一類DGH方程的新保結構算法研究

王 俊 杰

( 1.普洱學院 數學系, 云南 普洱　665000；2.西北大學 數學學院, 陜西 西安　710127 )

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一類DGH方程的新保結構算法研究

王 俊 杰*1,2

( 1.普洱學院 數學系, 云南 普洱665000；2.西北大學 數學學院, 陜西 西安710127 )

摘要：DGH方程作為一類重要的非線性水波方程有著廣泛的應用前景．基于哈密頓系統的多辛理論研究了一類DGH方程的數值解法，利用平均向量場方法對此哈密頓系統進行了數值離散，構造了DGH方程的局部能量保結構算法和局部動量保結構算法．數值算例表明，這兩種保結構算法具有較好的長時間數值穩定性．

關鍵詞：哈密頓系統；保結構算法；多辛理論；DGH方程

0引言

非線性水波方程是一類重要的非線性問題，隨著科技的發展，非線性問題的研究已經成為當代研究的熱點．非線性水波方程采用不同近似方法可以得到不同的完全可積的方程，例如KdV方程、BBM方程、Camassa-Holm方程、DGH方程．

近幾十年，KdV方程、Camassa-Holm方程、DGH方程引起了國內外學者的廣泛關注[1-13]，發現了這些方程的許多性質，例如：KdV方程、Camassa-Holm 方程、DGH方程都是可積方程，都廣泛地存在孤立波解．Camassa-Holm方程具有一個Lax對、雙哈密頓結構及無窮個守恒量．對DGH方程的研究主要集中在定性方面的研究，數值模擬研究還比較少，然而在實際應用中要求得DGH方程的精確解幾乎不可能，大部分情況下只能用數值方法來模擬DGH方程，鑒于此，本文主要研究DGH方程的數值模擬方法．

現在，越來越多的學者在構造數值方法時，關注設計的算法能否保持系統原有的一些特性，這樣的算法稱為保結構算法．1984年我國計算數學大師馮康系統地提出了保結構算法的理論框架，隨后，保結構算法迅速發展，得到了許多方程的保結構算法，這些結果無一例外地證實保結構算法有明顯的優點．20世紀末，Marsden等應用變分的思想提出了偏微分方程的多辛哈密頓系統[14]，并且得到了多辛守恒律；而Reich應用辛幾何的思想，提出了偏微分方程的多辛格式[15]，從而可以更加方便地應用于偏微分方程．經過十幾年的發展，保多辛結構算法已經取得一定研究成果[16-27]，這些成果證明保多辛結構算法可以進行長時間的數值跟蹤．

近年來，Celledoni等[28]利用AVF(平均向量場)方法來求解哈密頓系統，Chen等[29]利用AVF方法提出了多辛哈密頓偏微分方程組整體能量守恒的數值格式，Gong等[19]提出了多辛哈密頓偏微分方程組整體能量守恒的數值格式、局部能量守恒的數值格式、局部動量守恒的數值格式．

本文通過引入正則動量，證明DGH方程具有多辛結構．首先給出多辛哈密頓格式，以及此格式具有的多辛守恒律、局部能量守恒律和局部動量守恒律．然后給出多辛哈密頓方程的離散保結構算法格式，即局部能量保結構算法格式和局部動量保結構算法格式，進而給出DGH方程的保結構算法．最后通過兩個數值模擬算例，驗證算法性能．

1 微分方程的多辛哈密頓形式及守恒律

Bridges首先發現，大量的偏微分方程可以寫成下列多辛哈密頓偏微分方程的形式[15]：

(1)

定理1[15]根據Bridges多辛理論，偏微分方程(1)滿足多辛守恒律

(2)

其中W、k分別表示t和x方向上的辛結構，具體表達式為

定理2[15]根據Bridges多辛理論，偏微分方程(1)滿足局部能量守恒律：

(3)

局部動量守恒律：

(4)

其中

E為能量密度；F為能量流；I為動量密度；G為動量流．

如果z(t，x)關于x是周期函數或者滿足齊次邊界條件，偏微分方程(1)滿足整體能量和整體動量守恒律：

(5)

2多辛哈密頓偏微分方程的保結構算法

為了研究問題方便，首先引入下面符號：

向前差分算子

(6)

平均算子

(7)

上面的算子滿足DtDx=DxDt，AtAx=AxAt，DA=AD，及推廣的Leibniz法則：

Dx(uv)j=uj+1Dxvj+Dxujvj

Dt(uv)j=uj+1Dtvj+Dtujvj

2.1局部能量保結構算法

利用上面的算子，對空間方向進行離散，得到哈密頓系統(1)的半離散格式：

MddtAxzj(t)+KDxzj(t)=zS(Axzj(t))

(8)

用AVF方法對半離散格式(8)時間方向進行離散，得到哈密頓系統(1)的全離散格式：

∫10zS((1-ξ)Axznj+

(9)

為了分析全離散格式(9)的局部能量守恒律和局部動量守恒律，引入定義：

定義1 記

(10)

(11)

記

(12)

(13)

稱εn、ηn分別是整體能量和整體動量．

定理3[19]全離散格式(9)滿足離散局部能量守恒律：

定理4[19]如果滿足周期邊界條件z(x+L，t)=z(x，t)，全離散格式(9)滿足離散整體能量守恒律：

εn+1=εn

2.2局部動量保結構算法

對時間方向進行離散，得到哈密頓系統(1)的半離散格式：

MDtzn(x)+KddxAtzn(x)=zS(Atzn(x))

(14)

用AVF方法對半離散格式(14)空間方向進行離散，得到哈密頓系統(1)的全離散格式：

∫10zS((1-ξ)Atznj+

(15)

定理5[19]全離散格式(15)滿足離散局部動量守恒律：

定理6[19]如果滿足周期邊界條件z(x+L，t)=z(x，t)，全離散格式(15)滿足離散整體動量守恒律：

ηn+1=ηn

3一類DGH方程的新保結構算法

1895年，Korteweg和他的學生deVries研究無黏滯、不可壓縮流體運動時得到一個淺水波方程(在長波和小振幅條件下)，即KdV方程：

ut+2ωux+3uux+γuxxx=0

(16)

該方程是非線性水波理論研究的一個基本方程．1993年，美國阿爾莫斯國家實驗室的Camassa和Holm考慮重力作用下淺水層自由表面的水波運動時，推導出Camassa-Holm方程(簡稱C-H方程)：

ut+2ωux+3uux-α2uxxt-α2(uuxxx+2uxuxx)=0

(17)

該方程成為非線性水波理論研究的另一類重要的基本方程．2001年，Dullin、Gottwald和Holm從Euler方程出發，得到了一類帶線性和非線性色散項的新型淺水波方程，即DGH方程[1]：

ut+2ωux+3uux+γuxxx-α2uxxt-

α2(uuxxx+2uxuxx)=0

(18)

當α=0時，DGH方程變為KdV方程，當γ=0時，DGH方程轉化為C-H方程．

-φx=-u，

ux=ψ，

(19)

定義狀態變量z=(uφwΦψ)，可以把系統(19)寫成多辛哈密頓偏微分方程的形式(1)，其中

哈密頓函數為

系統(19)滿足多辛守恒律(2)，其中

系統(19)滿足局部能量守恒律(3)，其中

系統(19)滿足局部動量守恒律(4)，其中

3.1DGH方程的局部能量保結構算法

對系統(18)的等價方程組(19)應用局部能量保結構算法(9)可得

(20)

其中

全離散格式(20)滿足離散局部能量守恒律：

(21)

消去輔助變量可以得到局部能量守恒格式為

(22)

3.2DGH方程的局部動量保結構算法

對系統(18)的等價方程組(19)應用局部動量保結構算法(15)可得

(23)

其中

全離散格式(23)滿足離散局部動量守恒律：

(24)

消去輔助變量可以得到局部動量守恒格式為

(25)

4數值算例

下面應用局部能量保結構算法和局部動量保結構算法對DGH方程(18)進行數值模擬，并且分析該數值方法的離散局部能量和動量守恒律誤差．本文將對局部能量保結構算法、局部動量保結構算法與有限差分法(中心差分法)的數值結果和精確解進行比較．對局部能量保結構算法、局部動量保結構算法與有限差分法取相同的空間和時間步長．

4.1DGH方程的局部能量保結構算法數值模擬

4.1.1孤立波A取參數α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結果見表1和圖1、2．表1給出了有限差分法、局部能量保結構算法和精確解的比較．圖1給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖2給出了DGH方程孤立波初值問題的局部能量保結構算法的局部動量守恒律誤差．

表1　有限差分法、局部能量保結構算法和精確解的比較(孤立波A)

圖1 DGH方程局部能量保結構算法的孤立波AFig.1 SolitarywavesolutionAoflocalenergystructure-preservingalgorithmofDGHequation圖2 局部能量保結構算法的局部動量守恒律誤差(孤立波A)Fig.2 Theerroroflocalmomentumconservationlawoflocalenergystructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionA)

4.1.2孤立波B取參數α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結果見表2和圖3、4．表2給出了有限差分法、局部能量保結構算法和精確解的比較．圖3給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖4給出了DGH方程孤立波初值問題的局部能量保結構算法的局部動量守恒律誤差．

4.2DGH方程的局部動量保結構算法數值模擬

4.2.1孤立波A取參數α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結果見表3和圖5、6．表3給出了有限差分法、局部動量保結構算法和精確解的比較．圖5給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖6給出了DGH方程孤立波初值問題的局部動量保結構算法的局部能量守恒律誤差．

4.2.2孤立波B取參數α=1，ω=1，γ=1，考慮DGH方程(18)的孤立波的初值條件為

由文獻[30]，可以得到DGH方程(18)的初值問題有孤立波解

表2　有限差分法、局部能量保結構算法和精確解的比較(孤立波B)

圖3 DGH方程局部能量保結構算法的孤立波BFig.3 SolitarywavesolutionBoflocalenergystructure-preservingalgorithmofDGHequation圖4 局部能量保結構算法的局部動量守恒律誤差(孤立波B)Fig.4 Theerroroflocalmomentumconservationlawoflocalenergystructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionB)

表3　有限差分法、局部動量保結構算法和精確解的比較(孤立波A)

圖5 DGH方程局部動量保結構算法的孤立波AFig.5 SolitarywavesolutionAoflocalmomentumstructure-preservingalgorithmofDGHequation圖6 局部動量保結構算法的局部能量守恒律誤差(孤立波A)Fig.6 Theerroroflocalenergyconservationlawoflocalmomentumstructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionA)

取空間步長Δx=0.01，時間步長Δt=0.05，計算到T=60．計算結果見表4和圖7、8．表4給出了有限差分法、局部動量保結構算法和精確解的比較．圖7給出了DGH方程孤立波的初值問題隨時間的演化圖．圖8給出了DGH方程孤立波初值問題的局部動量保結構算法的局部能量守恒律誤差．

表4　有限差分法、局部動量保結構算法和精確解的比較(孤立波B)

圖7 DGH方程局部動量保結構算法的孤立波BFig.7 SolitarywavesolutionBoflocalmomentumstructure-preservingalgorithmofDGHequation圖8 局部動量保結構算法的局部能量守恒律誤差(孤立波B)Fig.8 Theerroroflocalenergyconservationlawoflocalmomentumstructure-preservingalgorithm(solitarywavesolutionB)

5結語

本文利用能量保結構算法和動量保結構算法對一類DGH方程的初值問題進行了數值模擬．給出了DGH方程的初值問題的離散格式．從數值模擬得到的圖1～8、表1～4說明，能量保結構算法和動量保結構算法能夠很好地保持孤子解的基本幾何性質，并具有良好的長時間數值行為．

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文章編號：1000-8608(2016)04-0432-09

收稿日期：2015-11-20；修回日期: 2016-04-12．

基金項目:云南省教育廳科學研究基金資助項目(2015y490)；普洱學院創新團隊項目(CXTD003).

作者簡介:王俊杰*(1981-)，男，碩士，副教授，E-mail:pedxsxxwjj@163.com.

中圖分類號：O29

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604016

Research on new structure-preserving algorithms for a DGH equation

WANGJun-jie*1,2

( 1.Department of Mathematics, Pu′er University, Pu′er 665000, China；2.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China )

Abstract：DGH equation is an important nonlinear wave equation and has broad application prospect. Numerical method for the equation is studied based on the multi-symplectic theory in Hamilton system. The average vector field (AVF) method is used to discretize the Hamilton system, and local energy structure-preserving algorithm and local momentum structure-preserving algorithm are constructed to solve the DGH equation. The numerical examples show that the two kinds of structure-preserving algorithms have good long-time numerical stability.

Key words：Hamilton system; structure-preserving algorithms; multi-symplectic theory; DGH equation