軸向磁通電機三角棱鏡牛頓非線性二維有限元離散求解

吳衛萍，任瑩暉

(1.廣東松山職業技術學院 機械工程系，廣東 韶關　512126;2.湖南大學 機械與運載工程學院，長沙　410082)

?

軸向磁通電機三角棱鏡牛頓非線性二維有限元離散求解

吳衛萍1，任瑩暉2

(1.廣東松山職業技術學院 機械工程系，廣東 韶關512126;2.湖南大學 機械與運載工程學院，長沙410082)

摘要：針對軸向磁通電機存在的非線材料特性，導致飽和發生時，會出現具有特定依賴性徑向坐標上的磁矢量具有潛在損失的問題，提出一種軸向磁通電機三角棱鏡牛頓非線性二維有限元求解方法。首先，對軸向磁通電機非線性靜磁方程進行研究，并設計基于牛頓迭代的模型線性化求解過程；其次，針對軸向磁通電機存在的三維容易導致非線性求解過程過于復雜的問題，提出一種基于徑向對稱的降維方法，并在此二維模型基礎上進行有限元離散化，然后利用錐形三角棱鏡方式對模型積分域進行分解，結合加權殘值法求取磁場強度的二維垂直分量，實現模型求解過程簡化；最后，通過四個測試案例及永磁軸向磁通電機進行模擬，驗證了算法的有效性。

關鍵詞：軸向磁通電機；三角棱鏡；牛頓迭代；有限元；離散模型

0引言

在諸如電機等電磁裝置中使用的鐵磁性磁芯材料一般要求處于早期飽和工況下[1]。這類系統可通過靜磁場或Maxwell方程準靜態子集進行描述。而在飽和材料存在情況下，該公式可由固定點技術進行線性化，例如，偏振方法[2]，連續替換技術[3]或牛頓方法[4]，但是線性化后的模型精度并不能很好的保證。非線性所帶來的問題是有顯著的計算成本增加，因此相對于三維模擬，二維模擬更受青睞的原因是[5]，對于任何情形下的幾何形狀，模型激發以及邊界條件在本質上都是二維的，或者可通過引入可容忍建模誤差構建其二維模型，這樣可有效降低模型求解的計算復雜度。

在二維模型中，笛卡爾和二維軸對稱模型是使用最多的，并且有提供的商業以及免費的軟件工具包[6]。對于徑向對稱情況，其特征是磁通線限制在圓柱殼內，由徑向電流產生。例如，軸向磁通機[7]，盤電機、圓柱磁剎車以及多線圈感應系統。文獻[8]表明，選擇專用的有限元(FE)形狀的可保證分區的統一，以及重要的數值一致收斂性。特別是，有限元形狀函數需要依賴于徑向坐標。然而在笛卡爾和軸對稱的情況下[9]，并不存在這樣的對稱方向上的依賴關系。

基于上述分析，在本文中為降低軸向磁通電機有限元分析過程的計算復雜度，利用牛頓非線性材料處理方法構建徑向對稱性，進行二維有限元求解器設計，并根據徑向對稱性的特殊性要求，設計特定的非線性更新方案以及Jacobian矩陣進行求解方案設計。

1非線性公式及牛頓過程

軸向磁通電機靜磁方程形式如下[10]：

(1)

(2)

圖1　BH特性示意圖

如圖1，考慮具有標量BH特性的各向同性鋼體結構，其線性化特征描述過程為：

(3)

(4)

上述牛頓求解過程停止迭代的收斂準則為：存儲磁場能量的相對變化低于用戶定義閾值。

2徑向對稱降維

(5)

場對磁通半徑r的特殊依賴性被稱為徑向場對稱性，在標準直角坐標軸對稱情況下，材料和場的對稱性具有相同的類型，而在徑向對稱及在螺旋狀對稱情況下，材料和磁場的對稱性不一定具有相同的類型。

如圖2所示的軸向磁通機器示意圖，徑向剖面和圓柱剖面可構建二維平面。該機器的磁活動部件具有一個徑向對稱的幾何形狀，r1≤r≤r2，并帶有徑向取向的電流密度。對稱性會受到線圈端部和邊緣效應的影響。然而，這些終端影響對于r1≤r≤r2的磁場是假定為可忽略不計的。磁通線被限制在圓柱殼內。考慮r=r1和r=r2間的二維模型是有意義的，其徑向范圍為lr=r2-r1。參考半徑為req，參考外殼為Seq，磁矢勢可降低到其徑向分量Ar。

圖2　軸向磁通電機的三維模型

3有限元離散化

不建議將矢量偏微分方程(1)限制到其r分量，然后引入Ar的節點有限元形狀函數。一個更好的方法是定義一個徑向對稱和笛卡爾或軸對稱的轉換模型，作為另一個選擇，建議定義專用矢量有限元形狀函數。定義在元素e上的最低階有限元形狀函數we,j形式為：

(6)

(7)

式中，er是徑向單位向量，Se為參考平面上的三角形截面積，系數ae,j，be,j和ce,j滿足如下關系：

(8)

有限元形函數(6)可用來衡量線性化公式和離散矢量磁位，可獲得公式(5)的離散對應形式：

(9)

根據有限元集成技術，可得矩陣和向量項形式為：

(10)

(11)

(12)

4非線性更新

圖3　三角形棱鏡高斯積分點

盡管如此，文獻[6]指出與r呈現反比例的特征會阻礙Gauss型求積規則的收斂性。這種方式不但未增加算法準確度，反而增加自適應集成技術的計算成本，在這里，基于如下兩個連續步驟進行積分過程求解：對r的積分進行數值模擬，同時對θ和z向的積分進行解析，可獲得如下計算形式：

(13)

(14)

(15)

其中，

(16)

(17)

在飽和情況下，原先假定的徑向材料對稱性丟失。然后，磁場從一個圓柱殼遷移到另一個，即使是完全對稱的幾何體。不過對于we,j的選擇，應使中間解決方案具有特定的場對稱性。磁通密度服從：

(18)

(19)

(20)

5模型驗證

5.1測試案例驗證

利用四個測試案例驗證上述非線性有限元求解器的徑向對稱性的正確性，如圖4所示。每一個模型考慮一個矩形截面環段，即：

(21)

并通過一個徑向電流激發。測試用例a和b包含一個線性材料，而測試用例c和d包含非線性材料。測試工況a和c下，邊界條件僅允許一個軸向磁通，而測試工況b和d下，只允許一個外部磁通。通過計算出的磁能量進行模型驗證，見表1所示。在非線性情況下，磁通密度有一個簡單的空間分布，根據BH特性可利用半解析方法計算磁場能量。

圖4　半解析的測試用例

根據表1可知，在上述四個測試案例上，采用本文二維有限元求解器獲得的模型與半解析模型對比分為兩種情況：①在線性情況下，可獲得確切的協議。對于非線性情況下，對軸向磁通和外部磁通進行區別分析。磁通沿軸向進行空間分布，因此，材料飽和不依賴于半徑r。②在非線性情況下，非線性模型保留了徑向材料對稱性，并且數值、半解析結果能夠很好地吻合。在另一方面，外周磁通密度是徑向不均勻的，并導致不同程度的飽和。然后，徑向材料對稱性丟失，二維模型求解獲得結果不再與半解析結果相匹配。

表1　二維有限元求解器和半解析模型對比

上述結果表明，在線性情況下，半解析模型可獲得與本文二維有限元求解器極為近似的結果，但是在非線性情況下，半解析模型的效果較差，與真實模型相差較大。

5.2永磁軸向磁通電機模擬

通過計算永磁軸向磁通電機飽和線圈的性能，對徑向對稱的二維模型的非線性有限元求解方法進行闡述。所采用的永磁軸向磁通電機實驗裝置如圖5所示。

圖5　永磁軸向磁通電機

該軸向磁通電機是騰達電動科技公司開發的高功率密度驅動電機，具有體積小、重量輕以及效率高等優點，電機參數見表2所示。

表2　電機參數

該軸向磁通電機定子共包含六個線圈，以及位于適當定子繞組上的局部飽和鐵軛。兩個轉子都在前后相對180°位置上移動，這樣可保證磁極的相對性。徑向對稱的二維模型通過有限元磁方法進行構建，并利用三角棱鏡軸向壓縮技術，和MATLAB二維非線性有限元求解器進行實現。類似于二維笛卡爾模型的情況，僅考慮位于r=r1和r=r2之間的磁活性部分，如圖2所示。因此，對于末端繞組的影響予以忽略。此二維有限元模型可用于軸向磁通電機的電動勢和力矩計算。繞組端部效應可以通過附加電阻和電感進行電路模型建模。轉子位置對磁場能量和轉矩的影響曲線如圖6所示。

圖6　轉子位置對磁場能量和轉矩的影響

采用二維有限元求解器對軸向磁通電機振動頻率進行測試。振動實測頻譜見圖7。根據圖7可知，該軸向磁通電機振動峰值主要集中于2000Hz頻率段范圍之內。該振動峰值由4次以內的力波生成。隨電機振動頻率升高，轉子和定子之間存在的磁場諧波幅值同時也在下降，但電機的振動能量一直在增加，這會對軸向磁通電機產生影響。

圖7　振動實測頻率

圖8所示為定子模態實測的頻率響應圖，根據圖8可知定子模態頻率為1790Hz。與軸向磁通電機徑向位置的電磁力波1682Hz及其接近，在此會產生共振現象，并且有很大的振幅存在。

圖8　定子實測頻率響應

根據圖7可知，軸向磁通電機的振幅最大值是60Hz，第二振幅是1682Hz。前者是軸向磁通電機的轉動頻率值，其由機械力源啟動過程生成，可利用動平衡進行振動抑制。后者振動頻率產生原因是共振。因此在軸向磁通電機研發時，可基于在轉子附設隔磁橋，更改磁極結構，更改定子槽形等形式，對電極的磁通密度形狀進行重構，起到消除1682Hz電磁力的效果，從而降低電機共振。

表3　電磁頻率情況(Hz)

表3所列為選取的軸向磁通電機振動實測值、文獻[1]及本文算法的電磁頻率情況對照。根據表3數據可知，因為電機材料存在非線性特征，且本文方法考慮了材料的非線性特性，故而其所獲得的電磁頻率值與真實測得的振動頻率峰值基本一致，但是文獻[1]方法所獲得的電磁頻率值與實測振動頻率峰值有一定差距，并且隨著頻率值增大，這種差距也在增大，與材料的非線性相吻合。因此本文的計算方法相對于文獻[1]方法可更為有效的預算出電機振動的主要原因，為軸向磁通電機預估和振動抑制奠定基礎。

6結束語

提出一種軸向磁通電機三角棱鏡牛頓非線性二維有限元求解方法，用于解決軸向磁通電機存在的非線材料特性導致的磁矢量潛在損失問題，該方法通過錐形三角棱鏡方式對模型積分域進行分解，并結合加權殘值法求取磁場強度的二維垂直分量，實現模型降維簡化模型計算。通過四個測試案例及永磁軸向磁通電機進行模擬，驗證了算法的有效性。

[參考文獻]

[1] 于慎波，姜菲菲，王輝.永磁同步電主軸分數槽電機的徑向電磁力分析[J].組合機床與自動化加工技術,2014(6):15-18.

[2] Hantila F I,Preda G,Vasiliu M. Polarization method for static fields[J].IEEE Transactions on Magnetics, 2000,36(4):672-675.

[3] Dlala E,Arkkio A.Analysis of the convergence of the fixed-point method used for solving nonlinear rotational magnetic field problems[J].IEEE Transactions on Magnetics,2008,44(4):473-478.

[4] Silvester P,Chari M. Finite element solution of saturable magnetic field problems[J].IEEE Transactions on Power Application System,1970,89(7):1642-1648.

[5] 張幼軍，張辰昌.幾種螺桿泵模型在非均勻壓力下的有限元分析與比較[J].組合機床與自動化加工技術,2014(8):5-8.

[6] 張健，陳琳，張祺.“S”形齒輪參數化設計及有限元分析[J].組合機床與自動化加工技術,2015(3):44-47.

[7] Vansompel H,Sergeant P,Dupre L.A Multilayer 2-D-2-D Coupled Model for Eddy Current Calculation in the Rotor of an Axial-Flux PM Machine[J].IEEE Transactions on Energy Conversion,2012,27(3):784-791.

[8] Vanoost D,De Gersem H, Peuteman J.Two-Dimensional Magnetostatic Finite-Element Simulation for Devices With a Radial Symmetry[J].IEEE Transactions on Magnetics,2014,50(5):7400204.

[9] 夏百戰,于德介,姚凌云.二維穩態輻射聲場的光滑有限元一完美匹配層解法[J].力學學報,2012,44(2):460-463.

[10] Li Huayang,Shen Jianxin.FEA-Based Design and Comparative Study of Axial Flux Permanent Magnet Machines with Various Topologies[J].TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICALSOCIETY,2015,30(14):32-39.

(編輯李秀敏)

文章編號：1001-2265(2016)07-0041-04

DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.07.012

收稿日期：2016-02-06

作者簡介：吳衛萍(1979—)，女，河北豐潤人，廣東松山職業技術學院高級講師，工程碩士，研究方向為機械設計，(E-mail)gdzyxy_wwp@sina.com。

中圖分類號：TH164;TG506

文獻標識碼：A

Triangular Prism Based Newton Nonlinear two Dimensional FiniteElementDiscreteSolutionforAxialFluxMotor

WU Wei-ping1,REN Ying-hui2

(1.Department of Mechanical Engineering,Guangdong Songshan Polytechnic College,Shaoguan Guangdong 512126,China;2.College of Mechanical and Vehicle Engineering,Hunan University,Changsha 410082,China)

Abstract：Because of the nonlinear material properties, there will be specific dependence of the radial coordinate of the magnetic vector,which has problems with potential magnetic vector losses when saturation occurs,so here proposed then triangular prism based Newton nonlinear two dimensional finite element discrete solution for Axial flux motor. Firstly,the nonlinear static magnetic equations of axial flux motor are studied, and the solution procedure of the model based on Newton iteration is designed;Secondly, the axial flux motor in three-dimensional model will easily lead to too complex for solving the nonlinear problem,so here proposed a dimensionality reduction method based on radial symmetry,and based on this two-dimensional model,here conduct the finite element discretization,then with the integral model of domain decomposition and the tapered triangular prism method,and combined the weighted residuals method to get the two-dimensional vertical component,which realized the model simplify;Finally, through four test cases and double rotor permanent magnetic bearings to simulate the flux which verify the effectiveness of the algorithm.

Key words：axial flux motor; triangular prism;Newton iteration;finite element method;discrete model