“觀察物體（三）”教學研究報告

長沙市麓谷中心小學數學組　瀟湘數學教育工作室

“觀察物體（三）”教學研究報告

長沙市麓谷中心小學數學組瀟湘數學教育工作室

一、問題

幾何學作為一門學科，歷史悠久。歐氏幾何曾經統治幾何2000多年，近代以來，人們對歐氏幾何作為中小學幾何課程內容的地位和價值的爭論從未中斷。但無論如何，空間想象能力的培養一直是認同一致的幾何教學目標。曹才翰先生認為，空間想象能力是以現實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創造出新的形象的能力。他同時認為，空間想象能力提法的要求較高（對初中生而言都太高），建議提空間觀念。

課標關于空間觀念內容的表述，第一條即是“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體”。教材中“觀察物體”的相關教學內容是為了讓學生在空間觀念上獲得發展。三維圖形與二維圖形之間的相互轉換是培養學生空間觀念的主要途徑，“觀察物體（三）”就是借助小正方體的組合圖形來實現這種轉換。這個內容在初中階段的教學目標為“學會根據物體的三視圖描述出幾何體的基本形狀或實物原型，經歷探索簡單的幾何體的三視圖的還原”，在高中階段的教學目標則為“學會繪制簡單的三視圖”。

在新編的人教版小學教材中，關于觀察物體這一內容的具體編排分為三個層次：第一層次，從不同角度觀察實物和單個的立體圖形；第二層次，從三個不同的位置觀察同一個幾何組合體，辨別看到的形狀；第三個層次，根據從一個方向看到的形狀圖拼擺幾何組合體，之后根據從三個方向看到的形狀圖拼擺幾何組合體。其中，前兩個層次都是三維空間到二維平面的轉換，第三個層次是從二維平面到三維空間的轉換。

第三個層次的內容“觀察物體（三）”是新人教版教材增加的內容。這一內容的教和學都缺少經驗可循，對教師而言是一種新的嘗試。首先，它是第二個層次的逆向思維過程，是以第二個層次的知識和能力發展達到應有的水平為學習前提的。其次，在第三個層次的教學中，我們要讓學生理解，一個視圖只能反映物體的一個方位的結構形狀，不能完整地反映物體的結構形狀，如果運用從三個不同方向對同一個物體進行投射的結果（即三視圖），學生基本能完整地表示出物體的結構形狀。

1.教之困

（1）學生習慣了從空間實物到平面圖形的想象方式，現在需要進行逆向思維，將用平面圖形的方式呈現的立體圖形還原為立體的實物圖形，跨越比較大，教學的時候有難度。

（2）教學中是否要從中尋找規律，尋求解答題目的最佳途徑。這樣做，從數學方法論的角度來說，能夠鍛煉學生的最優化的思想，提高做題效率，但卻與三視圖本身的應用沒有關系。

2.學之難

（1）從三維空間到二維平面的轉換要以較強的空間想象能力作為基礎，還需要突破錯覺，對基礎薄弱的孩子來說，可能要經歷多次失敗的操作才能獲得正確的答案。

（2）在課堂中，存在著三視圖（主視圖、俯視圖、左視圖）、在平面上畫出的立體圖形、實物立體圖形等幾何形式，學生在學習之前就應具備相應的轉換能力，能將用平面圖形的方式呈現的立體圖形和實際擺放的立體組合圖形進行轉換。

（3）三視圖是工程界一種對物體幾何形狀約定俗成的抽象表達方式，我們的教學僅僅是一個啟蒙，因此，使用的圖形也是規則的立體組合圖形。對學有余力的孩子，教學時可否將知識進一步滲透？

3.對問題的分析

（1）例1和例2之間需要架設橋梁，使它們的教學目標一致。作為新編入的教材內容，對教材的再加工是值得探討的問題。對于例1，可以探討的方向有兩個，第一個方向是，已知主視圖，用固定數量的小正方體擺相應的立體圖形，可以有多種擺法；第二個方向是，在已知主視圖和左視圖的情況下，研究需要的小正方體的個數。這兩個方向都有助于培養學生的空間想象能力。在充分研究例2以后，我們決定還是從第一個方向著手，使例1與例2的教學目標相對一致。由此學生也能理解到，只有一種或者兩種視圖都無法確定所能擺出的立體圖形的唯一性。只有給出三種視圖才可以確定所擺的立體圖形的唯一性。

（2）學生學習遇到困難的客觀原因來自于操作的缺失。要發展學生在平面圖形和立體圖形之間的轉換能力，必須通過畫圖及操作等手段實現。在這個內容的教學中，操作的作用舉足輕重。可是，有些教師由于主觀上認識不夠，加上學具缺乏，操作往往成了教師的演示，學生沒有機會動手。因此，準備足夠的標準學具，留出充分的時間讓學生動手操作，是解決這個課時學習困難的有效策略。

（3）生生互動不夠也是造成學生理解和想象不透徹的原因之一。學生與學生之間的協作、辯論、質疑和評價能夠激發學生更大的學習熱情，促使對學習內容進行更加深入的探討。因此，課堂應該給學生充分的時間思考、質疑、辯論、評價，教師適時引導，幫助學生拓展知識的深度和廣度。

基于以上認識和對問題的分析，我們在教學這一內容時對培養學生的空間想象力和思維能力作了一些嘗試。

二、實踐

1.基于已知正視圖擺出立體圖形的教學嘗試。

片段實錄

生1擺出圖形。

師：大家覺得他擺得對嗎？

生2：他的擺法可以，我認為還可以把第一排的第一個小正方體擺在第二個小正方體的前面，也可以擺在第三個小正方體的前面，所以一共有3種擺法（如圖：）。

生3：我來補充，先用3個小正方體擺一排，再將剩余的這個小正方體擺在第一個小正方體的后面，也可以擺在第二個小正方體的后面，還可以擺在第三個小正方體的后面，也是3種擺法。加上之前的3種擺法，一共有6種。

師：說得真好，這樣有序思考，能夠做到既不重復也不遺漏。剛才你們把4個小正方體分成了兩排來擺，一排有3個，一排有1個，那我們就將它們分別稱為“一三型”擺法和“三一型”擺法。那只有這6種擺法嗎？

生4：有無數種。

師：真的有無數種嗎？請你上臺擺擺看。

生4將第四個小正方體擺在第一個和第二個小正方體后面的中間。

生5：只要是在第一個和第三個之間的后面來回移動都可以，有無數種擺法。

生6：我覺得不一定要緊挨著第一個小正方體的后面，一直垂直往后面擺都可以。也有無數種擺法。

師：是啊，如果按照你們說的這樣擺，會有無數種擺法。但我們現在只研究棱和棱重合的拼擺情況，不涉及錯開的情況。

生7：那就只有6種擺法。

師：其他同學還有什么問題嗎？

生8：剛才老師講了可以是棱和棱的重合。那我把最左邊的兩個往后挪，挪成這個樣子：，這應該是一種新的擺法了吧？

師：誰來評價一下這種擺法？

生9：我認為是對的，從正面看是。

師：大家都請認真看一看。剛才我們有“一三型”“三一型”，他這個擺法可以稱為什么型呢？

生10：“二一一型”。

生11：還可以擺出“一二一型”“一一二型”。

師：請大家動手擺擺看。（學生操作）還有別的擺法嗎？

生12：還有“二二型”。

師：這樣要怎么擺？

生12擺出和等形狀。

師：4個小正方體可不可以擺成“一一一一型”呢？

生13操作，擺出。

生14：不對，從正面看是4個正方形了。但是可以調整成“一一二型”。

師：那擺法有多少種，可以統計嗎？（可以）不過，我們今天不是研究有多少種擺法，而是要從中知道，光憑從正面看，我們無法確定一個立體圖形的唯一性。那么光從側面看，能不能確定一個立體圖形的唯一性呢？

生15：也不可以，因為只是換了一個方向而已。

設計意圖：從探索“一三型”的擺法開始，引導學生通過思考和實踐遷移到其他如“二一一型”等的擺法，把最后的落腳點放在得出“只有一個視圖無法確定立體圖形的唯一性”上。

2.基于已知正視圖和左視圖擺出立體圖形的教學嘗試。

片段目標：學生通過想象和操作，用5個小正方體擺出正視圖為，左視圖為的圖形，并且通過觀察和想象，得出能擺出的其他圖形的樣子，利用動手操作進行驗證，進一步培養空間想象能力。

片段實錄

師：如果再增加一個同樣大小的小正方體，要保證從正面看到的形狀也是，你可以怎樣研究它的擺法呢？

生1：我可以將5個小正方體分成幾份進行嘗試，和剛才研究4個小正方體的擺法差不多。

師：具體的操作我們現在就不進行了。有興趣的同學下課以后可以研究，看看到底有多少種擺法。如果增加一個條件，規定擺出的圖形從左面看必須是，可以怎樣擺？會有多少種擺法呢？請大家先仔細想想該怎么做。

生2：我們可以從正面是的圖形里面挑選出從左面看是的圖形。

師：他這種方法，你們是怎么理解的？

生3：我覺得應該先擺好從正面看是的 3個小正方體，然后進行調整。

師：請大家動手擺一擺吧。

學生動手操作。教師請兩位同學上臺展示各自的擺法（如下圖所示），并且說一說自己是怎么擺的。

師：他們的擺法不一樣，都符合條件嗎？

生（齊）：符合。

師：看樣子，規定兩個方向看到的平面圖形，我們還是可以擺出不一樣的立體圖形來。那再增加一個條件：從右邊看是的圖形，會怎么樣呢？

生4：從右邊看和從左邊看是一樣的，所以擺法跟剛才的結果相同。

師：那么，有沒有一種可能，我們給出足夠的條件，就能擺出唯一的立體圖形呢？

設計意圖：本片段我們對教材進行了創新，使之能夠在例1和例2之間起到承接的作用。這樣一來，在教師的引導下，學生知道了已知兩個視圖也無法確定立體圖形的唯一性，從而進一步思考已知三個視圖是否就可以確定立體圖形的唯一性。

3.基于已知正視圖、左視圖和俯視圖三個視圖擺出立體圖形的教學嘗試。

片段目標：學生通過思考和想象，探索怎樣根據三視圖確定立體圖形，培養空間想象能力和動手操作能力，以及分析和解決問題的能力。

片段實錄

師：你覺得給出從幾個方向看到的平面圖形，能大致確定一個立體圖形？

生1：前后看是一樣的，左右看是一樣的，應該是增加一個上下看的圖形，就差不多可以確定了。

師：那好，這里分別給出了從正面、左面、上面看到的圖形，你能用小正方體擺出原來的形狀嗎？（出示教材例2，如下圖）請大家先想象一下怎樣擺，可能需要幾個小正方體，再和同桌交流你的思路。

學生先想象，然后跟同桌交流，再進行動手操作。

師：擺好以后，請從三個方向觀察，驗證你擺出的立體圖形是否正確。然后在紙上畫一畫，畫完后和給出的條件對比一下，再展示你們的作品。

學生驗證后展示作品。

師：我發現大家都擺得一模一樣。說說你是怎樣擺的？說之前，我們先看看在研究上是怎樣給從這幾個方向看到的平面圖形命名的。從正面看到的，是主視圖（板書：主視圖）；從左面看到的，是左視圖（板書：左視圖）；從上面看到的，是俯視圖（板書：俯視圖）。

生2：我先根據正視圖擺出從正面看到的2個小正方體；再看左視圖，發現還要添1個小正方體，有可能是添在后面，也有可能是添在前面；最后看俯視圖，發現要添1個小正方體在后面。

生3：我和他的思路不一樣。我是先看俯視圖，每個位置擺1個小正方體，然后觀察，發現從正面看符合主視圖，從左面看也正好符合左視圖。這樣容易一些。

師：你們分別用了幾個小正方體？

生（齊）：3個。

師：這兩個同學的思路不一樣，可是擺出的結果卻是一樣的。由此我們可以猜測，根據給出的三視圖，用小正方體擺出相應的幾何組合體，擺法是唯一的。那到底是不是唯一的呢？我們還只研究了一個例子，遠遠不夠，所以我們只能說，可能是唯一的。

師小結：這節課我們分別根據一個視圖、兩個視圖、三個視圖擺立體圖形，發現根據一個視圖、兩個視圖進行拼擺，擺法多種多樣，也了解到根據三個視圖擺立體圖形可能是唯一的、確定的。你們擺出了經驗，總結了方法，請你們記住這個經驗，之后將它們應用到練習當中去。

三、討論

本節內容旨在通過學生的動手操作和發揮空間想象能力，實現從二維平面到三維空間的轉化，突破學習的難點。我們創造性地運用了教材，理出了一條主線，即引導學生從探索已知一個視圖的立體圖形的擺放，過渡到已知兩個視圖的立體圖形的擺放，再落腳到已知三個視圖的立體圖形的擺放。在這個過程中，學生比較好地理解了已知三個視圖的立體圖形的擺放方法，也在想象與操作中獲得了能力的提升和學習的快樂。在教學完成以后，我們也進行了認真的反思。

1.本節課中，我們只讓學生感受了兩點：一是已知一個視圖時擺法的多樣，且可以遵循一定的規律來擺，至于到底有多少種擺法，是怎樣的規律，我們沒有深入研究或者說總結；二是已知兩個視圖時，擺法變少了，少成什么樣，我們也沒有總結。我們的思考是，這些結論和規律偏離了預設的課堂教學目標，因此進行了舍棄。

2.從時間和容量上來說，我們無法在本堂課進行練習。再進行教學時，我們可能會將這一課時的內容拆分成兩個課時或者三個課時，引導學生進行充分的挖掘和研究。其一，可以將已知一個視圖擺圖形的方法研究作為方向來深入探究；其二，可以充分拓展：已知兩個視圖，在已有的規則下，我們用小正方體擺與之符合的立體圖形，需要多少個小正方體呢？其三，絕大多數的凹形立體圖形即使有了三視圖也無法確定其唯一性，那么在用小正方體擺立體圖形的時候，增加什么條件能確定其唯一性呢？這個也是可以帶領學生探討的。

3.關于三視圖的內容，在小學、初中、高中三個階段的數學教學中都有安排，而三視圖的概念是在高中階段才學習的，用投影來定義。顯然，我們無法在小學階段讓學生理解。但是，為了學習的方便，是否可以引入主視圖、俯視圖、側視圖這三個名詞？是否可以像我們的課堂這樣，先讓學生形象地認為從上面看，看到的圖形就大致等同于俯視圖？從左邊看，看到的圖形就大致等同于左視圖？從正面看，看到的圖形就大致等同于正視圖？

（執筆：王樹坤、李小珍、何琴）