一類函數的單調性研究*

張曉霞，李云霞

(楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000)

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一類函數的單調性研究*

張曉霞，李云霞

(楚雄師范學院數學與統計學院，云南 楚雄 675000)

本文討論了一類一般的冪指函數的單調性，獲得了三個一般性結果，同時得到了與之對應的數列的單調性。

冪指函數；冪指數列；單調性

1.主要引理

(i) 若α>0，則

(ii)若α0，則在區間上，g(x)>0.

則

(1)

(2)

所以當α-1<0，即0<α<1時，由洛必達法則得

(3)

于是

(4)

若α-1>0，即α>1時，由(3)式同理可得

(5)

由洛必達法則得

(6)

所以

(7)

(8)

綜上所述, 引理中的(i)得證.

(9)

由洛必達法則得

又由(6)式可得

(10)

綜上所述，故引理中的(ii)得證.

2.主要結論

(ii)當α0時，函數f(x)在上均為嚴格遞增函數.

(11)

① 當0<α<1時，g(x)>0，f′(x)>0，從而f(x)在該區間上為嚴格遞增函數；

② 當α>1時，g(x)<0，f′(x)<0，從而f(x)在該區間上為嚴格遞減函數.

(ii)若α0時，由(11)式及(ii)，均有g(x)>0，則(x)>0，從而f(x)在區間均為嚴格遞增函數.

綜上所述，定理得證.

由定理可知，當x取自然數n時有

[1]華東師范大學數學系.數學分析(上冊)(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010:23-60,165——166.

[2]朱勻華.微積分入門指導與思考方法[M].廣東：中山大學出版社，1987：270—280.

[3]張全新，郭世平.一類數列單調性的探究[J].合肥師范學院學報，2009.27(03)：29—31.

(責任編輯 李艷梅)

The Monotonicity of a Kind of Function

ZHANG Xiaoxia & LI Yunxia

(SchoolofMathematics&Statistics,ChuxiongNormalUniversity,Chuxiong, 675000,YunnanProvince)

In this paper, we first discuss the monotonicity of a kind of power exponential function and prove three general results of it. Secondly, we obtain the monotone property of the corresponding sequence.

The power exponent function；The power exponent sequence；Monotonicity

2016 - 04 - 12通訊作者：李云霞(1970—)，女，教授，研究方向：函數論。

O174.3

A

1671 - 7406(2016)06 - 0001 - 04