涵道式無人飛行器的動力學建模與運動穩定性分析

劉云平　陳　城　張永宏　李先影　梅　平

1.南京信息工程大學,南京,210044　　2.北京航空航天大學，北京,100191

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涵道式無人飛行器的動力學建模與運動穩定性分析

劉云平1,2陳城1張永宏1李先影1梅平1

1.南京信息工程大學,南京,2100442.北京航空航天大學，北京,100191

摘要：涵道式無人飛行器在起飛/著陸過程中，由于近地空間復雜氣流等擾動的作用，極易產生鐘擺振動、精度降低、失控墜落等運動失穩現象。針對求解動力學方程或Lyapunov直接法分析系統運動穩定性存在著方程難以求解及Lyapunov函數難以構建等問題，通過Lyapunov指數方法建立了飛行器結構參數與系統運動穩定性之間的量化關系，為指導系統的機械結構設計及控制系統優化，提高其系統的可靠性和穩定性提供參考。該方法與Lyapunov直接法相比，具有可構建性、計算過程簡單等特點。

關鍵詞：涵道式無人飛行器；起飛與著陸；Lyapunov指數；動力學模型

0引言

涵道式無人機自產生到現在，運動穩定性、能耗等問題一直困擾其發展[1]。由于其活動區域主要位于地形復雜、氣流頻繁的近地空間，故極易產生鐘擺振蕩、精度惡化、失控墜落等運動失穩問題[2-3]。而無人飛行器及攜帶設備的高成本及事故時對地面的危險性，要求它整個系統設計具有較高的魯棒穩定性和可靠性[4-5]。

運動穩定性理論主要是研究系統在受到干擾后的運動狀態與原預定運動狀態之間發散或收斂的運動特性，Lyapunov直接法分析運動穩定性的關鍵是構建Lyapunov函數，但是Lyapunov函數沒有一般的構造方法，而且也不唯一，這大大限制了該方法的廣泛應用。對于含噪聲干擾涵道式無人機等，其Lyapunov函數甚至無法得到[6]。復雜非線性系統的運動穩定性是多自由度、強耦合的非線性系統，其動力學方程非常復雜，無法準確給出，因此成為當前熱點和難點。

Lyapunov指數可以定量地描述系統受到擾動后的初值與原初值兩條軌道隨時間推移按指數方式發散或收斂的程度。與Lyapunov直接法相比，通過Lyapunov指數方法分析系統的運動穩定性[7-8]，不僅具有可構建性[9-10]，而且能夠量化分析系統的運動穩定性，因而適合涵道式無人飛行器等含噪聲干擾的復雜非線性系統的運動穩定性分析[11]。文獻[12]將Lyapunov指數很好地應用在生物力學領域，文獻[13]通過Lyapunov指數方法研究了被動步行機器人運動過程中的穩定性。

運動穩定性的提高主要是指通過改變飛行器的結構參數或輸入控制力矩來影響其動力學特性，而輸入力矩的大小與其動力學參數又是密切相關的。因此，本文通過Lyapunov指數方法建立動力學參數與系統運動穩定性之間的量化關系。

1動力學建模

本文以圖1所示拓撲構型的單涵道式無人飛行器為對象，以歐拉-龐卡萊方程建立整個系統的動力學方程，選取廣義坐標Θ=[φθψxyz]，φ、θ、ψ為3-2-1歐拉角，作為三個方向上的姿態角，x、y、z為線位移。定義偽速度Ω=[pqruvw]，p、q、r是角速度，u、v、w是線速度。

圖1　單涵道式無人飛行器

首先建立飛行器的運動學方程：

(1)

歐拉-龐卡萊形式的動力學方程的關鍵是建立系統的動能函數，即

式中，M(Θ)為慣性矩陣。

考慮第k個剛體連桿，設Icm(k)表示其關于質心在坐標系F(k)下的慣量張量，a(k)表示從質心到任意點O的位置矢量關于質心的空間慣量,Mcm表示質心關于空間的慣性，MO表示質心關于任意點O的空間慣性，則有

歐拉-龐卡萊方程可化簡為如下形式：

(2)

QΩ=(V(Θ))TQ

式中，C(Θ，Ω)為哥氏力；F(Θ)為黏性摩擦力及重力；QΩ為外力；μ(Θ)為勢能函數；Xj為歐幾里德形位矩陣。

注意QΩ為Ω坐標系下的廣義力，為螺旋槳推力、機身受到的空氣阻力及涵道升力之和。

螺旋槳升力及力矩分別為

式中，P、CT、ρ∞、A、ωe、R分別為發動機的額定功率、螺旋槳的升力系數、遠端空氣密度、旋翼圓盤的面積(A=πR2)、螺旋漿的旋轉角速度、螺旋槳的槳葉長度。

機身受到的空氣阻力及力矩分別為

Taero=FaeroZaero

式中，CD為飛行器上的氣動阻力系數；Zaero為飛行器的幾何中心到飛行器的質心距離；S為飛行器的特征面積；vi為飛行器的誘導速度。

涵道升力及力矩分別為

Fvane=

式中，Sr為控制舵面特征面積；Clr為控制舵面的量綱一升力系數,與舵面的偏轉角有關(Clr=Cr/δ)；Cr為升力系數；δ為舵偏角；下標1、2、3分別表示舵片1、舵片2、舵片3；lx、ly、lz分別為舵的氣動中心距飛行器質心的距離在x、y、z軸方向的投影；nvane為控制的舵片數。

將式(1)和式(2)轉換成狀態方程形式為

(3)

其中，X=[Θ Ω]=[φθψxyzpqruvw]

式中，Ix、Iy、Iz分別為繞x、y、z軸的轉動慣量；Fx、Fy、Fz分別為在x、y、z軸上的總的力之和；L、M、N分別為在x、y、z軸上的總的轉動慣量之和。

2Lyapunov指數計算

Lyapunov指數的具體分析方法如下：在Lyapunov指數小于0的方向上，相體積收縮，無人機系統運動穩定且系統對初始條件不敏感，反之不穩定。Lyapunov指數計算公式為

(4)

Lyapunov指數的大小由函數f(X)在Xi處的雅可比矩陣|df(X)/dX|Xi決定，將式(3)代入式(4)中就可以通過Lyapunov指數建立飛行器動力學參數與系統運動穩定性之間的量化關系。

由式(3)可得系統軌跡切向量W的演化滿足變分方程：

(5)

式中，X(t)為式(4)的解；J(X)為方程的雅可比矩陣。

圖2　Lyapunov指數計算流程

3實例分析

以涵道式無人飛行器為對象，通過Lyapunov指數分析其起飛/著陸過程的運動穩定性。飛行器的結構參數如表1，我們可以通過Lyapunov指數建立飛行器和運動穩定性的量化關系。

表1　結構參數的取值

仿真結果如圖3～圖10所示。將圖3、圖4與圖7、圖8進行對比可知：當涵道螺旋槳的轉速慢慢增大，作用在豎直方向上的合力大于其重力時，飛行器進入起飛階段，如圖3、圖4所示；當慢慢減小螺旋槳的轉速，重力大于豎直方向上的合力時呈現下降著陸趨勢，如圖7、圖8所示。

將圖5、圖6與圖9、圖10進行對比可以得出：無人機起飛階段，系統姿態Lyapunov指數譜收斂于0的速度比系統著陸階段快，涵道無人機在起飛階段的穩定性比系統在著陸階段的穩定性好。實際現象就是：無人機可以穩定起飛，但著陸時很難平穩著陸，這一現象恰好闡釋了許多民用飛機在降落時更容易失事的原因。我們通過Lyapunov指數建立動力學參數與系統運動穩定性之間的量化關系，從而為下一步通過改變系統的結構參數來提高無人機在著陸方面的運動穩定性提供參考。

圖3　起飛階段姿態曲線的角位移

圖4　起飛階段姿態曲線的線位移

圖5　起飛階段的角位移Lyapunov指數

4結語

針對涵道式無人機等含噪聲干擾、多自由度、強耦合的非線性系統，本文給出了通過Lyapunov指數方法分析飛行器運動穩定性的方法。首先通過歐拉-龐卡萊方程建立系統的動力學方程，然后建立飛行器的運動參數與Lyapunov指數之間的計算關系，從而建立系統運動參數與系統運動穩定性之間的量化關系。最后，通過實例仿真分析了飛行器在起飛和著陸階段過程的動力學特性，為下一步的系統的控制系統優化提供有益的參考。

圖6　起飛階段的線位移Lyapunov指數

圖7　著陸階段姿態曲線的角位移

圖8　著陸階段姿態曲線的線位移

圖9　著陸階段的角位移Lyapunov指數

圖10　著陸階段的線位移Lyapnov指數

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(編輯袁興玲)

收稿日期：2015-08-20

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51405243, 51575283)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20130999)

中圖分類號：TV2018

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.002

作者簡介：劉云平，男，1979年生。南京信息工程大學江蘇省大氣環境與裝備技術協同創新中心副教授、博士，北京航空航天大學機器人研究所博士后研究人員。主要研究方向是機器人動力學與運動穩定性。發表論文10余篇。陳城，男，1991年生。南京信息工程大學信息與控制學院碩士研究生。張永宏，男，1975年生。南京信息工程大學信息與控制學院教授、博士。李先影，女，1989年生。南京信息工程大學信息與控制學院碩士研究生。梅平，女，1981年生。南京信息工程大學信息與控制學院講師。

Dynamics Modeling and Stability Analysis of a Ducted Fan Unmanned Aerial Vehicle

Liu Yunping1,2Chen Cheng1Zhang Yonghong1Li Xianying1Mei Ping1

1.Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing,210044 2.Beihang University,Beijing,100191

Abstract:The problems of dynamic stability of the ducted fan unmanned aerial vehicles, such as cornering, shake, loss of accuracy of command tracking and loss of control, were very easy to arise during take-off and landing due to the disturbances from the complex airflow. Analyzing the dynamic stability of this system based on solving the dynamics equation or the direct method of Lyapunov was very difficult due to being difficult to solve the equations and to derivate Lyapunov function and so on. Hence, a Lyapunov exponent approach was used to establish the quantitative relationship among the structural parameters of a unmanned aerial vehicle and its dynamic stability for guiding the design of the vehicle's mechanical structure and the optimization of its stability control by using the relationship, which provided important basis for promoting the dynamic stability and reliability of this system. Compared with the direct method of Lyapunov for analyzing of the stability, the method of Lyapunov exponents is easier to build and the calculation process is simpler.

Key words:ducted fan unmanned aerial vehicle; take-off and landing; Lyapunov exponents; dynamics model