模糊集的直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度

石 乙 英，　袁 學(xué) 海

( 1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連　116024；2.沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)　110159；3.大連理工大學(xué)盤錦校區(qū) 基礎(chǔ)教學(xué)部, 遼寧 盤錦　124221 )

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模糊集的直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度

石 乙 英1,2，袁 學(xué) 海*1,3

( 1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連116024；2.沈陽(yáng)理工大學(xué) 理學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)110159；3.大連理工大學(xué)盤錦校區(qū) 基礎(chǔ)教學(xué)部, 遼寧 盤錦124221 )

摘要：熵與相似度都是用來(lái)描述模糊集模糊程度的指標(biāo)，現(xiàn)有方法都是通過(guò)將其刻畫(huà)為具體的數(shù)值展開(kāi)研究．針對(duì)當(dāng)模糊集的模糊程度具有不確定性，無(wú)法利用具體的數(shù)值表示時(shí)，如何利用熵與相似度來(lái)進(jìn)行度量的問(wèn)題展開(kāi)討論．首先提出了直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度的定義，其次利用兩個(gè)定理說(shuō)明直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度可以相互轉(zhuǎn)化．

關(guān)鍵詞：熵；相似度；直覺(jué)熵；直覺(jué)相似度

0引言

熵在信息論中是用來(lái)衡量不確定程度的指標(biāo)，近年來(lái)在決策問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用[1-5]．Xu等[4]通過(guò)熵和猶豫模糊集的Cross-熵，研究了兩種屬性值為猶豫模糊集的多屬性決策方法．Jin等[5]建立了最小熵最優(yōu)權(quán)準(zhǔn)則的規(guī)劃模型，并給出了基于加權(quán)和評(píng)分函數(shù)的區(qū)間值直覺(jué)模糊多準(zhǔn)則群決策的具體方法．而相似度也是描述模糊集模糊程度的指標(biāo)，對(duì)于其與熵的關(guān)系，Wei等[6]展開(kāi)了相關(guān)的研究．

在上述研究中，通常將模糊集的模糊程度描述為某個(gè)具體的數(shù)值，顯然無(wú)法同時(shí)表述肯定和否定的含義．而由于認(rèn)識(shí)的復(fù)雜性，人們對(duì)事物認(rèn)知的表述往往具有不確定性．例如當(dāng)模糊集的模糊程度描述為“肯定為0.1，否定為0.5”時(shí)，如何利用熵與相似度來(lái)表示是一個(gè)值得探討的問(wèn)題．本文分別以模糊集的熵和相似度的概念為基礎(chǔ)，提出直覺(jué)熵和直覺(jué)相似度的概念并構(gòu)建出相應(yīng)的表達(dá)式，對(duì)二者的關(guān)系展開(kāi)討論．

1模糊集的直覺(jué)熵

本文基于模糊集的熵來(lái)定義直覺(jué)熵以及構(gòu)造具體的表達(dá)式．

設(shè)X為論域，稱映射μA：X→[0，1]為X的一個(gè)模糊子集，μA(x)為x對(duì)A的隸屬度，記F(X) 為X上所有模糊子集組成的集合，P(X)為X上所有經(jīng)典子集組成的集合．

定義1[7]X為非空集合，若映射μA：X→[0，1]，νA：X→[0，1]滿足

μA(x)+νA(x)≤1；?x∈X

則稱A=(X，μA，νA)為X上的直覺(jué)模糊集，記為A(x)=(μA(x)，νA(x))，其中μA(x)、νA(x)分別表示X中元素x對(duì)集合A的隸屬度和非隸屬度．X中直覺(jué)模糊集的全體記為IF(X)．

令L={(a，b)|a，b∈[0，1]，a+b≤1}，則直覺(jué)模糊集A=(X，μA，νA)可以視為L(zhǎng)-模糊集：

A：X→L，x

(μA(x)，νA(x))

為了方便起見(jiàn)，用LX={A∣A：X→L}來(lái)表示IF(X)．

1972年，De Luca和Termini給出了關(guān)于模糊集的模糊程度的公理性描述以及模糊集熵的定義．

定義2[8]如果E：F(X)→[0，1]，A

→

E(A) 滿足以下性質(zhì)：

(E1)若A∈P(X)，則E(A)=0；

(E4)E(A)=E(Ac)

則稱E為模糊集F(X)上的熵．

事實(shí)上，模糊集的熵通過(guò)建立一個(gè)從F(X)到[0，1]的映射來(lái)描述其模糊程度，利用對(duì)論域X上每個(gè)元素隸屬度來(lái)進(jìn)行計(jì)算，得到介于[0，1]的一個(gè)數(shù)值．這實(shí)質(zhì)上等同于模糊集的去模糊化過(guò)程．其不足之處在于一方面會(huì)造成部分可用信息的丟失，使得結(jié)果具有不完整性；另一方面，由于人們?cè)趯?duì)事物的認(rèn)知過(guò)程中往往會(huì)表現(xiàn)出很大程度的不確定性，這就使得對(duì)于模糊集模糊程度的表述也有不確定性．例如設(shè)U={1，2，3，4，5}，若表示“靠近3”的模糊集，其隸屬度函數(shù)可以表示為A={(1，0)，(2，0.6)，(3，1)，(4，0.6)，(5，0)}．也可以表示為B={(1，0)，(2，0.7)，(3，1)，(4，0.7)，(5，0)}，且有E(A)=0.384，E(B)=0.336．這是由于對(duì)于模糊集模糊程度的認(rèn)知存在不確定性，導(dǎo)致對(duì)模糊集的描述方式不同，得到的熵也不同．因此一個(gè)數(shù)值很難準(zhǔn)確地描述這種性質(zhì)．這就需要將熵的取值從具體的數(shù)值推廣至能同時(shí)表示肯定及否定的量．基于此，提出模糊集直覺(jué)熵的定義如下．

定義3 若ITE：F(X)→L滿足：

(EP1)若A∈P(X)，則ITE(A)=(0，1)；

(EP4)ITE(A)=ITE(Ac)

則稱ITE為模糊集上的直覺(jué)熵．

注 由L的運(yùn)算可知，若ITE(A1)=(a1，b1)，ITE(A2)=(a2，b2)，則有

(1)

(2)

(3)

定理1ITEi(A)(i=1，2，3)為直覺(jué)熵．

證明 以i=3為例，首先證ITE3(A)∈L．

則有

即ITE3(A)∈L．

(EP1)若A∈P(X)，則μA(x)=0或μA(x)=1，即

也就是說(shuō)ITE3(A)=(0，1)．

也就是說(shuō)ITE3(A)=(1，0)．

即ITE3(A2)≤ITE3(A1)．

(EP4)ITE3(A)=ITE3(Ac)顯然得證．

其他情形同理可得．

□

2模糊集的直覺(jué)相似度

相似度也是用來(lái)描述模糊集模糊程度的指標(biāo)．為了度量?jī)蓚€(gè)模糊概念的相似程度，在1987年，Pappis和Karacapilidis給出了關(guān)于兩個(gè)模糊集相似度定義的公理性描述．

定義4[9]若S：F(X)×F(X)→[0，1]滿足：

(S1)若A∈P(X)，則有S(A，Ac)=0；

(S2)S(A，A)=1；

(S3)S(A，B)=S(B，A)；

(S4)?A，B，C∈F(X)，若A?B?C，則

S(A，C)≤S(A，B)，S(A，C)≤S(B，C)

稱S(A，B)為模糊集A、B的相似度．

例如，若論域X={x1，x2，…，xn}，A、B為X上的模糊集，令μA(xi)-μB(xi)=g(A，B)，則

為模糊集A、B的相似度．

事實(shí)上，模糊集的相似度是利用論域X上兩個(gè)模糊集元素隸屬度來(lái)確定[0，1]間的一個(gè)數(shù)值．同樣由于認(rèn)知過(guò)程中的不確定性，需要將相似度的概念推廣至直覺(jué)相似度：

定義5 若ITS：F(X)×F(X)→L滿足以下性質(zhì)：

(SP1)若A∈P(X)，則ITS(A，Ac)=(0，1)；

(SP2)ITS(A，A)=(1，0)；

(SP3)ITS(A，B)=ITS(B，A)；

(SP4)?A，B，C∈F(X)，若A?B?C，則ITS(A，C)≤ITS(A，B)，ITS(A，C)≤ITS(B，C)稱ITS(A，B)為A、B的直覺(jué)相似度．

例如，令X={x1，x2，…，xn}，μA(xi)+μB(xi)=h(A，B)，定義

(4)

(5)

定理2ITSi(A，B)(i=1，2)為直覺(jué)相似度．

證明 以i=2為例，首先證ITS2(A)∈L．當(dāng)μA(x)≤μB(x)時(shí)，有

即ITS2(A)∈L．

當(dāng)μA(x)≥μB(x)時(shí)，同理可得．

(SP1)若A∈P(X)，則μA(x)=0或μA(x)=1，有

即ITS2(A，Ac)=(0，1)．

(SP2)顯然有ITS2(A，A)=(1，0)．

(SP3)ITS2(A，B)=ITS2(B，A)顯然得證．

(SP4)若A?B?C，則有μA(x)≤μB(x)≤μC(x)．

由式(5)可得

由于

即ITS2(A，C)≤ITS2(A，B)．

同理可得ITS2(A，C)≤ITS2(B，C)．

其他情形同理可得．

□

3直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度的關(guān)系

直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度都是描述模糊集模糊程度的指標(biāo)，二者之間的關(guān)系在本文中進(jìn)行討論．

定理3 設(shè)ITE為模糊集的直覺(jué)熵，對(duì)于?A，B∈F(X)，?x∈X，構(gòu)造函數(shù)如下：

則ITE(fi(A，B))(i=1，2，3)為模糊集A、B的直覺(jué)相似度．

證明 以i=1為例，

(SP1)若A∈P(X)，則?x∈X，有

f1(A，Ac)∈P(X)，即ITE(f1(A，Ac))=(0，1)；

(SP2)?x∈X，有

則ITE(f1(A，A))=(1，0)；

(SP3)顯然ITE(f1(A，B))=ITE(f1(B，A))；

(SP4)若A?B?C，則μA(x)≤μB(x)≤μC(x)，即

也就是說(shuō)

i=2，3類似可得．

□

根據(jù)以上定理可知，給定一個(gè)模糊集的直覺(jué)熵，可以得到相應(yīng)的直覺(jué)相似度．

定理4 若ITS為模糊集的直覺(jué)相似度，則ITS(A，Ac)為模糊集A的直覺(jué)熵．

證明 (EP1)若A∈P(X)，則ITS(A，Ac)=(0，1)；

即

也就是說(shuō)

(EP4)顯然有ITS(A，Ac)=ITS(Ac，A)．

□

綜上模糊集的直覺(jué)熵、直覺(jué)相似度二者之間等價(jià)，可以相互轉(zhuǎn)化．

4結(jié)語(yǔ)

本文主要解決的是當(dāng)考慮模糊集的模糊程度具有不確定性時(shí)，如何利用熵與相似度來(lái)進(jìn)行刻畫(huà)的問(wèn)題．首先基于模糊集熵與相似度的定義，將其取值范圍進(jìn)行推廣，提出了直覺(jué)熵、直覺(jué)相似度的定義以及具體的構(gòu)建方法．然后對(duì)二者的關(guān)系展開(kāi)了討論．由于熵在模糊多屬性決策問(wèn)題中被用來(lái)確定指標(biāo)集的權(quán)重，直覺(jué)熵與直覺(jué)相似度如何在模糊多屬性決策問(wèn)題中進(jìn)行應(yīng)用是今后值得研究的問(wèn)題．

參考文獻(xiàn)：

[1] 陳 雷,王延章. 基于熵權(quán)系數(shù)與TOPSIS集成評(píng)價(jià)決策方法的研究[J]. 控制與決策, 2003, 18(4):456-459.

CHEN Lei, WANG Yan-zhang. Research on TOPSIS integrated evaluation and decision method based on entropy coefficient [J]. Control and Decision, 2003, 18(4):456-459. (in Chinese)

[2]劉 智,端木京順,王 強(qiáng),等. 基于熵權(quán)多目標(biāo)決策的方案評(píng)估方法研究[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2005, 35(10):114-119.

LIU Zhi, DUANMU Jing-shun, WANG Qiang,etal. An evaluation method of scheme based on entropy weight multi-objection decision-making [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2005, 35(10):114-119. (in Chinese)

[3]周榮喜,劉善存,邱菀華. 熵在決策分析中的應(yīng)用綜述[J]. 控制與決策, 2008, 23(4):361-366, 371.

ZHOU Rong-xi, LIU Shan-cun, QIU Wan-hua. Survey of applications of entropy in decision analysis [J]. Control and Decision, 2008, 23(4):361-366, 371. (in Chinese)

[4]XU Ze-shui, XIA Mei-mei. Hesitant fuzzy entropy and cross-entropy and their use in multiattribute decision-making [J]. International Journal of Intelligent Systems, 2012, 27(9):799-822.

[5]JIN Fei-fei, PEI Li-dan, CHEN Hua-you,etal. Interval-valued intuitionistic fuzzy continuous weighted entropy and its application to multi-criteria fuzzy group decision making [J]. Knowledge-Based Systems, 2014, 59(3):132-141.

[6]WEI Cui-ping, WANG Pei, ZHANG Yu-zhong. Entropy, similarity measure of interval-valued intuitionistic fuzzy sets and their applications [J]. Information Sciences, 2011, 181(19):4273-4286.

[7]袁學(xué)海,李洪興,孫凱彪. 直覺(jué)模糊集和區(qū)間值模糊集的截集、分解定理和表現(xiàn)定理[J]. 中國(guó)科學(xué)F輯:信息科學(xué), 2009, 39(9):933-945.

YUAN Xue-hai, LI Hong-xing, SUN Kai-biao. The cut sets, decomposition theorems and representation theorems on intuitionistic fuzzy sets and interval valued fuzzy sets [J]. Science in China Series F:Information Sciences, 2009, 39(9):933-945. (in Chinese)

[8]De Luca A, Termini S. A definition of a non-probabilistic entropy in the setting of fuzzy sets theory [J]. Information and Control, 1972, 20(4):301-312.

[9]Pappis C P, Karacapilidis N I. A comparative assessment of measures of similarity of fuzzy values [J]. Fuzzy Sets and Systems, 1993, 56(2):171-174.

文章編號(hào)：1000-8608(2016)04-0427-05

收稿日期：2015-12-02；修回日期: 2016-05-10．

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61473327).

作者簡(jiǎn)介:石乙英(1980-)，女，博士生，E-mail:shiyiying98@163.com；袁學(xué)海*(1960-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:yuanxh@dlut.edu.cn.

中圖分類號(hào)：O159

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.7511/dllgxb201604015

Intuitionistic entropy and intuitionistic similarity of fuzzy sets

SHIYi-ying1,2,YUANXue-hai*1,3

( 1.School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Science, Shenyang Ligong University, Shenyang 110159, China；3.School of Science, Dalian University of Technology at Panjin, Panjin 124221, China )

Abstract：Both entropy and similarity are used to describe the fuzziness of the fuzzy sets. But in existing methods, they are still represented as specific values to be studied. Aiming at the uncertainty of the fuzziness of the fuzzy sets which can not be expressed by specific value, the problem of how to measure with entropy and similarity is discussed. Firstly, intuitionistic entropy and intuitionistic similarity are defined. And then, two theorems are proposed to show how these definitions can be deduced to each other.

Key words：entropy; similarity; intuitionistic entropy; intuitionistic similarity