具有參數漂移特征的產品可靠度分布規律研究*

翟亞利　張志華　宋　祁

(海軍工程大學　武漢　430033)

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具有參數漂移特征的產品可靠度分布規律研究*

翟亞利張志華宋祁

(海軍工程大學武漢430033)

摘要對具有參數漂移特征的產品可靠性服從的規律進行了研究,分析了常見分布(指數分布、正態分布、對數正態分布、三參數威布爾分布、伽馬分布)的特點和參數估計方法,從獲得的產品可靠度值的范圍不同的角度,分三種情形進行可靠度曲線擬合分析,仿真結果說明,當可以通過先驗信息大概確定正態分布或對數正態分布參數的取值范圍時,使用正態分布或對數正態分布擬合可靠度曲線效果較好,否則使用三參數威布爾分布效果較優。

關鍵詞參數漂移; 可靠度分布規律; 參數估計

Class NumberO141.4

1引言

產品在使用過程中,通常需要進行定期監控,以確保其正常運行,在監控過程中得到的產品性能指標檢測信息包含了大量的產品可靠性信息。利用產品檢測信息,一方面可以及時判斷產品當前運行狀態,確定是否需要實施保障措施[1];另一方面,可以利用檢測信息計算得到產品性能指標的變化趨勢進而預測產品壽命,為預防性維修(或報廢)時間的確定提供依據[2～3]。因此,充分利用產品定期檢測信息確定性能指標的變化規律,進而預測產品壽命,成為近年來產品可靠性研究的重要方向。

具有參數漂移特征的產品的可靠性評估是通過分析產品的性能指標退化機理,建立產品性能指標退化與其可靠性之間的數學模型,進而預測其剩余壽命。文獻[4～5]利用退化量的散布特征將各個時刻產品性能指標的退化信息轉化為該時刻產品的可靠性信息,利用產品可靠性壽命分布擬合產品可靠性規律,實現產品可靠性評估。該評估方法充分利用了產品的壽命分布信息,其可靠性評估結果具有較好的魯棒性,尤其是在產品退化觀測數據較多的情況下,可以較準確地擬合產品壽命分布。文獻[6]基于隨機擴散理論,提出了將參數漂移模型預測與產品壽命分布擬合相結合的可靠性評估方法,提高了產品可靠性的評估精度。文獻[4～8]中利用可靠性壽命分布對可靠性進行預測時,根據工程經驗使用了三參數威布爾分布,但是并沒有對壽命分布進行證明或仿真說明。

本文針對具有參數漂移特征的性能退化產品,以性能參數漂移模型為基礎,分析了常見分布,即指數分布、正態分布、對數正態分布、三參數威布爾分布、Gamma分布的參數估計方法,進一步,通過仿真算例分析各種常見分布對參數漂移模型壽命分布的擬合程度。仿真結果說明,當可以大致估計壽命分布的均值和方差范圍時正態分布的擬合效果最優,當沒有任何先驗信息時,三參數威布爾分布的擬合效果最優。

2參數漂移的退化可靠性模型

對于具有參數漂移特征的產品,其參數漂移行為常?？梢杂脭U散過程近似描述。一般情況下,通常假定產品參數在初始時刻沒有漂移(即漂移值為零),隨著產品使用時間的延長,產品參數出現隨機漂移,并逐步遠離中心,其漂移偏離速度和波動幅度逐漸增加。當產品參數漂移量超出規定的上下限時,產品發生失效。

2.1模型假設和建立

根據工程實踐經驗,產品參數的漂移可解釋為產品受到的各種外部隨機沖擊與內部失效因素的不斷累積造成的,在產品質量與工作環境較為穩定的情況下,這些外部隨機沖擊和內部失效因素的累積主要與產品工作時間有關。

由文獻[1]可知,在假設產品在時刻t的參數漂移量X(t)是獨立增量過程,其在初始時刻的漂移量為0,即X(0)=0,且參數漂移量X(t)的漂移系數和擴散系數分別為常數a,b時,X服從正態分布N(at,b2t)。即

(1)

假設產品退化量從某時刻t0開始,其退化規律可以用參數漂移模型進行描述,且該時刻性能指標的退化量為X(t0)=x0,則X服從N(x0+a(t-t0),b2(t-t0))。

2.2產品退化可靠度

對于具有參數漂移特征的產品而言,當其退化量在一定范圍內漂移時產品能夠正常工作,否則,當產品的退化量超出其允許上下限時,產品處于失效狀態。假設產品性能指標的允許上限為Xcu。產品退化量首次超出允許上限的時間即為產品失效時間。即

T(Xcu)=inf{t:X(t)=Xcu,t≥0}

則產品在任意時刻t的失效概率為

F(t)=P{T≤t}=P{X(t)>Xcu}

由此可得任意時刻t產品的可靠度函數R(t)為

R(t)=1-F(t)=P{X(t)≤Xcu}

對于參數漂移系數和擴散系數均為常數時,其可靠度函數為

(2)

3高可靠產品可靠性壽命分布研究

利用產品性能指標的可靠度函數對產品可靠度進行預測時,當預測時間與檢測時刻比較近時估計效果比較好,當預測時間與檢測時刻相差比較遠時產品可靠度預測會產生較大誤差。如果能合理確定產品可靠度的壽命分布,將檢測時刻的可靠度數值與壽命分布相結合,可以提高可靠度評估精度。本節介紹常見的壽命分布函數及其參數估計方法。

3.1指數分布

指數分布通常用來描述電子類產品的可靠度,其具有無記憶性。對于服從參數為λ>0的指數分布,其概率密度函數為

f(x;λ)=λe-λx,x>0

設產品可靠度服從指數分布,則各個時刻的可靠度值為

R(ti)=e-λti,i=1,2,…,n

指數分布參數的最小二乘估計為

(3)

3.2正態分布

由于正態分布密度函數的原函數不能用初等函數來表示,所以使用近似計算或搜索的方法對參數進行估計。

1) 參數估計的近似計算法

設隨機變量X服從參數為μ,σ的正態分布,其k階原點矩uk為

利用定積分的定義,通過取被積函數的左端點的值,近似計算出u1,u2,

因此,正態分布的期望和方差的估計值:

(4)

這種參數估計方法具有一定的誤差,特別是對于高可靠產品很難得到壽命期內產品的各種可靠度估計值,隨著試驗樣本工作時間的減少參數估計偏差變大。

2) 參數估計的搜索方法

根據先驗信息確定參數的大致取值范圍,使用搜索的方式確定參數的估計值,即確定參數μ,σ,使得式(5)成立,其中

(5)

這種參數估計方法,在不能大致確定參數取值范圍時,搜索范圍較大,需要的時間較長。

3.3對數正態分布

3.4三參數威布爾分布

三參數威布爾分布的概率密度函數為

式中γ為保證參數;m、η分別為形狀參數和尺度參數。三參數威布爾分布的參數估計見文獻[1]。

3.5Gamma分布

若非負隨機變量X的概率密度函數[9]為

(6)

設X～Γ(α,λ),則隨機變量的期望和方差分別為

則參數的估計值為

(7)

通過近似計算得到的Gamma分布的參數估計如式(7)所示,該估計方法具有一定的誤差,也可以使用搜索的方式確定參數的估計值,即確定參數α,λ,滿足下式

(8)

4仿真分析

選取仿真例子,計算在不同時刻的可靠度真值,對于第2節中的常見壽命分布,對參數進行估計,得到壽命分布函數表達式,進而得到可靠度估計值,根據可靠度誤差的大小判斷壽命分布函數對具有參數漂漂移特征的產品可靠度的適用性。

4.1仿真例子

以文獻[10]中液力耦合器的性能指標振動幅值為研究對象,隨著時間的增長,液力耦合器的振動幅值會不斷增大,當振動幅值超過額定閾值時液力耦合器系統發生退化失效,振動幅值的額定閾值為Xcu=40。對于第三個周期的觀測數據,從第三個數據點開始認為振動幅值服從參數漂移模型,使用極大似然估計法計算得到參數估計值為a=0.0091,b2=0.0017,以該參數估計值為仿真例子對產品可靠度壽命分布進行仿真分析。

4.2誤差計算

(9)

4.3可獲得壽命期內可靠度值時可靠度壽命分布分析

設采樣時間為[1,1500]天,此時樣本點的可靠度的取值范圍為[0.371,1],分別使用指數分布、正態分布、對數正態分布、三參數威布爾分布、Gamma分布對可靠度進行擬合,使用式(3)～式(8)中的參數估計方法對參數進行估計,進而作出可靠度曲線,其中正態分布、對數正態分布、Gamma分布均使用兩種參數估計方法對參數進行估計,其中標號為1的是使用搜索的方法對參數進行估計,標號為2的是使用近似積分的方法對參數進行估計。可靠度曲線如圖1所示,誤差結果見表1所示。圖1中的可靠度仿真結果指對于仿真例子使用式(2)計算得到的可靠度值。

圖1　可靠度范圍為[0.371,1]時可靠度壽命分布擬合

分布誤差分布誤差指數0.1193Gamma10.7676正態10.0124Gamma20.4107正態20.3721對數正態10.0006三參數Weibull0.0173對數正態20.5775

由圖1和表1可知:指數分布、Gamma分布擬合出的可靠度曲線,與仿真例子的可靠度曲線相差較遠;正態分布和對數正態分布使用搜索方法得到參數估計值對應的可靠度曲線比近似計算得到的可靠度曲線更接近仿真例子的可靠度曲線。因此,在后續仿真分析中,不考慮指數分布和Gamma分布對高可靠壽命分布的擬合,在使用正態分布和對數正態分布對可靠度曲線進行擬合時,不考慮參數的近似估計方法。

4.4可獲得較長時間可靠度值時可靠度壽命分布分析

設采樣時間為[1,1200],此時樣本點的可靠度的取值范圍為[0.7131,1],分別使用正態分布、對數正態分布、三參數威布爾分布對可靠度曲線進行擬合,使用相應的參數估計方法對參數進行估計,進而做出可靠度曲線,其中正態分布、對數正態分布使用搜索方法對參數進行估計?？煽慷惹€如圖2所示,誤差結果見表2所示。

圖2　可靠度范圍為[0.7131,1]可靠度壽命分布擬合

分布誤差正態0.0017三參數Weibull0.0093對數正態0.0004

由圖2和表2可知,當樣本點的可靠度數值在0.8以上時,正態分布、三參數Weibull分布、對數正態分布對于高可靠性產品可靠度值的擬合效果相當,從誤差結果來看,三參數Weibull分布的可靠度預測相對來說差距大一些。

4.5可獲得高可靠度值時可靠度壽命分布分析

設采樣時間為[1,900],此時樣本點的可靠度的取值范圍為[0.9578,1],分別使用正態分布、對數正態分布、三參數威布爾分布對可靠度進行擬合,使用相應的參數估計方法對參數進行估計,進而做出可靠度曲線,其中正態分布、對數正態分布使用搜索方法對參數進行估計。可靠度曲線如圖3所示,誤差結果見表3所示。

表3　可靠度范圍為[0.9578,1]可靠度壽命分布擬合誤差

圖3　可靠度范圍為[0.9578,1]可靠度壽命分布擬合

由圖3和表3可知,對于高可靠產品,當樣本點的可靠度數值較高且高于0.98時,正態分布、三參數Weibull分布、對數正態分布對于高可靠性產品可靠度值的擬合效果相當,正態分布和對數正態分布比三參數Weibull分布的可靠度預測更精確。

綜上所述,對于高可靠產品,其可靠度曲線具有突然下降的特點,使用壽命分布對可靠度曲線進行擬合時,正態分布、對數正態分布、三參數Weibull分布的擬合效果比較好,正態分布、對數正態分布的效果優于三參數Weibull分布,但是這兩個分布的參數估計使用搜索的方法,參數范圍的選擇比較重要,且耗時比較長,三參數Weibull分布使用最小二乘法對參數進行估計,參數估計可以使用表達式進行表示和計算,計算時間比較短。

5結語

本文對具有參數漂移特征的產品可靠性分布規律進行了研究,分析了常見分布,如指數分布、正態分布、對數正態分布、三參數威布爾分布、伽馬分布的特點,以及在已知可靠度值時常見分布中的參數估計方法,最后使用仿真分析進行說明,從獲得的可靠度值的取值范圍的大小從三個方面進行可靠度曲線擬合分析,仿真結果說明,當可以通過先驗信息大概確定正態分布或對數正態分布參數的取值范圍,并且對計算時間沒有要求時,使用正態分布或對數正態分布擬合可靠度曲線效果較好,否則使用三參數威布爾分布效果較優。

參 考 文 獻

[1] Chinnam R B. On line Reliability Estimation of Individual Components Using Statistical Degradation Signal Models[J]. Quality & Reliability Engineering International,2002,54(1):3-10.

[2] Si X S, Chen M Y, Wang W B, et al. Specifying Measurement Errors for Required Lifetime Estimation Performance[J]. European Journal of Operational Research,2013,231(3):631-644.

[3] Le Son K, Mitra F, Barros A, et al. Remaining Useful Life Estimation Based on Stochastic Deterioration Models: a Comparative Study[J]. Reliability Engineering & System Safety,2013,112:165-175.

[4] 翟亞利,張志強,鐘強暉.具有參數漂移特征的退化可靠性評估方法[J].海軍工程大學學報,2013,25(2):107-112.

ZHAI Yali, ZHANG Zhiqiang, ZHONG Qianghui. Degradation reliability evaluation method of products with parameters digression feature[J]. Journal of Naval University of Engineering,2013,25(2):107-112.

[5] 鐘強暉,張志華,吳和聲.基于退化數據的可靠性評估方法探討[J].系統工程與電子技術,2009,31(9):2280-2284.

ZHONG Qianghui, ZHANG Zhihua, WU Hesheng. Research on methods about reliability assessment based on degradation data[J]. Systems Engineering and Electronics,2009,31(9):2280-2284.

[6] 鐘強暉,張志華,梁勝杰.基于多元退化數據的可靠性分析方法[J].系統工程理論與實踐,2011,31(3):544-551.ZHONG Qianghui, ZHANG Zhihua, LIANG Shengjie. Reliability analysis approach based on multivariate degradation data[J]. Systems Engineering-Theory & Practice,2011,31(3):544-551.

[7] 翟亞利,張志華,李大偉.具有漂移特征的退化可靠性評估方法研究[J].系統工程理論與實踐,2014,34(10):2710-2715.

ZHAI Yali, ZHANG Zhiqiang, LI Dawei. The method about reliability evaluation based on degradation data with parameters digression feature[J]. Systems Engineering-Theory & Practice,2014,34(10):2710-2715.

[8] 翟亞利,張志華,李大偉.基于沖擊理論的性能可靠性評估研究[J].系統工程與電子技術,2014,36(10):2108-2112.ZHAI Yali, ZHANG Zhiqiang, LI Dawei. Performance reliability evaluation based on impact theory[J]. Systems Engineering and Electronics,2014,36(10):2108-2112.

[9] 茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數理統計[M].北京:高等教育出版社,2006:7-9.

MAO Shisong, WANG Jinglong, PU Xiaolong. Advanced mathematical sratistics[M]. Higher Education Press,2006:7-9.

[10] 譚林,程志君,郭波.基于風險的劣化系統最優檢測策略[J].系統工程理論與實踐,2009,29(9):108-114.

TAN Lin, CHENG Zhijun, GUO Bo. Optimal inspection policy for deteriorating system based on risk[J]. Systems Engineering-Theory & Practice,2009,29(9):108-114.

收稿日期:2016年1月6日,修回日期:2016年2月15日

作者簡介:翟亞利,女,博士研究生,講師,研究方向:裝備保障理論。張志華,男,教授,博士生導師,研究方向:裝備保障。宋祁,男,碩士研究生,研究方向:備件配置。

中圖分類號O141.4

DOI:10.3969/j.issn.1672-9722.2016.07.005

Reliability Distribution of Products with Parameters Digression Feature

ZHAI YaliZHANG ZhihuSONG Qi

(Naval University of Engineering, Wuhan430033)

AbstractFor the products with parameters digression feature, the reliability distribution is studied. The character and parameter estimation methods of the common distributions are analyzed, such as index distribution, normal distribution, logarithmic normal distribution, three-parameter Weibull distribution, and Gamma distribution. For the scope of the product reliability which obtained from the practice is different, the fitting analysis of reliability curve is studied for three kinds of situation. The simulation results demonstrate if the scope of parameters can be obtained before parameter estimation the normal distribution and logarithmic normal distribution are fitting better, otherwise the three-parameter Weibull distribution is fitting better.

Key Wordsparameters digression, reliability distribution, parameter estimation