基于Kriging模型的微夾持器優化設計

胡俊峰　蔡建陽　鄭昌虎

江西理工大學，贛州，341000

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基于Kriging模型的微夾持器優化設計

胡俊峰蔡建陽鄭昌虎

江西理工大學，贛州，341000

摘要：為了綜合平衡一種新型微夾持器的張合量、夾持力靈敏度與快速響應，提出一種Kriging模型的優化方法。采用拉丁超立方抽樣方法確定試驗點，采用ANSYS計算各試驗點對應的響應值。進行相關性分析以確定對性能影響較大的結構參數，并將其作為優化設計變量。采用Kriging理論建立能反映性能指標與設計變量之間關系的非線性模型，并建立多目標優化模型。比較分析優化前與優化后的各性能指標可知，放大倍數增大了7.4%，固有頻率增大了16.46%，輸出剛度增大了9.84%，最大應力減小了5.75%，說明所提出的性能優化方法有效。

關鍵詞：微夾持器；拉丁超立方抽樣；Kriging模型；多目標遺傳算法

0引言

微夾持器為微操作的末端執行器[1-3]，廣泛應用于半導體設備、光學元件制造、微零件裝配、生物科學等眾多領域。如在微機電系統領域中，微夾持器可用于抓取和裝配微構件[4-5]；在生物工程領域，微夾持器可用于抓取細胞，對細胞進行微操作[6]；在光學工程領域，夾持器可用于光學元件的微操作和調節。目前，微夾持器的性能還不能很好地滿足工程應用要求。為了能使微夾持器夾持不同尺寸大小的微小物體，需要較大的張合量。為了避免被夾持物在微操作過程中脫落或損傷，要易于控制夾持力，即要求較高的夾持力靈敏度，同時要求在夾持過程中有較快的響應速度。但是，微夾持器的張合量、夾持力靈敏度與響應速度是相互制約的，為了提高微夾持器的綜合性能，需要綜合平衡各個性能進行多目標性能綜合。

柔順機構能通過柔性鉸鏈的變形實現運動和力的傳遞，具有無摩擦、無間隙、運動精度高等優點[7]，主要用作微夾持器的執行機構。目前，國內外學者對微夾持器的研究主要集中于結構設計[7-10]和理論建模[11-13]。建立反映微夾持器力學性能模型的方法主要為偽剛體法和有限元法，但是采用偽剛體法建立的理論模型難以精確反映夾持器性能指標與結構參數的非線性關系，有限元法難以建立其顯式表達式，所以采用這兩種方法建立的模型進行微夾持器的多目標性能綜合效果不理想。由于Kriging模型是一種能根據有限元仿真試驗數據建立反映微夾持器的性能指標與結構參數之間關系的無偏估計模型，并能通過相關函數的作用進行局部估計實現精確建立反映夾持器的性能指標與結構參數之間非線性關系的理論模型[14-16]，所以可采用Kriging理論建立用于夾持器性能綜合的理論模型，為其性能綜合提供一種新的思路。

本文采用杠桿原理設計一種新型的微夾持器，建立反映微夾持器綜合性能的Kriging近似模型，采用多目標遺傳算法(MOGA)對夾持器進行多目標優化，以同時滿足微夾持器各性能要求。

1結構設計

微夾持器的設計原理如圖1所示，桿Ⅰ的中點I為夾持器的輸入端，桿Ⅵ的O點為夾持口，B、C、D、E、 F分別表示轉動副。點I與B、C、D、E組成了一級放大，C為杠桿的支點，設I點位移為yI，則E點位移得到放大，其位移為

yE=(1+l2/l1)yI

(1)

式中，l1和l2分別為CD和DG的長度，l2>l1。

圖1　微夾持器設計原理圖

點I與F、E、O形成了二級放大，O點的位移由E點的位移經二級放大得到，有

yO=(1+lOE/l3)yE=(1+lOE/l3)(1+l2/l1)yI

(2)

式中，l3為EF長度；lOE為點O到點E的距離，lOE>l3。

由式(2)可知，輸出端O點的位移可得到放大。

根據圖1的設計原理設計微夾持器，如圖2所示，圖1中的轉動副B、C、D、E分別采用直圓型鉸鏈實現，轉動副F采用直角型柔性鉸鏈實現，并采用結構緊湊的對稱式結構，以提高其剛度和固有頻率。夾持器的結構參數如表1所示，l1、l2、l3、l4、l5、l6分別表示圖1中桿件Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的長度，其中l5可由其他尺寸計算得出。h3、h4、h5、h6分別表示桿件Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的寬度，且桿Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的寬度相等。r、b分別表示直圓型柔性鉸鏈的半徑和寬度，lF為直角型鉸鏈F的長度，所有鉸鏈的厚度均為t。材料選用鋁合金，其彈性模量為71 GPa，泊松比為0.33，密度為2770 kg/m3。

圖2　微夾持器

表1　微夾持器的結構參數 mm

2確定優化結構參數

微夾持器的優化流程如圖3所示。首先，將夾持器的結構參數作為變量，采用有限元軟件ANSYS建立參數化有限元模型，基于該模型得到夾持器的各性能指標值；然后，采用拉丁超立方抽樣(LHS)方法確定試驗點，計算各試驗點對應的響應值，基于試驗點進行相關性分析以確定優化設計變量，并根據試驗點采用Kriging理論建立反映各性能指標的Kriging模型。最后，基于Kriging模型建立多目標優化模型，采用MOGA算法得到Pareto最優解集，并從Pareto最優解集選擇最優設計方案。

圖3　微夾持器優化流程

2.1微夾持器性能指標

微夾持器的張合量反映了其有效夾持范圍，可用機構的放大倍數表示，它可表示為

k=xO/yI

(3)

式中，xO為圖2所示的輸出端O點沿x方向的位移。

為了采用ANSYS計算放大倍數，如圖1所示，在輸入端I施加單位位移，即yI=1μm，采用ANSYS計算xO即為微夾持器的放大倍數。

夾持力靈敏度反映夾持器的夾持力對驅動力的靈敏程度，可表示為夾持力與輸入端的驅動力之比：

SF=Fo/Fi

(4)

式中，Fi為施加于圖2所示驅動端的驅動力；Fo為輸出端點O的夾持力。

微夾持器的輸入剛度Ki和輸出剛度Ko定義為

(5)

聯合式(4)和式(5)可得夾持力靈敏度為

(6)

由式(6)可知，為了增大夾持力靈敏度，需要增大夾持器的輸出剛度Ko，減小輸入剛度Ki。減小Ki即增大系統的柔度，柔度越大則位移放大倍數也越大，也就是說，Ki與放大倍數k是一致的。所以，將輸出剛度Ko作為反映夾持力靈敏度的性能指標。為了獲得Ko，根據其定義在夾持端O點沿x方向上施加1N的力，通過ANSYS計算出O點x方向的變形量Δx，則Ko為1/Δx。

微夾持器利用其變形實現夾持操作，固有頻率可作為反映響應速度的性能指標。采用ANSYS進行模態分析可獲得夾持器的固有頻率f。同時，基于柔性鉸鏈的微夾持器通過鉸鏈的變形來傳遞運動和力，最大應力發生在鉸鏈最小厚度處，此處容易斷裂。設微夾持器采用標稱行程為64 μm的壓電驅動器驅動，當在其輸入端施加64 μm的輸入位移時，夾持器最大應力發生在鉸鏈E的厚度最小處，則取該點的應力σmax作為強度性能指標。夾持器的性能指標可表示為y=(k,f,Ko,σmax)T。

2.2設計變量

如果將夾持器的結構參數均作為優化設計變量，會影響所建立的Kriging模型的精度和優化結果的準確性。因此，需要分析微夾持器結構參數對其性能指標的影響程度，以選取對其性能指標有較大影響的參數作為優化設計變量。相關性分析是指通過試驗設計方法分析性能指標與結構參數之間的相關程度，具有快速、簡潔的特點，可采用該方法確定結構參數對各性能指標的影響情況。夾持器的性能指標對結構參數的相關性可采用Spearman秩相關系數表示：

(7)

(8)

拉丁超立方試驗設計是一種基于隨機抽樣的試驗設計方法，其特點是使輸入組合均勻填滿整個試驗區間，且每個試驗變量水平只使用一次[12]，適用于相關性分析和Kriging模型的建立。設結構參數的取值范圍如表2所示，考慮結構參數為13個，根據拉丁超立方試驗設計方法確定樣本數為100，即在表2所示的范圍內取100個樣本點，通過有限元分析得到樣本點的各響應值，

表2　初始設計變量取值范圍　mm

由式(7)可得位移放大倍數、固有頻率、輸出剛度和最大應力對結構參數的Spearman秩相關系數矩陣，如表3所示。根據式(8)表示的秩相關系數與相關性強度之間的關系可得結構參數對各性能指標的相關性強度如圖4所示。

表3　Spearman秩相關系數

圖4　相關性強度

由表3和圖4分析可知，參數l1、l6、h3、r對夾持器的放大倍數為強相關；參數r、t對固有頻率為強相關；參數l6、b、t對輸出剛度Ko為強相關；參數l1、r、t對最大應力σmax為強相關。所以，可將對性能指標均為強相關的參數作為優化設計變量，即x=(l1,l6,h3,r,b,t)T。

3建立Kriging模型

由于微夾持器的性能指標與設計變量之間的關系難以采用顯式函數表示，Kriging模型可以利用少量的樣本點建立能準確反映性能指標與設計變量之間的非線性關系的模型，利用該模型預測非樣本點的響應值，為微夾持器的結構參數設計提供優化模型。建立Kriging近似模型需要能反映整個設計空間的合適試驗樣本點，拉丁超立方試驗設計方法具有空間分布均勻的特點，適宜用于建立Kriging模型。

設拉丁超立方抽樣總樣本數為n，x(i)、y(i)(i=1,2,…,n)分別表示微夾持器第i個樣本的結構參數和性能響應值，則Xs=[x(1)x(2)…x(n)]T,Ys=[y(1)y(2)…

y(n)]T分別表示全體樣本的設計變量和性能響應值。設計變量列向量維數為6，根據拉丁超立方抽樣方法可確定樣本數n=28，根據設計變量的樣本點，由式(3)、式(4)和式(6)定義的性能指標采用ANSYS進行有限元分析可得相應的放大倍數、固有頻率、輸出剛度和最大應力的響應值，具體的試驗設計點與響應值如表4所示。

不失一般性，下面以微夾持器的某一性能指標為例，說明建立Kriging模型的過程。Kriging模型包含非線性回歸部分和隨機過程部分，Kriging模型可表示為回歸多項式和隨機函數之和，即

y(x)=fT(x)β+z(x)

(9)

其中，y(x)表示微夾持器的某一性能指標；f(x)=(f1(x),f2(x),…,fp(x))T為回歸基函數，采用二階多項式函數；β=(β1,β2,…,βp)T為回歸系數，可通過表4所示的試驗樣本點估計得到；z(x)反映了局部偏差，為一個服從正態分布的隨機過程，它具有如下統計特性：

(10)

其中，R(x(i),x(j))為任何兩個設計變量x(i)和x(j)的相關函數，它對Kriging模型的精度起決定性作用，為了精確反映微夾持器性能指標與結構參數的近似模型，選擇高斯相關函數，它可表示為

(11)

由式(9)～式(11)可知，要建立Kriging模型，需要根據試驗樣本點對參數β、σ2和θk進行估計。

利用加權最小二乘法和最大似然估計，可得回歸系數β和方差σ2的估計值分別為[15]

(12)

式中，F為n×p基函數矩陣，其第i行第j列的元素為fj(x(i))；R為n×n的相關矩陣，其第i行第j列的元素為R(x(i),x(j))。

式(12)表示的參數估計值均與相關參數θk有關，通過極大依然估計法得到一個無約束的最優化問題，以此確定相關參數θk[16]：

(13)

通過求解式(13)的優化問題可確定參數θk。

表4　拉丁超立方抽樣試驗設計點與響應值

(14)

根據式(14)和表4的試驗點可得反映夾持器各性能指標k、f、Ko、σmax與設計變量之間的Kriging模型分別為

k(x)=24.2624+0.6198h3+0.2582l6+1.5494l1+

0.3443r2-0.0861h2

(15)

f(x)=2559.429-71.0346h3-29.5978l6-

177.5867l1-887.9342t-236.7819r-

118.39126h+7.4474h3l6+12.2154h3t-

2.1296l6r+7.8772l6t-70.9161l1t-

(16)

Ko(x)=-0.095+0.8744h3+0.8203l1+1.122×

10-3h3l1-1.122×10-3h3b+

3.116×10-3r2+2.742×10-3b2

(17)

σmax(x)=12522.36-0.21h3-0.21l1-0.21b+

(18)

由于Kriging模型是一種反映微夾持器性能指標與結構參數之間關系的近似模型，為了評估該模型是否能精確反映微夾持器的性能指標，必須對其擬合度進行評價，可采用評價系數R2進行評價，其表達式為

(19)

由式(19)可知，R2越接近于1，所建立的Kriging模型越精確。

為了計算評價系數R2，在由表2所示的設計變量范圍內隨機選取20個樣本點，根據ANSYS和Kriging模型可分別計算得到放大倍數、固有頻率、輸出剛度和最大應力的實際值和預測值，如圖5～圖8所示。由式(19)可分別計算得放大倍數k、固有頻率f、輸出剛度Ko和最大應力σmax的評價系數R2分別為0.9181、0.9068、0.9956、0.9002，說明所建立的Kriging模型能準確反映各性能指標與設計變量之間的關系。

圖5　放大倍數實際值與預測值

圖6　固有頻率實際值與預測值

圖7　輸出剛度實際值與預測值

圖8　最大應力實際值與預測值

4多目標優化

根據微夾持器的性能指標定義，微夾持器的放大倍數k、固有頻率f和輸出剛度Ko應盡可能大，同時保證其強度。根據式(15)～式(18)所建立的反映夾持器性能的Kriging模型，以微夾持器的k、f、Ko最大為目標，最大應力σmax小于材料的屈服強度為約束，建立夾持器多目標優化模型：

(20)

式中，di分別為設計變量l1、l6、h3、r、b、t；dl為設計變量下限；du為設計變量上限；σs為材料的屈服強度，σs=280 MPa。

圖9　Pareto最優解集

多目標遺傳算法能并行處理多個目標，魯棒性強，采用該算法可求解該多目標優化問題。初始樣本數量選取1000個，每次樣本迭代數為100，迭代的最大數量為50。圖9為優化后獲得的最優Pareto解集。由圖9可知，3個性能指標是相互矛盾的，當其中一個性能指標提高，另外兩個性能指標會下降。根據目標期望權衡這3個目標，從圖9所示的Pareto解集中選取3組合適的設計方案如表5所示。由于第2組設計方案的放大倍數接近于3組中最大值，固有頻率最大，輸出剛度也接近于3組中最大值，最大應力均小于材料的屈服強度，所以選擇第2組作為最終的設計方案，第2組設計方案所對應的各設計變量值如表6所示，為了方便加工制造，對設計變量優化后的數據進行修正，修正結果見表6。

表5　優化解集

表6　優化前后的設計變量及修正值　mm

為了說明微夾持器優化后相對于優化前的性能改善，對優化前與優化后的性能指標進行對比分析，利用表6所示的優化前和優化后的結構參數采用ANSYS得出夾持器優化前和優化后的各性能指標值，結果如表7所示。由表7可知，放大倍數相對于優化前增大了7.4%，固有頻率增大了16.46%，輸出剛度增大了9.84%，最大應力減小了5.75%。因此，優化結果能較好地滿足夾持器的性能綜合要求，說明了所提出的優化設計思路的有效性。

表7　微夾持器優化前與優化后性能指標

5實驗驗證

為了驗證優化結果的有效性，搭建圖10所示的實驗系統，由壓電陶瓷驅動器、驅動電源、微夾持器、單極電容位移傳感器及其信號調理裝置組成，壓電驅動器和驅動電源為芯明天公司生產，其型號分別為80VS12和XE-501，壓電驅動器電壓取值范圍為0～120V并內置了位移傳感器；單極電容位移傳感器和信號調理器分別為PI公司生產的型號D-E20.200和E-712，傳感器分辨率為0.2μm，線性度為0.3%。

圖10　實驗裝置

為了分析微夾持器輸出位移與輸入位移的關系，對壓電驅動器施加范圍為0～50V，步長為2V的輸入電壓序列，即對夾持器輸入不同的位移yI，該位移可由驅動器內置的位移傳感器測量得到，對應的夾持口的輸出位移xO可由電容位移傳感器測量，則可得25組輸入位移與輸出位移的實驗數據如圖11所示。為了與ANSYS分析結果進行比較分析，對夾持器施加相同的輸入位移計算出相應的輸出位移如圖11所示，由該圖可知，實驗結果與仿真分析結果接近，說明了優化模型和結果的正確性。

圖11　輸出位移與輸入位移

6結論

(1)采用杠桿原理設計了一種新型的結構緊湊和響應快的微夾持器，并提出了一種基于Kriging模型的性能綜合方法。

(2)采用拉丁超立方試驗設計方法進行相關性分析以確定對微夾持器的性能指標影響較大的結構參數，并將其作為優化設計變量。

(3)根據ANSYS得出的仿真試驗數據，采用Kriging理論建立能反映微夾持器性能指標與設計變量之間關系的非線性模型，為微夾持器的多目標優化提供了精確的理論模型。

(4)提出了以微夾持器的放大倍數、固有頻率和輸出剛度為目標，以強度為約束的多目標優化模型，采用多目標遺傳算法對其進行求解，優化結果表明在保證微夾持器強度的前提下，放大倍數增大了7.4%，固有頻率增大16.46%了，輸出剛度增大了9.84%。說明了優化方法的有效性，并通過實驗驗證分析表明優化結果的正確性。

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(編輯王旻玥)

收稿日期：2015-09-16

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51265016, 51565016)

中圖分類號：TH703; TP274

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.022

作者簡介：胡俊峰，男，1978年生。江西理工大學機電工程學院副教授。主要研究方向為柔順機構及智能控制。發表論文30余篇。蔡建陽，男，1991年生。江西理工大學機電工程學院碩士研究生。鄭昌虎，男，1991年生。江西理工大學機電工程學院碩士研究生。

Optimization Design of a Micro Gripper Based on Kriging Model

Hu JunfengCai JianyangZheng Changhu

Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou, Jiangxi, 341000

Abstract:In order to tradeoff the opening distance, gripping force sensitivity and rapid response of a novel micro gripper, a optimization method was proposed based on Kriging model. Latin hypercube sampling method was used to select test points, and the response values corresponding to each test point were calculated by using ANSYS. The correlation analysis was carried out to determine the structural parameters affecting performance greatly, and the parameters were selected as the optimization design variables. The nonlinear model reflecting the relationship between the performance index and the design variables was built by using Kriging theory, and the multi-objective optimization model was established. The comparative analyses of the performance indexes before and after optimization show that the magnification ratio increases 7.4%, the natural frequency increases 16.46%, the output stiffness increases 9.84%, the maximum stress decreases by 5.75%. It illustrates that the proposed performance optimization method is effective.

Key words:micro gripper; Latin hypercube sampling; Kriging model; multi-objective genetic algorithm