基于拉丁超立方體抽樣的六自由度機(jī)械臂工作空間分析

杜健超，孫衛(wèi)紅，馬冠宇

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，杭州　310018)

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基于拉丁超立方體抽樣的六自由度機(jī)械臂工作空間分析

杜健超，孫衛(wèi)紅，馬冠宇

(中國(guó)計(jì)量學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，杭州310018)

摘要：針對(duì)六自由度機(jī)械臂史陶比爾RX-90的工作空間求解問(wèn)題，提出一種基于拉丁超立方體抽樣的統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法。用D-H法對(duì)機(jī)械臂建立數(shù)學(xué)模型，采用連桿坐標(biāo)系變換的方法求出其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解。對(duì)比了蒙特卡羅法和拉丁超立方抽樣(LHS)的優(yōu)缺點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械臂笛卡爾空間和關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系，設(shè)計(jì)LHS法分析其工作空間，在計(jì)算機(jī)輸出設(shè)備顯示工作空間的點(diǎn)云圖并且得到各坐標(biāo)軸取值范圍。通過(guò)MATLAB機(jī)器人工具箱仿真驗(yàn)證了求解結(jié)果的正確性和有效性，為后續(xù)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃及優(yōu)化、動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)精度控制、系統(tǒng)優(yōu)化等研究方向提供了參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：六自由度機(jī)械臂；拉丁超立方體抽樣；蒙特卡洛法

0引言

機(jī)械臂已廣泛運(yùn)用于工業(yè)生產(chǎn)[1]，在機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)和性能研究中，有一個(gè)基本問(wèn)題是分析其工作空間。工作空間的概念最早由B.Roth于1975年提出[2]，概念為機(jī)械臂末端在各關(guān)節(jié)約束條件下能達(dá)到空間點(diǎn)的集合。工作空間反映了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)的靈活程度，是一個(gè)從幾何角度闡述機(jī)械臂的性能的重要的運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)[3]。

傳統(tǒng)的工作空間求解方法有圖解法和解析法[4]，圖解法受限于關(guān)節(jié)數(shù)量，而解析法計(jì)算量大且不能保證所有邊界曲面的可靠性。由于這些缺點(diǎn)，故近年來(lái)學(xué)者使用的較熱門的方法為基于蒙特卡洛法的統(tǒng)計(jì)學(xué)計(jì)算求解法。何價(jià)來(lái)[5]等用蒙特卡洛法簡(jiǎn)單又形象地描繪了七自由度擬人機(jī)械臂的工作空間；陳泓伍[6]用蒙特卡洛法求解了水下清刷機(jī)械手的工作空間，為后續(xù)研究做好準(zhǔn)備。然而蒙特卡洛法這種統(tǒng)計(jì)方法抽樣的隨機(jī)性很強(qiáng)，要得到較為精確的結(jié)果，需要選取大量的樣本點(diǎn)，計(jì)算效率偏低。

本文在對(duì)比常用的兩種統(tǒng)計(jì)抽樣方法蒙特卡洛法和拉丁超立方體抽樣(LHS)的計(jì)算效率后，采用更為高效的LHS分析史陶比爾RX-90機(jī)械臂的工作空間，在Matlab環(huán)境下得到其工作空間的點(diǎn)云圖，并通過(guò)MATLAB機(jī)器人工具箱仿真驗(yàn)證。

1RX-90機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1D-H數(shù)學(xué)模型建立

史陶比爾RX-90機(jī)械臂屬于關(guān)節(jié)式機(jī)器人，6個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。我們對(duì)其建立如下圖1所示的坐標(biāo)體系。前3個(gè)關(guān)節(jié)確定手腕參考點(diǎn)的位置，后三個(gè)關(guān)節(jié)確定手腕的方位。

圖1　RX-90坐標(biāo)體系建立

如同大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人[7]，后3個(gè)關(guān)節(jié)軸線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)選作為手腕的參考點(diǎn)，也是關(guān)節(jié)坐標(biāo)系{4}，{5}和{6}的原點(diǎn)。 關(guān)節(jié)1的軸線為鉛直方向，關(guān)節(jié)2和3的軸線水平，且平行，距離為a2。關(guān)節(jié)1和2的軸線垂直相交，關(guān)節(jié)3和關(guān)節(jié)4的軸線垂直交錯(cuò)，距離為a3。相應(yīng)的連桿參數(shù)如表1所示。

表1　RX-90機(jī)械臂D-H參數(shù)

其中a2=460，a3=195，d2=210，d4=450。

1.2機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解是指根據(jù)機(jī)械臂連桿的幾何參數(shù)和關(guān)節(jié)的角度矢量，求出機(jī)械臂末端相對(duì)于基坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，是關(guān)節(jié)空間到笛卡爾空間的轉(zhuǎn)換。

采用連桿坐標(biāo)系變換的方法對(duì)史陶比爾RX-90機(jī)械臂進(jìn)行正解。機(jī)械臂相鄰連桿i-1和連桿i之間的關(guān)系可表示為：

(1)

式中cθi=cosθi，sαi-1=sinαi-1等。

機(jī)械臂端部對(duì)基座的關(guān)系0T6可表為：

(2)

根據(jù)D-H參數(shù)表、式(1)、(2)解得：

(3)

其中：c23=cos(θ2+θ3)，s23=sin(θ2+θ3)。

2機(jī)械臂工作空間求解

2.1蒙特卡洛法與LHS對(duì)比

蒙特卡洛法和LHS都是抽樣統(tǒng)計(jì)模擬法，是一種以概率統(tǒng)計(jì)為理論指導(dǎo)的適用于計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算方法[8]，核心思想是將確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)概率模型，對(duì)概率模型進(jìn)行相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，最后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果就是確定問(wèn)題的近似解[9]。

蒙特卡洛法是完全隨機(jī)的，在輸入分布的范圍內(nèi)，樣本可以落在任何位置，這樣一來(lái)樣本更有可能從發(fā)生概率較高的分布區(qū)域中抽取，當(dāng)執(zhí)行迭代次數(shù)少的時(shí)候，會(huì)導(dǎo)致聚集問(wèn)題的產(chǎn)生。假設(shè)抽取5個(gè)樣本點(diǎn)，如圖2所示。

圖2　蒙特卡羅法樣本抽取示意

5個(gè)所抽取的樣本都落在分布的中間，在分布范圍外的取值，不作為樣本對(duì)輸出的結(jié)果產(chǎn)生影響。由此可見(jiàn)，要保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，必須抽取足夠數(shù)量的樣本點(diǎn)。

而拉丁超立方體抽樣是分層抽樣技術(shù)，在累計(jì)概率尺度(0～1)上把樣本空間分成相等的區(qū)間，然后從每個(gè)區(qū)間中隨機(jī)抽取樣本，被抽樣本強(qiáng)制代表每個(gè)區(qū)間的值。假設(shè)抽取5個(gè)樣本，如圖3所示。

分層數(shù)目等于執(zhí)行的迭代次數(shù)，5個(gè)分層每個(gè)都有一個(gè)樣本取出，之后這個(gè)樣本就不再抽取。由于較少的迭代次數(shù)，要達(dá)到相同準(zhǔn)確性的結(jié)果，抽樣效率和運(yùn)行時(shí)間將大為改善。

圖3　LHS樣本抽取示意

2.2LHS求解RX-90工作空間

文獻(xiàn)中[10]田海波等采用蒙特卡羅法，選取80000個(gè)點(diǎn)求解了六自由度排爆機(jī)械臂的工作空間，得到了較為準(zhǔn)確的結(jié)果。本文采用拉丁超立方體抽樣進(jìn)行工作空間的分析，提高了計(jì)算效率，僅需要選取N=10000個(gè)點(diǎn)。步驟如下：

(1)因?yàn)闄C(jī)械臂末端空間位置與關(guān)節(jié)θ1,θ2,θ3有關(guān)，所以選取N個(gè)抽樣點(diǎn)時(shí)，該立方體為C3=[0,1]3。將3個(gè)維度的坐標(biāo)區(qū)間[0，1]分成N等分，每個(gè)子區(qū)間[(i-1)/N，i/N]標(biāo)記為i。

(2)設(shè)第j維坐標(biāo)的N個(gè)標(biāo)記的隨機(jī)排列為(π1j,π2j,…πnj)，j=1,2,3。三個(gè)維度的3個(gè)隨機(jī)排列相互獨(dú)立。

(3)取cij為(πij+uij-0.5)/N，i=1,2,…N，uij是[-0.5,0.5]上的均勻分布樣本，獨(dú)立同分布且與π獨(dú)立。

(4)根據(jù)表一參數(shù)各關(guān)節(jié)變量隨機(jī)取值為

θji=θjmin+(θjmax-θjmin)cij

j=1,2,3;i=1,2,…N

(4)

(5)將式(4)所得每個(gè)關(guān)節(jié)的N個(gè)隨機(jī)變量代入式(3)，求得機(jī)械臂末端相對(duì)應(yīng)的空間位置向量，將所有向量在Matlab上仿真顯示，得到如圖4所示工作空間點(diǎn)云圖及計(jì)算結(jié)果。

圖4　機(jī)械臂可達(dá)空間三維點(diǎn)云圖

2.3工作空間求解結(jié)果的MATLAB驗(yàn)證

在MATLAB環(huán)境下，運(yùn)用機(jī)器人工具箱建立史陶比爾RX-90機(jī)械臂模型，如圖5所示：

采用工具箱中的函數(shù)link和robot建立機(jī)械臂對(duì)象，因本文采用的是改進(jìn)的D-H法，故link函數(shù)的設(shè)置參數(shù)應(yīng)選為’mod’。使用LINK.qlim來(lái)設(shè)定每個(gè)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度theta的取值范圍，如圖5a。用drivebot函數(shù)驅(qū)動(dòng)生成機(jī)械臂，從圖5b中可以看出，建立的6R機(jī)器人模型與實(shí)際相符。

(a)各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)范圍限制的設(shè)定

(b)6-DOF機(jī)械臂模型生成

(a)X=-965時(shí)的邊界驗(yàn)證

(b)機(jī)械臂正常驅(qū)動(dòng)到達(dá)目標(biāo)位置

(c)X=-975時(shí)的邊界驗(yàn)證

文章采用隨機(jī)選取空間位置點(diǎn)的方法來(lái)驗(yàn)證所得工作空間范圍的正確性。根據(jù)LHS分層抽樣思想，在[-1000,1000]mm范圍內(nèi)，對(duì)X，Y，Z軸每100mm的間距取兩個(gè)點(diǎn)作為代表，并對(duì)三軸坐標(biāo)軸隨機(jī)組合得到空間位置點(diǎn)。如果該點(diǎn)在工作空間內(nèi)，則能通過(guò)反解函數(shù)ikine和繪圖函數(shù)plot驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂從初始點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)至該點(diǎn)，反之則MATLAB報(bào)錯(cuò)?？紤]到本文的篇幅，僅以邊界位置點(diǎn)作為說(shuō)明，X負(fù)軸邊界限驗(yàn)證情況如圖6所示。

隨機(jī)選取初始點(diǎn)(300,-300,-350)，如圖6a，當(dāng)目標(biāo)位置點(diǎn)為(-965,-100,0)時(shí)，機(jī)械臂能正常驅(qū)動(dòng)，從初始位置運(yùn)動(dòng)到圖6b的位置。而當(dāng)目標(biāo)位置點(diǎn)為(-975,-100,0)時(shí)，計(jì)算結(jié)果顯示’Solutionwouldn’tconverge’，方法不能收斂，無(wú)法驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂?？梢?jiàn)機(jī)械臂在X負(fù)軸上可得到的下限在(-975,-965)之間，相對(duì)誤差限為:

同理可得X軸上限，Y、Z軸上下限的范圍，從而驗(yàn)證了通過(guò)LHS法所得的工作空間點(diǎn)云圖的正確性。

3總結(jié)

(1)采用D-H法建立坐標(biāo)系，運(yùn)用連桿坐標(biāo)系法求得機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，獲得了機(jī)械臂末端位置向量與各關(guān)節(jié)角位移的關(guān)系。

(2)對(duì)比了蒙特卡洛法和拉丁超立方抽樣(LHS)的抽樣理念，得出結(jié)論LHS的抽樣方法所抽取的樣本更具有普遍性，且具有更高的計(jì)算效率。

(3)采用了LHS求解了RX-90機(jī)械臂的工作空間，在Matlab環(huán)境中得到了準(zhǔn)確直觀的點(diǎn)云圖，并使用MATLAB工具箱仿真驗(yàn)證了結(jié)果的正確性。為后續(xù)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃及優(yōu)化、動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)精度控制、系統(tǒng)優(yōu)化等研究方向提供了參考依據(jù)。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 曾孔庚. 工業(yè)機(jī)器人技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)[J]. 機(jī)器人技術(shù)與應(yīng)用,2006(6):10-13.

[2]JohnJ.Craig.機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論[M]. 贠超,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[3] 田海波,馬宏偉,魏娟. 串聯(lián)機(jī)器人機(jī)械臂工作空間與結(jié)構(gòu)參數(shù)研究[J]. 農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2013,44(4):196-201.

[4] 張明，何慶中，王志鵬，等, 關(guān)節(jié)型碼垛機(jī)器人的工作空間分析[J]組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2013(7):68-74.

[5] 何價(jià)來(lái),羅金良,宦朋松,等. 基于蒙特卡洛法的七自由度擬人機(jī)械臂工作空間分析[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2015(3):48-51.

[6] 陳泓伍. 水下清刷機(jī)械手的設(shè)計(jì)與分析[D].杭州:浙江大學(xué),2014.

[7] 蔡自興.機(jī)器人學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000.

[8]RastegarJ,FardaneshB.ManipulatorworkspaceanalysisusingtheMonteCarlomethod[J].Mechanism&MachineTheory,1990，25(2):233-239.

[9] 梁喜鳳,王永維,苗香雯,等.番茄收獲機(jī)械手工作空間分析與仿真[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):農(nóng)業(yè)與生命科學(xué)版,2005,31(6):807-811.

[10] 田海波,馬宏偉. 井下排爆機(jī)器人機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)及工作空間的分析[J]. 礦山機(jī)械,2012(9):105-108.

(編輯趙蓉)

文章編號(hào)：1001-2265(2016)07-0030-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.07.009

收稿日期：2015-07-30

作者簡(jiǎn)介：杜健超(1990—)，男，江西宜春人，中國(guó)計(jì)量學(xué)院碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)闄C(jī)械臂軌跡規(guī)劃算法，(E-mail)448757169@qq.com。

中圖分類號(hào)：TH113；TG659

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Workspace Analysis of 6-DOF Robotic Arm Based on Latin Hypercube Sampling

DU Jian-chao，SUN Wei-hong，MA Guan-yu

(CollegeofMechanicalandElectricalEngineering,JiLiangUniversity,Hangzhou310018,China)

Abstract：For the solving of workspace of 6-DOF RX-90 robot manipulator, propose a statistical calculation base on latin hypercube sampling. Establish the mathematical medol of 6-robotic arm joint systems by D-H method. Use the link coordinate transformation to get its forward kinematical parse. Compare the Monte Carlo method and Latin Hypercube Sampling(LHS), according to the relationship of Cartesian space and joint space. Design a way of LHS to analyse the workspace of robotic arm, show its point cloud atlas in Matlab by computer output device and the range of every coordinates. Verify the correctness and validity of result by simulating with matlab robotic tool box. Provide a reference for further study for trajectory planning and optimization, dynamic analysis, precision motion control, system optimization and so on.

Key words：6-DOF robotic arm；latin hypercube sampling；monte carlo method