地-井與井-地及井-井時域激電異常響應特征分析

陳漢波， 熊　彬

(桂林理工大學　地球科學學院，桂林　541004)

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地-井與井-地及井-井時域激電異常響應特征分析

陳漢波， 熊彬*

(桂林理工大學地球科學學院，桂林541004)

摘要：井中激電是尋找深部金屬礦產的有效方法之一，這里基于有限差分和異常電位算法實現了時間域井中激發極化法的三維數值模擬。首先直接給出點源三維異常電位場滿足的基本微分方程；然后采用一維非零元素行壓縮存儲模式對所形成的大型稀疏矩陣進行存儲，節約了計算所需內存空間；同時引入不完全Cholesky分解穩定化雙共軛梯度(ICBG)法求解有限差分線性方程組，提高了求解的效率。構建典型的地電模型，采用地-井、井-地、井-井的觀測模式分別進行正演計算，結果表明，時間域井中激電視極化率異常響應較視電阻率異常響應靈敏，綜合考慮這兩種視參量的空間分布特征，在一定程度上可以提高對相關異常體的分辨率，為今后野外的實際數據資料的解釋提供依據。

關鍵詞：有限差分法； 激發極化； IBCG法； 一維非零元素壓縮

0引言

激發極化法是根據巖、礦石的激發極化效應解決地質問題的一類地球物理勘探方法。而井中激發極化法(Induced polarization well logging)則是在鉆孔中運用激發極化法，并與其他井中物探方法結合運用，可以有效地解決在勘探金屬礦產中所遇到的一系列問題。

從七十年代開始，我國就比較系統地對井中激電進行理論研究和實驗應用，經過半個世紀的發展，取得了豐碩的成果。吳小平等[1-4]采用有限差分法對直流點電源作用下的三維地電體進行數值模擬；潘和平等[5]結合解析法和數值法實現了地-井時域激電擬牛頓反演研究，提高了反演的精度；吳冰[6]進行了地-井激電法探測盲礦體的數字模擬研究；周峰等[7-8]以球體為研究對象，采用有限差分法實現了井中激電地-井方式井旁球體正反演研究；呂玉增[9-10]實現了地-井、井-地IP三維快速正反演研究，對異常特征進行了分析，同時編制了相應的解釋軟件；李長偉[11]進行井中激發極化法正反演，同時探討了相應的快速迭代求解技術；張艷國[12]等進行了地-井斷面IP正演模擬研究，增大了地-井IP反演的數據量，提高了反演的精度；郭剛等[13]對井中激電地-井方式下的極化率異常特征進行了計算研究，同時結合實際應用加以說明。以上研究成果對于井中激電的應用具有很大的指導意義。然而，這些研究大多僅考慮井-地或者地-井情形，沒有考慮井-井觀測模式，也沒能同時處理地-井、井-地、井-井情形下的井中激電正演問題，同時計算的效率也有待進一步的提高。作者在前人的基礎上，在井-地、地-井、井-井的觀測模式下對時間域井中激發極化法三維有限差分進行正演研究；探討了時間域井中激發極化法正演求解的原理和方法；給出了相應的迭代求解算法過程，對井-地、地-井、井-井IP異常空間分布特征進行分析，以期對井中激電的異常規律作進一步揭示，進而指導野外的實際資料的地質解釋。

1邊值問題

穩定電流場所滿足的微分方程：

·[σ(x,y,z)u(x,y,z)]=

-Iδ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)∈Ω

(1)

相應的邊界條件

(2)

(3)

式中：σ為電導率；I為電流強度；u為電位；(z,y,z)、(x0,y0,z0) 分別為觀測點和點電流源的位置；δ為狄拉克函數；Γs為地面邊界；?！逓榈叵聼o窮邊界；n為邊界的外法向矢量；r為源點到邊界上節點的矢徑；θ為外法向矢量n和矢徑r之間的夾角。為了消除源點的奇異性，假設電流源附近電導率為δm的均勻半空間或者均勻全空間電位為u0，由無源區介質電阻率分布引起的電位為us，于是

u=us+u0

(4)

顯然有源區電位滿足式(5)。

σm2u0=-Iδ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)(5)

結合式(1)和式(5)可得

·[σus)=-[(σ-σm)u0]

(6)

其相應的邊界條件

(7)

(8)

對整個計算區域單元進行差分離散，具體推導過程見文獻[14]。最后可得線性方程組，見式(9)。

Kus=b

(9)

式中:K為總體系數矩陣；b為右端項。求解此方程組，便可得us，利用式(4)即可求得總電位值u,根據文獻[15]即可計算出極化率。

2線性方程組的求解

經過有限差分法離散形成的系數矩陣是對稱正定的，共軛梯度(CG)法是求解此類問題優先選擇的方法之一。共軛梯度法在求解條件數很小的線性方程組時，收斂速率快，若線性方程組的條件數很大，則不易收斂。這里所形成的線性方程組條件數很大，為了提高其收斂速度，要對其進行預處理，改善其條件數。作者采用不完全分解求解預條件矩陣，之后結合穩定化雙共軛梯度(BICGSTAB)法求解差分方程組。根據Meijerink 等[16]提出的不完全Cholesky分解公式

A=MMT

(10)

其中

M=UD(-1/2)

(11)

及

(12)

式中: U為下三角矩陣；Uii=Dii。將方程(9)改寫成方程(13)。

[M-1A(MT)-1](MTu)=M-1b

(13)

將M、MT分別看做穩定化雙共軛梯度算法中左右預條件矩陣，則可形成不完全Cholesky分解穩定化雙共軛梯度算法，其具體迭代過程[17]如式(14)所示。

P(i)=r{i-1)+β(i-1)(P(i-1)-ωi-1ν(i-1))

s=r(i-1)-αiν(i)

(14)

ωi=(tTs)/(tTt)

r(i)=s-ωit

βi=(ρi/ρi-1/(ωi/αi)

enddo

3數值算例

3.1算例1

為了驗證算法的正確性，設計三層水平大地模型。第一層電阻率為50 Ω·m，厚度為5 m，第二層電阻率為100 Ω·m，厚度為 10 m，第三層電阻率為20 Ω·m。供電電極在地面，采用對稱四極進行測量，解析解采用數字濾波算法進行計算，數值解與解析解對比如圖1所示。由圖1可知,數值解與解析解基本一致，這里采取的算法解點源三維地電場是可靠有效的。針對模型1，采用不同的算法，不同的網格大小在CPU Intel(R) Core(TM) i3 M380內存2G的計算機上進行了試算。表1為ICCG和ICBG這兩種計算方法在相同的網格大小下的計算時間和迭代次數的對比表。由表1可知，無論在計算時間上，還是在迭代次數方面，不完全穩定化雙共軛梯度算法(ICBG)，優于不完全Cholesky共軛梯度法(ICCG)。

3.2算例2

如圖2所示，井深500 m,井口坐標(0,0,0)，井旁有一板狀異常體，長、寬、高分別為20 m、100 m、50 m，其中心位于(110，0,225)處。采用地-井測量模式進行觀測，將供電點分別置于A1=(0,0,0)、A2=(-20,0,0)、A3=(20，0，0)處供電，采用二極裝置沿井進行測量。計算結果分別如圖3和圖4所示。

圖1　數值解與解析解Fig．1　Comparison between analytical and 　　numerical solutions

圖2　模型過XOZ斷面圖Fig．2　The XOZ section figure of model

方法50×50×50100×100×100時間/s迭代次數時間/s迭代次數不完全Cholesky共軛梯度法(ICCG)711260183不完全Cholesky穩定化共軛梯度法(ICBG)5624095

圖3　不同供電點視電阻率曲線圖Fig．3　The apparent resistivity curves

圖4　不同供電點視極化率曲線圖Fig．4　The apparent chargeability curves

從圖3、圖4可以看出，視電阻率與視極化率均可以反映出低阻體的存在，視電阻率在異常體上邊界達到極小值，視極化率在異常體上邊界達到極大值。

3.3算例3

如圖5所示，有一豎井，井口位于處。井旁有兩個相同大小的異常體：①低阻高極化體，長、寬、高分別為30 m、30 m、20 m，異常體中心為(-25,-25,60)；②高阻高極化體，異常體中心為(25,25,40)。采用二極裝置進行井-地測量，供電電極分別定在地下(0,0,20)、(0,0,0)、(0，0，70)處供電，在地表上沿著測線逐點測量。

地表視電阻率和視極化率平面等值線如圖6所示。

圖5　模型平面圖Fig．5　The section figure of model

圖6　不同供電點的地表視電阻率/極化率等值線圖Fig．6　Ground apparent resistivity and chargeability anomalycontour section of different point sources model(a)供電點(0,0,20)地表視電阻率等值線圖;(b)供電點(0,0,20)地表視極化率等值線圖;(c)供電點(0,0,25)地表視電阻率等值線圖;(d)供電點(0,0,25)地表視極化率等值線圖;(f)供電點(0,0,70)地表視電阻率等值線圖;(g)供電點(0,0,70)地表視極化率等值線圖

從圖6(a)、圖6(c)可知，地表視電阻率等值線，表現為一個高阻異常和一個低阻異常形態，與異常體在地面的投影位置基本吻合。由于高阻異常體比低阻異常體更靠近地表和供電點，故高阻異常體所形成的視電阻率異常較高于低阻異常體所引起的異常響應。隨著供電點的深度加大，高阻體的地表視電阻率響應依然明顯，然而，低阻體異常響應卻變弱。從圖6(f)可以看出，隨著供電點位于異常體下面，低阻體在地表投影位置視電阻率呈高阻響應，而高阻體在地表投影位置對應的視電阻率呈低阻響應，這是低阻體吸引電流，高阻排斥電流所致。圖6(b)為地表視極化率等值線圖，表現為兩個高極化異常形態，顯示出兩個高極化體的存在。高阻體的異常響應要比低阻體更加明顯，低阻體的異常響應中心往右上角方向偏移。由圖6(d)可以看出，隨著供電點的深度加大，異常中心由兩個變為一個，對高阻體在地表投影位置比較吻合，主要反映的是高阻體。由圖6(g)可看到，隨著供電點處于兩個異常體下面，地表的視極化率等值線在兩個異常體在地表投影位置之間的中心呈高極化響應，此時的高極化響應是兩個異常體的綜合反映。

3.4算例4

如圖7所示，有兩豎井，井b1井口位于(0,0,0)處，作為測量井。井b2井口位于(-100,0,0)處，作為供電井。井旁有一異常體，長、寬、高均為50 m。其中心位于(0,0,250)處，井b1垂直穿過異常體中心。

采用井-井測量方式，設供電點分別位于A1=(-100,0,250)、A2=(-100,0,250)、A3=(-100,0,275)處供電，采用二極裝置沿井進行測量，計算結果如圖8和圖9所示。由圖8、圖9可以看出，視電阻率曲線和視極化率曲線同樣能夠反映出低阻體的存在，在異常體的上下邊界視電阻率和視極化率均達到極值，兩者均很好地反映出異常體的大致位置。

圖7　模型過XOZ斷面圖Fig．7　The XOZ section figure of model

圖8　不同供電點的視電阻率率曲線Fig．8　The apparent resistivity curves

圖9　不同供電點的視極化率曲線Fig．9　The apparent chargeability curves

4結 論

作者研究了時域井中激電的三維正演問題，運用異常電位法消除了源點奇異性，提高源附近解的精度。引入不完全分解穩定化雙共軛梯度法迭代法求解線性方程組，快速實現了線性方程組的求解。值得注意的是，該方法同樣可以求解復數域的大型線性方程組。

通過分析不同測量模式下的異常空間分布特征可知，采用井-地面積測量方式，可以大致了解異常體在地面的投影位置，但這只能定性地分析。若要精確定位，還需進行反演研究。地-井測量方式可知異常體的大小范圍；井-井測量模式有助探測井旁盲礦體，了解異常體與已知礦體之間的連接關系。總體而言，時域井中激電視極化率異常響應較視電阻率響應靈敏，綜合此兩種視參量，有助于提高對異常體的分辨率。算例結果驗證了方法的可靠性和高效性，能夠很好反映出異常場的特征，從而為進一步進行井中激電反演和解釋研究奠定基礎。

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收稿日期：2015-03-12改回日期：2015-04-02

基金項目:國家自然科學基金項目(201300541164004)；廣西自然科學基金項目(2011GXNSFA018003，2013GXNSFAA019277)；桂林市“漓江學者”專項(2013005)

作者簡介：陳漢波(1990-)，男，碩士，主要從事電磁場數值模擬與反演研究，E-mail：563179536@qq.com 。 *通信作者：熊彬(1974-)，男，博導，主要從事電磁法數據模擬與反演成像研究，E-mail：xiongbin@glute.cdu.cn。

文章編號：1001-1749(2016)03-0314-07

中圖分類號：P 631.2

文獻標志碼：A

DOI：10.3969/j.issn.1001-1749.2016.03.04

The anomaly spatial distribution of surface-borehole,borehole-surface and borehole-borehole IP method

CHEN Han-bo， XIONG Bin

(College of Earth Sciences, Guilin University of Technology, Guilin541004, China)

Abstract:Induced polarization well logging is a preferred method for surveying deep metal mineral resources. The main task in this paper is to solve the forward problem of induced polarization well logging by using the finite difference method and the abnormal field Method. First, the 3D anomalous potential basic differential equation of point source is derivated in detailed. The technique of the one-dimensional non-zero element row compression is used to store the sparse coefficient matrix. The result shows that it can save much memory space and reduce compute capacity. It is high efficiency to solve the system of linear equations with the method. After the forward of the surface-borehole, borehole-surface and borehole-borehole IP method. The results display that the apparent chargeability anomaly is more sensitive than the apparent resistivity. Considering the distribution space characteristics of the apparent parametric, it can, to a certain extent, improve the resolution of abnormal body and provide a basis to analyze actual field data in future.

Key words:finite difference method; induced polarization; ICBG method; one-dimensional non-zero element row compression