通性通法在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效生成

邱云蘭，白偉華，邢喜蓮，蘇 勇

（韶關(guān)學(xué)院 韶州師范分院數(shù)學(xué)系， 廣東 韶關(guān) 512009）

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通性通法在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的有效生成

邱云蘭，白偉華，邢喜蓮，蘇 勇

（韶關(guān)學(xué)院 韶州師范分院數(shù)學(xué)系， 廣東 韶關(guān) 512009）

摘要：高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要根據(jù)教學(xué)對(duì)象、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)環(huán)境，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和學(xué)習(xí)方法，變學(xué)生的被動(dòng)接受為主動(dòng)學(xué)習(xí).課堂教學(xué)是多元共生，充滿互動(dòng)變化的空間，課堂的變化性和不確定性決定了生成的豐富性.因此要用變化的、動(dòng)態(tài)的、生成的觀點(diǎn)來(lái)看待課堂教學(xué).課堂教學(xué)要凸顯新課程倡導(dǎo)的生本觀、課程觀、教學(xué)觀，凸顯通性通法，通性通法體現(xiàn)本原的數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：高數(shù)教學(xué)；通性通法；教學(xué)研究；有效生成

新課程凸顯教學(xué)的生成性資源是由其倡導(dǎo)的生本觀、課程觀、教學(xué)觀所決定的.生成性資源是在教學(xué)過(guò)程中動(dòng)態(tài)生成的，師生相互交流及生生交流過(guò)程中產(chǎn)生的新情境、新問(wèn)題、新思路、新方法、新結(jié)果等［1］.合理地利用生成資源有利于提高教學(xué)質(zhì)量.要提高文科高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效生成，必須考慮學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、教材、教法和學(xué)法等.學(xué)生是具有主觀能動(dòng)性的人，他們帶著不同的家庭環(huán)境、人生經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)和情感參與高等數(shù)學(xué)課堂，課堂不能只顧自己滔滔不絕而忽視學(xué)生主體地位的發(fā)揮和感受，不能滿足于一種模式或固定不變的程序作重復(fù)勞動(dòng)，更不能單純用教材上的方法傳授給學(xué)生，因?yàn)楫?dāng)今的教材出現(xiàn)了不少的問(wèn)題，教學(xué)內(nèi)容不嚴(yán)謹(jǐn)、不銜接等問(wèn)題.不能用繁瑣、錯(cuò)誤的知識(shí)傳受的學(xué)生，而是要選擇學(xué)生易接受的方法，易找到解決問(wèn)題的方法傳受給學(xué)生.

1 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題

學(xué)生仍然看不懂，不知道是怎樣計(jì)算出來(lái)的，為此，需要從課堂學(xué)習(xí)向課外學(xué)習(xí)延伸和拓展，拓展范圍和領(lǐng)域，把有關(guān)其他數(shù)列的前n項(xiàng)和公式寫(xiě)出來(lái)，從求和過(guò)程的中間步驟詳細(xì)的寫(xiě)出來(lái)，一步一步地進(jìn)行提高通性通法的層次.通性通法是體現(xiàn)本原的數(shù)學(xué)思想，具有原創(chuàng)性［4］.從高等數(shù)學(xué)例習(xí)題可以看到，有的題目雖然入口較寬，不限于一種方法，又如，求極限為自然數(shù)，編著大多首先考慮的解題方法是通性通法，即用中值定理求解.當(dāng)然也可以用積分不等式求解. 所謂“通性通法”是指利用數(shù)學(xué)概念所反映的基本性質(zhì)和蘊(yùn)含的基本思想方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，通性通法，不僅能經(jīng)常回顧和復(fù)習(xí)基本知識(shí)和基本方法，而且能不斷地將學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)的基本概念和基本思想，能使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考問(wèn)題的習(xí)慣. 著名數(shù)學(xué)史家M·克萊因說(shuō)，“數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列技巧，這些技巧只不過(guò)是它微不足道的方面；著名的音樂(lè)家傅聰說(shuō)：“技巧有時(shí)是音樂(lè)的敵人”，“巧解”有其局限性，適應(yīng)的范圍一般都比較狹窄，在一定條件下才能產(chǎn)生，往往掩蓋了數(shù)學(xué)基本思想方法的滲透［5］.

2 從“抽象”到 “形象”的轉(zhuǎn)化，是體現(xiàn)數(shù)和形的有效生成

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩類對(duì)象，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的兩大支柱.抽象的描述需要得到直觀化、具體化的闡釋；邏輯的結(jié)論需要跟隨直覺(jué)的發(fā)現(xiàn)；靜態(tài)的生成需要輔以動(dòng)態(tài)的演示［6］；師生的互動(dòng)需要伴佐審美情趣和文化氣息，教師根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)習(xí)慣和諸多方面的特點(diǎn)，對(duì)教材的抽象內(nèi)容轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形.例如，計(jì)算和等，如果不憑借直觀形象，學(xué)生還會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)味. 枯燥無(wú)味學(xué)生就會(huì)失去學(xué)習(xí)興趣. 教學(xué)中教師要善于將學(xué)生從抽象化引到圖形化，即先引導(dǎo)學(xué)生用定積分的幾何意義計(jì)算，再?gòu)膱D形化又引到抽象化，體現(xiàn)本原的數(shù)形結(jié)合的思想.“本原”是本體論中的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，指一切事物的最初根源或構(gòu)成世界的最根本實(shí)體［7］. 哲學(xué)上對(duì)“本原”的思考凸顯為刨根問(wèn)題的探索精神，始終把理解世界的“始基”或“構(gòu)成要素”作為第一問(wèn)題. 這里并非從哲學(xué)角度來(lái)探索，而是借用哲學(xué)中對(duì)“本原”的理解和思考的方式，從學(xué)科教學(xué)的角度來(lái)探索促進(jìn)學(xué)生深刻理解學(xué)科內(nèi)容及其本質(zhì)的“本原性問(wèn)題”.凸顯通性通法的目的是加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則的理解，鞏固所學(xué)知識(shí)的技能、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).“提高解題能力”是每一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)努力追求的目標(biāo)，但是，不同的解題理念會(huì)帶來(lái)不同的解題效果.

斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.”在教學(xué)不定積分的換元積分法時(shí)，導(dǎo)入例1.

（2）當(dāng)x＞0時(shí)，

如果把被積函數(shù)刻畫(huà)成幾何圖形，通過(guò)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題. 這一提問(wèn)制造了學(xué)生的認(rèn)知沖突，使課堂出現(xiàn)了觀點(diǎn)的交鋒、智慧的碰撞，使課堂的熱鬧不僅僅是停留于學(xué)生肢體的活動(dòng)，更體現(xiàn)在學(xué)生思維的活動(dòng)之中. 于是，通過(guò)構(gòu)建直角三角形，用1、x表示直角三角形的直角邊和斜邊，t表示直角三角形的銳角，通過(guò)觀察、分析由“抽象”到“ 形象”的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)本原的思想.

抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的空間圖形是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換. 其實(shí)質(zhì)是將抽象的代數(shù)形式與直觀的幾何圖形結(jié)合起來(lái)，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題［8］. 事實(shí)證明通過(guò)用幾何圖形，分析被積函數(shù)，比用倒代換還要簡(jiǎn)便，簡(jiǎn)得合理，巧得自然.

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要充分挖掘幾何直觀，實(shí)現(xiàn)由幾何直觀發(fā)現(xiàn)概念，又要理解性應(yīng)用概念，再到探索概念的嚴(yán)密性，并在此基礎(chǔ)上提高抽象邏輯思維能力和動(dòng)手操作能力.教師要善于制造認(rèn)知沖突，把學(xué)生推到自主探索知識(shí)的前臺(tái)，使學(xué)生親身經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程，從而激發(fā)學(xué)生思考，激活數(shù)學(xué)思維［9］.

3 從“錯(cuò)誤”到“感悟”的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行以錯(cuò)相教

習(xí)題是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是數(shù)學(xué)思想方法的生長(zhǎng)點(diǎn). 在課堂教學(xué)中及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)郭運(yùn)瑞主編的，西南交通大學(xué)出版的公共基礎(chǔ)課系列“十二五”精品規(guī)劃教材《高等數(shù)學(xué)》有些問(wèn)題，以下簡(jiǎn)稱教材，如，第四章第130頁(yè)，習(xí)題5（6）答案錯(cuò)誤，現(xiàn)以此題為例.

解法2

教材包括習(xí)題及答案要嚴(yán)謹(jǐn)，盡量避免以錯(cuò)相教，否則教材就會(huì)充滿不確定性.課本的答案錯(cuò)誤.錯(cuò)誤是一面鏡子，不但能充分暴露教材的嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性、示范性、權(quán)威性和影響性.而且也能暴露師生的思維過(guò)程［10］；同時(shí)錯(cuò)誤也是課堂教學(xué)的重要資源.這個(gè)資源來(lái)之不易，誰(shuí)能找到這個(gè)資源，即課本答案的原題？這個(gè)提問(wèn)，引發(fā)了學(xué)生的廣泛關(guān)注，知識(shí)觀體現(xiàn)在教材觀的一種較量，學(xué)生預(yù)想不到此題是正常的. 課本答案的題目求有理函數(shù)的積分

題型千變?nèi)f化，見(jiàn)多識(shí)廣才行. 樹(shù)立新的教學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀，善于用批判的、創(chuàng)造性的眼光研究問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題. 例如，教材P119頁(yè)例29，求，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了此題的解錯(cuò)在哪里？設(shè)則但通過(guò)引導(dǎo)，即從“錯(cuò)誤”到

“感悟”，構(gòu)建了一個(gè)新的平臺(tái)，引伸拓展和發(fā)現(xiàn)了新問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)從而解決了新問(wèn)題類似這些問(wèn)題的解決要善于潛心研究，在問(wèn)題在悟，在問(wèn)題中探，在問(wèn)題中明，不能盲目相信崇拜類似的所謂“十二五”精品規(guī)劃教材. 要善于以錯(cuò)為戒，克服錯(cuò)誤、指出錯(cuò)誤和糾正錯(cuò)誤［11］.

4 結(jié)論

課堂是教學(xué)的主陣地，更是課改和有效教學(xué)質(zhì)量的核心. 構(gòu)建有效生成的課堂，應(yīng)該是每個(gè)教師不斷追求的目標(biāo). 課堂教學(xué)是多元共存，充滿互動(dòng)變化的空間，教材的變化性和嚴(yán)謹(jǐn)性決定了生成的豐富性.教師應(yīng)在研究學(xué)情、環(huán)境、教材、教法、學(xué)法，把握教材要求的基礎(chǔ)上，用變化的、動(dòng)態(tài)的、有效生成的觀點(diǎn)來(lái)看待數(shù)學(xué)課堂，預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)課堂，預(yù)測(cè)教材、環(huán)境、學(xué)生可能生成的情況. 擺脫時(shí)間與空間的限制，縮短師生間的距離，和學(xué)生形成共同進(jìn)步的學(xué)習(xí)共同體. 對(duì)豐富師生的生活智慧與促進(jìn)彼此精神生命的共同成長(zhǎng)具有深遠(yuǎn)的意義.課堂以內(nèi)在關(guān)聯(lián)為前提，以互動(dòng)開(kāi)放為基礎(chǔ)，以有效生成為根本. 突出雙重研究，即通性通法和技巧解法的研究. 使學(xué)生能真正掌握知識(shí)，獲取知識(shí)的本領(lǐng)，獲得優(yōu)秀的認(rèn)知成績(jī)、良好的認(rèn)知結(jié)果、積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感、濃厚的理性思維，較強(qiáng)的教學(xué)效率意識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的行為. 從而，有效促進(jìn)文科高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升.

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（責(zé)任編輯：邵曉軍）

中圖分類號(hào)：G642.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1007-5348（2016）02-0076-04

［收稿日期］2015-12-27

［作者簡(jiǎn)介］邱云蘭（1956-），男，廣東樂(lè)昌人，韶關(guān)學(xué)院韶州師范分院數(shù)學(xué)系教授；研究方向：數(shù)學(xué)教育.

Recitation Teaching Mode of Higher Mathematics in Vocational Colleges

QIU Yun-lan，BAI Wei-hua， XING Xi-lian， SU Yong

（Department of Mathematics Shaozhou Normal College， Shaoguan University，Shaoguan 512009， Guangdong，China）

Abstract:Higher mathematics recitation teaching should be based on the teaching objects， teaching contents and teaching environment to choose its own teaching methods and way of studying. It should encourage the students to learn actively. The teaching methods should be various and interactive space. The variations and uncertainties decides the riches of the teaching production.It should adopt a flexible， dynamic and productive teaching approach. Teaching should be student-oriented， course-oriented， teaching-oriented which is a package approach which reflects the very essence of mathematics learning.

Key words:higher mathematics； exercise teaching； thinking ability； interactive inquiry