基于改進PSO算法的跨流域水庫群聯合調度圖優化

彭 安 幫，　彭 　 勇，　許 　 欽，　劉 宏 偉，　周 惠 成

( 1.水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室, 江蘇 南京　210029；2.南京水利科學研究院 水文水資源研究所, 江蘇 南京　210029；3.大連理工大學 水利工程學院, 遼寧 大連　116024 )

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基于改進PSO算法的跨流域水庫群聯合調度圖優化

彭 安 幫1,2,3，彭 勇*3，許 欽1,2，劉 宏 偉1,2，周 惠 成3

( 1.水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室, 江蘇 南京210029；2.南京水利科學研究院 水文水資源研究所, 江蘇 南京210029；3.大連理工大學 水利工程學院, 遼寧 大連116024 )

摘要：針對跨流域水庫群優化調度具有高維非線性和動態性的特點，提出一種改進粒子群優化算法用于跨流域水庫群引(調)水與供水聯合調度圖的求解．該算法針對基本粒子群優化算法易陷入局部最優且進化后期收斂速度慢的缺陷，引入交叉和變異策略、模擬退火策略和反射邊界策略，以增加種群的多樣性并提高算法的進化速度和全局搜索能力．數值測試證明了該算法用于求解高維復雜優化問題的有效性，實例研究也表明該算法提高了整個系統的供水與引水效益，是一種優化復雜水庫群聯合調度高效實用的方法．

關鍵詞：跨流域調水；水庫群優化調度；引水；供水；改進PSO算法

0引言

我國水資源時空分布不均，與社會經濟發展水平及戰略布局不相匹配，僅靠挖掘本流域的水資源潛力無法完全解決當地的水資源短缺問題．因此，跨流域調水已成為水資源重新分配和緩解缺水地區供需矛盾的重要途徑．跨流域水庫群聯合調度具有以下特點：①涉及范圍廣，研究對象涉及多個流域和多個地區；②多目標性，涉及防洪、興利、發電和生態等多個目標；③連通方式復雜，不僅有河庫的自然連通，還有河庫之間的人工連通；④調度復雜，在結構上水庫間有串聯、并聯或串并混聯關系，在功能上除需要滿足自身、聯合供水目標外，還需要考慮引調水的補償調節與反調節作用．因此，構建科學合理的跨流域水庫群聯合調度圖模型和尋求高效的求解算法是關鍵．

鑒于跨流域水庫群聯合優化調度是一個非線性、多峰、非凸函數的復雜優化問題，通常采用模擬-優化方法直接優化預設的聯合調度圖．然而，隨著水庫群規模的增大，各水庫調度線形成高維解空間使求解過程不可避免地存在“維數災”問題．傳統優化算法如線性規劃、非線性規劃、動態規劃等，在一定程度上存在求解困難、算法復雜等缺點，往往不能獲得滿意的優化解．與傳統優化算法相比，啟發式算法如免疫算法、遺傳算法和粒子群優化(PSO)算法等，具有魯棒性強、編碼方式簡單和隱含并行機制等特點，能有效避免復雜非線性優化問題的“維數災”，提高模型的求解效率[1-3]．

PSO算法是一種新型進化技術，源于模擬鳥群社會行為[4]．由于基本PSO算法存在易陷入局部最優的缺點，許多學者從慣性系數、算法融合、種群拓撲結構等方面進行改進，并在水庫(群)優化調度中取得了較好的應用效果[5-8]．已有的研究成果表明，粒子交叉、變異的遺傳更新策略可以提高種群多樣性[5]；模擬退火(SA)策略可以很好地平衡粒子的“開發”和“探測”能力[6]；反射邊界策略使粒子更容易接近最優解[9]．所以，本文將上述3種策略同時引入粒子群算法，用于求解跨流域水庫群引(調)水與供水聯合調度圖模型，并驗證模型及算法的有效性．

1調度圖模型

本文跨流域水庫群聯合調度圖以各成員水庫引(調)水與供水調度圖的聯合形式來表示．采用模擬-優化方法循環迭代求解相應的聯合優化調度圖，其中，模擬模塊嵌入優化模塊以尋求水庫調度線的位置(調度參數)．

1.1聯合調度圖

以工業和農業兩個用水戶供水目標為例，說明跨流域水庫群聯合調度圖的基本形式(見圖1)及其使用規則(見表1)．其包括兩類調度圖：①供水調度圖(圖1(a))，由用水戶供水限制線組成，并按優先級順序依次排列(用水戶優先級越低，其供水限制線的位置越高)，其將興利庫容劃分為不同的供水調度區[10-11]，使用調度圖時根據時段初蓄水量所處的調度區進行供水決策．②引(調)水調度圖(圖1(b))，由引(調)水控制線組成(引水是針對受水水庫而言，調水是針對調水水庫而言)，與供水調度圖使用相似，引(調)水決策是根據時段初蓄水量所處的引(調)水調度區來進行，如處于限制引(調)水區(即Ⅴ區)，則按需水或線性插值引水．需要注意的是受水水庫的實際引水決策是調水水庫調水決策和受水水庫引水決策的一個組合決策過程[12]．

(a) 供水調度圖

(b) 引(調)水調度圖

圖1　水庫聯合調度圖

表1　水庫引(調)水與供水調度圖的調度區及調度規則

由于涉及多個水庫和供水區間，只用調度圖還不能完整地描述整個系統的調度規則，還需要相應的輔助規則來配合使用，即引水與供水分配規則和下游區間供水規則．其中，引水與供水分配規則主要解決多庫同時引水和多庫同時為聯合供水目標供水時的水量分配問題[13]．下游區間供水規則解決水庫下游區間用水戶的供水問題，由區間用水、來水和水庫供水調度圖共同決定：模擬決策時先利用區間來水，再根據時段初蓄水量所處的調度區進行供水決策．

1.2數學模型

目標函數為系統供水量最大和受水水庫棄水量最小，采用權重法和罰函數形式構建數學模型，具體建模過程參見文獻[13-14]，最終確定目標函數為

(1)

2基于改進PSO算法求解調度圖模型

2.1基本PSO算法

PSO算法以種群作為迭代進化的基本單位，搜索空間中每個粒子都是優化問題的一個潛在解，各粒子具有自身的速度和位置，以及用于衡量粒子優劣的適應度．在搜索過程中，粒子通過歷代搜索過程中粒子的個體極值pbest和整個群體的全局極值gbest來動態更新速度和位置，直到找到最優解．粒子i采用一維數組的實數編碼方式，表示為xi=(xi,1xi,2…xi,d…xi,D·L)，飛行速度為vi=(vi,1vi,2…vi,d…vi,D·L)．其中，基因位xi,d代表調度線的位置，d=(p-1)·L+l；p=1,2,…,D，l=1,2,…,L；D為調度線的總條數．粒子和速度更新計算公式如下：

(2)

(3)

2.2PSO算法改進

2.2.1交叉和變異策略

(1)交叉策略．依概率Pc在種群中選出Pc·M個粒子，采用算術交叉進行兩兩交叉操作．設xi和xj為兩個父代粒子，則對其進行交叉操作的計算公式如下：

(4)

其中r∈(0,1)，為隨機數．由于參與交叉的粒子i和j中同類型調度線的位置滿足xi,(p-1)·L+l>xi,p·L+l，xj,(p-1)·L+l>xj,p·L+l，而經過交叉操作后新位置x′i,(p-1)·L+l和x′i,p·L+l分別為

(5)

且x′i,(p-1)·L+l-x′i,p·L+l=r·(xi,(p-1)·L+l-xi,p·L+l)+

(1-r)·(xj,(p-1)·L+l-

xj,p·L+l)>0

(6)可見，通過算術交叉操作后，仍然可以保證同類型的調度線不發生交叉．

(2)變異策略．依概率Ps對粒子xi的每個基因位xi,d進行非均勻變異操作[15]．新位置的確定如下：

(7)

Δ(k,y)=y·(1-r(1-k/K)b)

(8)

2.2.2模擬退火策略本文在PSO算法中加入模擬退火機制[6]，用溫度控制函數T0=σ·T0(σ∈(0.8,1.0)為退火系數)調整粒子的冷卻溫度，以Meteopolis規則接受由式(2)、(3)更新的粒子經過交叉和變異后的子代．Meteopolis規則公式為

(9)

其中x′i為交叉或變異后的新粒子．當新粒子適應度增加時，先由式(9)計算出接受概率P，如果P>r，則接受新粒子，否則接受原來的粒子．隨著進化過程，退火溫度T0逐漸減小，接受惡劣解的概率P逐漸趨向于0，進行局部精細搜索，提高算法的收斂性能．

2.2.3反射邊界策略當更新粒子位置時，為了保證新粒子的每個參數都在相應的取值范圍內，將參數的最大和最小邊界作為反射邊界考慮在算法中，這種反射邊界策略使粒子更容易接近全局最優解[9]．粒子位置修正公式如下：

(10)

以上兩種情況下，相應的粒子速度修正為

v′i,d=-vi,d

(11)

2.3數值測試

為了分析各個策略的貢獻和驗證改進PSO(MPSO)算法的有效性，在PSO算法中逐步加入不同策略形成不同算法，然后對Rosenbrock函數和Rastrigin函數[15]進行仿真計算．其中，PSO_R算法加入反射邊界策略；PSO_GA算法加入反射邊界和交叉變異策略．以平均函數值和變差系數作為評價指標，計算結果見表2(進化2 500代，運行50次)．

表2　非線性函數優化性能測試

由表2可知，MPSO算法的穩定性較好；交叉、變異策略對收斂性能改進作用最大，其次為模擬退火策略，再次為反射邊界策略．對Rosenbrock函數，在低維時收斂精度相對較差，但在高維時顯著提高；對Rastrigin函數，在低、高維時收斂精度都顯著提高．可見，MPSO算法用于求解高維復雜優化問題的有效性．

2.4模型求解

采用模擬-優化方法求解模型，其中優化模塊采用MPSO算法，粒子的適應度采用式(1)，優化變量為聯合調度圖的調度線，決策變量為水庫時段引水量和供水量．調度圖模型的具體求解步驟見文獻[13-14]．

3實例應用

以我國北方某跨流域調水工程開展實例研究，工程背景、數據資料、供水任務等情況參見文獻[13-14]，系統結構概化圖見圖2．

3.1模型參數設置

設置迭代次數K=2 500；學習因子c1=c2=2；慣性系數w采用線性遞減模型w=wmax-k(wmax-wmin)/K，取wmax=0.9，wmin=0.4；最大速度vmax=0.4；采用文獻[6]推薦的方法設置初始溫度T0=106，溫度冷卻系數σ=0.9．通過參數優選來確定種群大小、交叉概率和變異概率等參數．3.1.1種群大小優選在Pc=0、Ps=0時，種群大小設置6種情景：M=50，90，120，150，180，210．不同種群大小的適應值進化過程均值(50次，以下相同)如圖3所示．

圖2　跨流域水庫群供水系統結構概化圖

圖3　不同種群大小平均進化過程

由圖3可見，從進化速度上，種群越大達到相同的精度時所需的代數越少；從收斂精度上，種群越大收斂精度越高，但當種群增大到一定程度時，收斂精度差別不大；最優種群大小范圍為M≥120．由于模擬運行時間隨種群大小近似呈線性增長，綜合考慮選取種群大小M=120．

3.1.2交叉和變異概率優選在Ps=0時，不同交叉概率下最小和平均適應度的變化曲線如圖4所示，隨著交叉概率的增大，適應度呈現先減小后增大的趨勢，最佳取值范圍為0.10～0.25，選取Pc=0.20．在Pc=0.20時，不同變異概率下最小和平均適應度的變化曲線如圖5所示，變異概率較小時取值較優，選取Ps=0.01．

圖4　不同交叉概率下的適應度

圖5　不同變異概率下的適應度

3.1.3有效性分析由于MPSO算法是以增加計算過程(環節)來減少“進化”代數并提高求解精度，而本文主要考慮調度問題的求解精度，所以將實例應用的適應度最大、最小、平均值和標準差以及進化過程作為度量指標，在固定迭代次數下與PSO算法對比進行MPSO算法的有效性分析．MPSO與PSO算法的對比分析如表3和圖6所示，可以看出MPSO算法的收斂性更好；適應度進化過程也反映了MPSO算法的收斂速度快且精度較高．

表3　MPSO和PSO算法適應度特征值對比

(a) MPSO

(b) PSO

圖6最大、最小和平均適應度進化過程對比

Fig.6Comparisonofevolutionaryprocessesonthemaximum,minimumandaveragefitnessvalues

3.2結果及分析

3.2.1調度圖及其合理性分析聯合調度圖如圖7所示，可以看出：

(1)供水限制線的變化趨勢符合一般的調度規律

①汛前供水限制線壓低，為汛期騰空庫容和減少汛期的棄水；②汛期來水較豐，供水限制線較低，限制供水次數減少；③汛后供水限制線抬高，以保證汛后水庫的蓄滿率和枯水期的供水．

(2)引(調)水控制線的變化趨勢符合調度規律

①H水庫主要任務是調水，11月～次年2月其調水控制線較高，避免受水水庫過度引水；其他時段為發揮調水的龍頭作用，調水控制線都較低．而受水水庫的供水壓力較大(尤其是Q水庫)，盡量抬高引水控制線的位置以增加引水機會．

②汛期(7～9月上)，如圖7中區域Ⅱ所示，H水庫的調水控制線較低，而Q和C水庫的引水控制線較高，這種調水與引水組合使Q和C水庫在汛期來水不足時盡量引水，以保證Q和C水庫的蓄滿率；而B水庫來水量較豐且供水壓力相對較小(見表4)，其引水控制線相對較低，以降低“引水且棄水”情況．

③由9月中旬～10月和1～3月的變化趨勢可知，Q、B和C水庫之間呈現“競爭”的趨勢，三者按一定比例同時引水的機會較大．

④由圖7中區域Ⅲ(11～12月)和區域Ⅰ(4～6月)的變化趨勢可知，Q水庫的引水表現出與B、C水庫“互補”的趨勢，水庫單獨引水的機會較大．Q水庫在11～12月減少引水，利用自身來水和庫存的水量供水，保證B、C水庫的引水．在4～6月Q水庫需要大量引水以滿足增加的供水需求，而B、C水庫相應地減少引水；同時，H水庫為滿足受水水庫的引水需求和騰空自身庫容降低汛期的棄水，壓低調水控制線．

綜上，調水水庫與受水水庫之間的引水與調水具有相互制約與協同關系，受水水庫之間的引水具有很好的“互補”關系．

3.2.2調度結果對比分析將MPSO與PSO算法的調度方案進行對比分析，進一步說明MPSO 算法調度結果的合理性．如表4和5所示，水庫群調度方案比較理想，各用水戶均滿足規劃保證率要求．

(1)成員水庫供水和棄水對比：H水庫調出水量增多同時棄水減少；Q水庫在引水量增加的同時棄水量減少，說明MPSO算法獲得的聯合優化調度圖更加合理；C水庫在引水量相差不大的情況下，提高了棄水的利用率；B水庫由于引水量增加，則供水增加但棄水也增加，引水效率有待進一步提高．

(2)系統供水和棄水對比：受水水庫的實際引水增加118×106m3，供水增加134×106m3，棄水減少27×106m3；整個系統供水增加140×106m3，來源于增加的引水和其他用水戶減少的供水，主要用于葦田和河口環境供水．

(3)用水戶供水保證率對比：MPSO算法中，用水戶供水保證率都滿足規劃要求，但PSO算法中葦田供水保證率沒有滿足要求，表明MPSO算法的收斂性更好．此外，由于H水庫調水增加，其直供工業保證率降低；為增加葦田供水，Q水庫的直供工業、高效農業保證率降低．

從以上分析可知，MPSO算法獲得的聯合優化調度圖更加合理，調水水庫調出水量增多，受水水庫供水相應地增加，供水分配更加平衡，提高了供水和引水效益．

(a) H水庫調水與供水調度圖

(b) Q水庫引水與供水調度圖

(c) B水庫引水與供水調度圖

(d) C水庫引水與供水調度圖

圖7　跨流域水庫群聯合優化調度圖

表4　水庫和系統調節成果對比

表5　水庫用水戶保證率統計結果對比

4結語

本文重點針對跨流域水庫群聯合調度圖模型構建和求解算法進行了研究．調度圖模型中考慮系統供水量最大和受水水庫棄水量最小兩個目標函數，可以很好地反映整個系統的供水與引水效益．引(調)水與供水調度線的變化趨勢符合一般調度規律：供水限制線呈現兩頭高中間低的變化趨勢；引水與調水之間存在制約與協同關系，以及受水水庫之間引水具有一定的“互補”關系，說明調度規則能充分發揮流域之間的“水文補償”和水庫之間的“庫容補償”作用．數值實驗表明交叉、變異策略對算法的改進作用較大，且適用于求解高維復雜優化問題；改進算法可以增加系統供水134×106m3，減少棄水27×106m3，提高了系統的水資源利用效率．

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文章編號：1000-8608(2016)04-0406-08

收稿日期：2015-09-06；修回日期: 2016-03-15．

基金項目:國家自然科學基金重大國際(地區)合作研究項目(51320105010)；國家自然科學基金資助項目(51379027，51579148，51209139)；遼寧省自然科學基金資助項目(2015020608)；國家自然科學基金重大研究計劃培育項目(91547111).

作者簡介:彭安幫(1985-)，男，工程師，E-mail:pengfei110ab@126.com；彭 勇*(1979-)，男，副教授，E-mail:pengyong@dlut.edu.cn.

中圖分類號：TV697.12

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604012

Optimization of joint operating rule curves for inter-basin multi-reservoir system based on modified PSO algorithm

PENGAn-bang1,2,3,PENGYong*3,XUQin1,2,LIUHong-wei1,2,ZHOUHui-cheng3

( 1.State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Nanjing 210029, China；2.Hydrology and Water Resources Department, Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, China；3.School of Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

Abstract：Aiming at the inter-basin multi-reservoir optimal operation with high-dimensional nonlinearity and dynamic characteristics, a modified particle swarm optimization (MPSO) algorithm is proposed for deriving the water supply-transfer operating rule curves. Several strategies, such as crossover and mutation, simulated annealing and reflective boundary, are introduced in the basic PSO algorithm. These strategies can keep the diversity of population, improve the convergence speed and enhance the global searching ability, so that it can avoid the prematurity and slow convergence in later evolution. Numerical tests results manifest the effectiveness of the proposed algorithm for solving high-dimensional complex optimization problems. A case study indicates that the benefit of water transfer and supply has been improved considerably by the proposed algorithm. The proposed algorithm can be an effective method for optimizing the joint operation of such complex multi-reservoir system.

Key words：inter-basin water transfer; multi-reservoir optimal operation; water transfer; water supply; modified PSO algorithm