避免五子連珠的分析與建模

方泓堃　宋涵

摘 要：本文主要解決如何在二維棋盤上取走最少的棋子，使剩余棋子五子不相連的問題。模型靈感來源于五子棋中最強防守策略“馬步跳”形成的“八卦陣”。這里將棋盤建立在一個二維坐標(biāo)系內(nèi)，并將“馬步跳”法轉(zhuǎn)化為二維坐標(biāo)系下的一個數(shù)學(xué)關(guān)系式，并設(shè)計了一個基準(zhǔn)棋盤，并證明該棋盤可對任意m×n棋盤均滿足最少取子個數(shù)和五子不連珠的要求。

關(guān)鍵字：五子不相連；馬步跳；基準(zhǔn)棋盤

1 引言

五子棋中有一個“八卦易守，成角易攻”的概念，八卦就是由象棋四個馬步形成的一種棋形，如果擺滿全盤，則對方?jīng)]有取勝的可能，即不可能產(chǎn)生五子連珠。下圖1中四個黑子便互成馬步跳，形成一個八卦。

2 將“馬步跳”其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

以圖1黑子1為原點（0，0）建立平面直角坐標(biāo)系xoy，每個方格就對應(yīng)一個獨特坐標(biāo)（x，y），其中其他三個黑子的坐標(biāo)分別為（2，-1）（3，1）（1，2）。根據(jù)“馬步跳”特性，及總結(jié)分析得在這個坐標(biāo)系下，所有“馬步跳”點滿足（x+2y）都能將5整除，

即： 我們暫且將這些點稱為“馬步點”

可以證明，在一個任意一個二維棋盤上，確定一個坐標(biāo)原點，拿去所有去所有的“馬步點”，剩余的所有棋子不可能形成五連珠。（模型驗證部分有證明）

3 構(gòu)建基準(zhǔn)棋盤Ω

假設(shè)有一個可以向下，向右無限增長的棋盤，該棋盤上剛開始開始布滿棋子，以棋盤上左上角為（1，1）點，如下圖2建立坐標(biāo)系ioj，每個方格就對應(yīng)一個坐標(biāo)（i，j）。以標(biāo)記為1，坐標(biāo)為（1，3）的棋子為原點，如（2）所述建立坐標(biāo)系xoy，則該棋盤上所有“馬步點”坐標(biāo)（i，j）滿足：

將所有的“馬步點”的棋子拿去后形成的棋盤如上圖2所示，

這里我們稱其為基準(zhǔn)棋盤Ω。

基準(zhǔn)棋盤性質(zhì)：

1、由上2分析得，基準(zhǔn)棋盤上不存在五五連珠的情況

2、從（1，1）點開始向下，向右任取一個規(guī)模為m×v的二維棋盤，其上取下的棋子為

4 模型的證明

4.1首先證明當(dāng)m≥5，n≥5時，其上取下的棋子為

注意到，在棋盤的每一個5k×1的子棋盤上，每一列至少需要取出k枚棋子。否則，會出現(xiàn)5枚棋子在該列依次相連，因而，至少要取出k×l枚。同理，在每一個l×5k的子棋盤上也至少要取出l×k枚。

設(shè)m、n除以5的余數(shù)分別是u、v。

接下來對u、v分情形討論，為簡化討論，不妨設(shè)0≤u≤v<5。

u×v<5的情形。如圖3，把棋盤劃分成（m-u）×n、u×（m-v和u×v三塊在前兩塊中分別至少要取出

5 模型的優(yōu)點

針對一般二維棋盤，借鑒并運用了五子棋中的八卦陣，依據(jù)“馬步跳”思想設(shè)計出了一種通用的取子算法，建立了一個基準(zhǔn)棋盤Ω，從此此基準(zhǔn)棋盤上可以取任意規(guī)模的最簡五子不連珠的棋盤。此基準(zhǔn)棋盤模型，可靠易行，基本可以用來解決二維棋盤上所有問題。

參考文獻(xiàn)

[1] 丁龍云，從“五子棋”到“馬步跳”，南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，300071

[2] 趙東方，數(shù)學(xué)模型與計算，北京：科學(xué)出版社，2007

作者簡介

方泓堃（1996-），西北工業(yè)大學(xué) 動力與能源學(xué)院，自動化專業(yè)。