(p,q)型權投射線的凝聚層范疇上的傾斜叢

陳金晶,林玉娜

(廈門大學數學科學學院, 福建廈門361005)

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(p,q)型權投射線的凝聚層范疇上的傾斜叢

陳金晶*,林玉娜

(廈門大學數學科學學院, 福建廈門361005)

摘要：考察(p,q)型權投射線的凝聚層范疇上的傾斜叢,證明了其上的canonical傾斜叢總是構成一個slice,進而詳細刻畫了(p,q)型權投射線的向量叢子范疇的結構;進一步從不可分解對象,slice,level,domain等方面,闡述向量叢之間的一些重要性質,完全分類了所有的傾斜叢,即傾斜叢與向量叢范疇的slice一一對應.

關鍵詞：權投射線；傾斜叢；slice

權投射線的概念是由Geigle等[1]引入的, 他們引入權投射線的初衷是為了給出代數表示論中的 canonical 代數在幾何上的實現. 簡單地說, 一條權投射線可以看成是在射影曲線P1(k)上兩兩不同的點λ1,λ2,…,λt賦予權p1,p2,…,pt得到的. 同時, 傾斜對象在范疇中起到了舉足輕重的作用, Geigle等[1]進一步證明了權投射線的凝聚層范疇上總是存在著 canonical 傾斜層. Chen等[2]研究了權型為 (2, 2,n)的權投射線上凝聚層范疇的傾斜叢, 本研究主要利用 slice 完全刻畫 (p,q)型權投射線上的所有傾斜叢.

1預備知識

(s1,s2,…,st)(x1,x2,…,xt)=

(s1x1,s2x2,…,stxt)，

則F(p,λ)在G(p)作用下是穩定的.稱F(p,λ)/G(p)是權型為P的權投射線,記為X.

X上的凝聚層范疇記為coh(X),這是一個Krull-Schmidt、態射有限、遺傳的Abel范疇.coh(X) 中存在Serre對偶, 即給定任意的 F,G∈coh(X),存在如下同構映射

DExt1(F,G)→Hom(G,τF),

2(p,q)型權投射線凝聚層范疇上的傾斜叢

Geigle等[1]給出了權投射線的凝聚層范疇上的傾斜層的定義. 設T∈coh(X), 稱 T 是一個傾斜層, 如果滿足以下3條:

(i)Ext1(T,T)=0;

(ii) T生成Db(coh(X));

(iii)End(T)存在有限總體維數.

不失一般性,下面假設X是任意一條權型為(p,q)的權投射線.

對于任意范疇的Auslander-Reiten箭圖,文獻[4]給出了其上slice的定義. 特別地, 在vect(X)中給定任意的線叢X,存在從X出發以及到達X的兩個slice,把它們分別記為S(X→) 和 S(→X).這兩個slice具有如下的表達式:

S(X→)={F是線叢|Hom(X,F)≠0且

Hom(X,τiF)=0,任意的i∈N+};

S(→X)={F是線叢|Hom(F,X)≠0且

Hom(τ-iF,X)=0,任意的i∈N+}.

注意到給定兩個線叢, 如果它們之間有非零態射, 那么有如下重要的觀察.

引理1給定F, G 是任意的兩個線叢. 若Hom(F,G)≠0, 則對于任意的n∈N,有

Hom(F,τ-nG)=Hom(τnF,G)≠0.

證明事實上, 對于任意的線叢 G,

因此,對于任意的線叢X,S(X→) 和S(→X) 的表達式可以簡化為:

S(X→)={F是線叢|Hom(X,F)≠0且

Hom(X,τF)=0};

S(→X)={F是線叢|Hom(F,X)≠0且

Hom(τ-1F,X)=0}.

當權投射線X的權型為(p,q)時,知道其上的向量叢范疇vect(X)的不可分解對象均是線叢,通過觀察發現canonical傾斜叢有如下性質．

下面引入level及Domain的概念來得出主結論.

定義1給定任意的線叢F, 如下定義F的level, 記為 l(F):

定義2給定任意的線叢F,稱由F確定的Domain為

Dom(F)={G是線叢|存在m,n∈N使得τmG

∈S(→F),τ-nG∈S(F→)}.

為了找出凝聚層范疇coh(X)上的傾斜層,下面給出一個線叢之間無非零擴張的充要條件:

引理3給定任意的線叢F,G, F 和 G 之間無非零擴張當且僅當 G∈Dom(F).

證明假設G∈Dom(F), 根據定義, 存在 m,n∈N使得

Hom(τmG,F)≠0,Hom(F,τ-nG)≠0,

Hom(τm-1G,F)=0,Hom(F,τ-n+1G)=0.

根據引理1, 如果Hom(F,τG)≠0,則Hom(F,τ-n+1G)≠0, 與假設矛盾. 故Hom(F,τG)=0. 同理可得,Hom(G,τF)=0. 所以有Ext1(F,G)=Ext1(G,F)=0.

反之,已知F,G之間無非零擴張,若G?Dom(F),則對于任意的m∈N,τmG?S(→F)或者τ-mG?S(F→).不妨設當m≥0時,τmG?S(→F).根據vect(X)的結構可知,存在n∈N+使得τ-nG∈S(→F),進而Hom(τ-n+1G,F)≠0.當n=1時,τ-1G∈S(→F),即Hom(G,τF)≠0;當n>1時,Hom(G,τn-1F)≠0,根據引理1,Hom(G,τF)≠0.綜上,根據Serre對偶,這表明了Ext1(F,G)≠0,與F,G之間無非零擴張矛盾.假設不成立,引理得證.

接下來,通過考察權投射線的凝聚層范疇上的任意傾斜叢,給出本文的主定理:

定理1給定T是coh(X)中的任意傾斜叢, 則T的不可分解直和項落在不同的τ-軌道上, 且直和項的個數為p+q. 進一步地, 在vect(X)的Auslander-Rieten箭圖中,T和slice一一對應.

證明設L是任意的不可分解叢, 對任意的n∈N，根據Serre對偶,

參考文獻：

[1]GEIGLEW，LENZINGH.Aclassofweightedprojectivecurvesarisinginrepresentationtheoryoffinitedimensionalalgebras[J].Singularities,RepresentationsofAlgebras,andVectorBundles,SpringerLectNotesMath,1987,1273:265-297.

[2]CHENJ,LINY,RUANS.Tiltingbundlesandthemissingpartonaweightedprojectivelineoftype(2,2,n)[J].JPureApplAlgebra,2015,219(7):2538-2558.

[3]LENZINGH,REITENI.HereditarynoetheriancategoriesofpositiveEulercharacteristic[J].MathematischeZeitschrift,2006,254(1):133-171.

[4]RINGELCM.Tamealgebrasandintegralquadraticforms[M].Berlin:SpringerLect,1984:180.

doi：10.6043/j.issn.0438-0479.201507026

收稿日期：2015-07-20錄用日期：2016-01-08

*通信作者：jinjingchenyu@126.com

中圖分類號:O 154.1

文獻標志碼：A

文章編號：0438-0479(2016)04-0547-03

Tilting Bundles in the Category of Coherent Sheaves over Weighted Projective Lines with Weight Type (p,q)

CHEN Jinjing*,LIN Yuna

(School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:In this paper we investigate the behavior of tilting bundles in the category of coherent sheaves over weighted projective lines with weight type (p,q). We prove that the canonical tilting bundle always forms a slice in the Auslander quiver, and then we describe the structure of the category of vector bundles. Furthermore we identify some properties of vector bundles from the aspects of indecomposable objects, slice, level, and domain among others. Finally it is shown that there is a bijection between all tilting bundles and slices.

Key words:weighted projective line;tilting bundle;slice

引文格式：陳金晶,林玉娜.(p,q)型權投射線的凝聚層范疇上的傾斜叢[J].廈門大學學報(自然科學版)，2016,55(4)：547-549.

Citation：CHEN J J,LIN Y N．Tilting bundles in the category of coherent sheaves over weighted projective lines with weight type (p,q)[J].Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(4)：547-549．(in Chinese)