，3個囚犯中有1個戴的正是白色帽子，那么其余兩個自然一下就能判斷自己的帽子是黑色的。第二種，囚犯BCD戴的都是黑色帽子，A戴的是白色帽子。由于他們每個人都看到其他兩人戴的都是黑帽子，所以他們3人中無人敢斷言自己的帽子是什么顏色。通過都不發言，他們就能推斷他們3人戴的都是黑色帽子，而A戴的帽子是白色的。

再對上述謎題作改動：只有3個囚犯，帽子卻有5頂，其中2黑3白。3個囚犯被命令頭朝前站成一列，其中A在最前面，C在最后。他們被告知有2黑3白共5頂帽子。每個囚犯都被戴上1頂帽子，且他們都只能看見自己前面的人所戴的帽子，但看不見自己和后面的人所戴的帽子。誰能第一個準確說出自己的帽子是什么顏色，誰就獲釋。但是，囚犯之間不得進行語言交流。

答案要分兩種情況。首先，假設A戴的是黑帽子。如果B戴的也是黑帽子，C立即能判斷自己戴的是白帽子。如果A戴的是黑帽子，B戴的是白帽子，C就無法判斷自己戴的帽子是什么顏色。從A戴的黑帽子和C的不發聲，B就能知道自己和A戴的帽子顏色不同，因此自己戴的必定是白帽子。總結前述，如果A戴的是黑帽子，B或C將立即判明自己所戴帽子的顏色。

第二種情況，假設A戴的是白帽子。此時，C看不到兩頂黑帽子，因此無法判斷自己的帽子顏色。B只看見1頂白帽子，所以也無法斷定自己的帽子顏色。這樣一來，A、B和C都會保持短暫沉默，直到A最終判斷出自己一定戴的是白帽子，原因是C和B都不發聲。

在這個謎題中，依然要假定3個囚犯都很聰明。另外需要假定，C囚犯無法判斷自己的帽子顏色，就是因為看見其他兩個囚犯戴的帽子都不是黑色的，或者黑白各1頂。如果他看見了兩頂黑帽子，那么他就能斷定自己戴的是白帽子。還需要假定，其他兩個囚犯能理解第一個囚犯的反應，利用這一信息并結合自己親眼所見，推斷出自己的帽子顏色。

再來看3個囚犯和3頂帽子的情況：每個囚犯被隨機戴一頂帽子，要么紅色，要么藍色。每個囚犯都能看見其他兩個囚犯的帽子，但看不見自己的帽子。每個囚犯要么猜測自己的帽子顏色，要么保持沉默。3名囚犯必須同時作答或不答，因此就不可能根據他人的猜測來作出自己的猜測。如果至少有一個人答對，其他人不回答，那么他們全部獲釋。否則，他們都會被處決。在此之前，3名囚犯可以商量對策。這個謎題（對策）沒有100%的勝算策略，問題是：最佳策略是什么？什么策略能保證最高勝算？

答案其實并不難。3個囚犯在同時猜的時候，最佳策略是這樣的：如果看到另外兩人帽子顏色不一樣，就保持沉默;如果看到另外兩人的帽子都是紅色，就說藍色;如果看到另外兩人的帽子顏色都是藍色，就說紅色。

為什么這樣呢？3個囚犯，兩種帽子顏色，則其排列組合只有8種：紅紅紅，紅紅藍，紅藍紅，紅藍藍，藍紅紅，藍紅藍，藍藍紅，藍藍藍。也就是說，在所有8種情況下，只有兩種情況是三人的帽子同色，而有6種情況是有一人的帽子和另兩人不同色。即依照上述對策，回答正確的概率為75%，可以說是最佳策略。