基于最優控制的一類憶阻混沌系統的同步

常文亭，李玉霞，黃　霞，張琳琳

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院,山東 青島 266590)

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基于最優控制的一類憶阻混沌系統的同步

常文亭，李玉霞，黃霞，張琳琳

(山東科技大學 電氣與自動化工程學院,山東 青島 266590)

摘要：本文基于線性二次型問題的最優控制理論，研究了蔡氏憶阻混沌系統的同步問題，提出了一種實現蔡氏憶阻混沌系統同步的方案。并利用李雅普諾夫穩定性定理證明了兩個同構蔡氏憶阻混沌系統達到同步的充分條件。該方法能夠實現控制能量消耗和同步誤差的綜合最優。數值仿真結果驗證了文中所給方法的有效性。

關鍵詞：混沌同步；憶阻混沌系統；最優控制；漸近穩定

自Pecora和Carroll[1]提出具有劃時代意義的混沌同步以來，混沌同步在混沌保密通信、金融系統、生物醫學等領域[2-6]得到了廣泛的應用，許多新的混沌同步的方法相繼產生，如自適應方法、神經網絡方法、滑模控制方法等[7-10]。近年來，由于憶阻器具有非易失性、納米尺寸及低功耗性[11-12]等優良特性，使得憶阻混沌系統的同步控制方法成為一個新的熱點問題。文獻[13]提出了一類四階蔡氏憶阻混沌系統，并研究了其復雜的非線性行為。文獻[14]通過采用脈沖控制的方法實現了四階蔡氏憶阻混沌系統的同步，提高了憶阻混沌系統的工程應用潛力。然而，正如文獻[15]指出：對于一個實際的物理系統，控制器的能量總是有限的。在實現混沌同步的過程中，就必須要考慮系統的控制能量最終要能夠實現控制能量消耗及同步誤差的綜合最優[16]。因此，基于最優控制的混沌同步方法具有更高的應用價值。

本文對于蔡氏憶阻混沌系統的同步問題，考慮到控制能量的消耗，首先將性能指標確立為狀態變量和控制變量的二次型函數，接著對該線性二次型問題求出其最優解，即得到系統所需的最優控制率，最后將最優控制率耦合到憶阻混沌系統實現了混沌同步，對于同一系統而且在相同初始條件下，與文獻[14]脈沖同步相比，同步效果基本一致，但是本文同時實現了憶阻混沌系統的控制能量消耗和同步誤差的綜合最優。進一步的理論分析和數值仿真都證實了該方法的有效性。

圖1　四維蔡氏憶阻混沌系統

1蔡氏憶阻混沌系統

文獻[13]通過采用一個負電導-G與無源二端口光滑磁控憶阻器構成的有源憶阻電路代替蔡氏電路中的蔡氏二極管建立了一個四維自治蔡氏憶阻混沌系統(如圖1)。

圖1電路的動力學方程為：

(1)

式中，v1和 v2分別為電容 C1和 C2兩端的電壓，i3為流過電感 L 的電流，φ 是憶阻器的內部磁通，且w(φ)=m1+3m2φ2，m1、m2是大于零的實常數。

(2)

2蔡氏憶阻混沌系統的同步

2.1蔡氏憶阻混沌系統的最優控制率設計

假設驅動系統和響應系統，其狀態變量分別用 (x1,x2,x3,x4),(y1,y2,y3,y4)來表示。驅動系統的狀態方程用矩陣形式表示為：

(3)

參數 a，b，c，d，m1，m2均為大于零的實常數。類似地，響應系統為：

(4)

其中，控制向量u=-K(y-x)，K=R-1BTP，P>0。

圖2　系統(2)的混沌吸引子

定義同步誤差向量e=y-x，由系統(9)和(10)，獲得如下的同步誤差系統：

(5)

因此，系統(3)和(4)的同步問題，轉化為系統(5)的穩定性問題，只要保證系統(5)的平衡點是全局漸近穩定的，就可以實現系統(3)和(4)的同步。為衡量系統同步所消耗能量的大小，對系統 (5) 定義性能指標

(6)

其中 Q∈R4×4，R∈R4×4是正定對稱矩陣。下面給出主要結果。

證明：對系統(5)，取Lyapunov函數

V(e)=eTPe，

(7)

其中P是對稱正定矩陣。式(7)對時間t的導數為

將式(5)及Riccati方程代入上式中有

-eT(Q+PBR-1BTP)e+2eTP[F(y)-F(x)]=

-eT(PBR-1BTP)e+eT(-Q)e+2eTP[F(y)-F(x)]

令V1=-eT(PBR-1BTP)e，V2=eT(-Q)e+2eTP[F(y)-F(x)]，

系統(2)為耗散系統，所以其狀態軌跡是有界的，且由圖2和圖3可以明顯得觀察到。

8M4(3am2)2‖e‖2

2eTP[F(y)-F(x)]≤2‖eTP‖·‖F(y)-F(x)‖=

式中，λmax(P2)表示矩陣P的最大特征根。

由李雅普諾夫穩定性定理知，系統(5)是全局漸近穩定的，即系統(3)和(4)是全局漸進穩定的，

定理得證。

基于前面的討論，反饋增益矩陣K的算法總結如下：

(b) 選擇合適的矩陣Q和矩陣R，結合矩陣A和B，求解Riccati方程得到矩陣P。如果P>0，則

把求得的矩陣P代入計算反饋增益矩陣K。

(c) 把矩陣K代入到系統(4)中，即可實現兩個同步蔡氏憶阻混沌系統。

2.2仿真實驗

顯然 P>0。

進而算出增益矩陣

(8)

最優控制率為

(9)

性能指標最小值為

(10)

實現了憶阻混沌系統的控制能量消耗和同步誤差的綜合最優。

圖3　蔡氏憶阻混沌電路驅動系統和響應系統的狀態軌跡

圖4　兩個同構蔡氏憶阻混沌系統的同步誤差仿真結果

由圖3和圖4可以看出，當驅動系統和響應系統受到最優狀態調節器的控制后，在系統運行最初的幾秒內二者即實現了同步，并且同步效果明顯。

3結論

本文針對文獻[13]中提出的蔡氏憶阻混沌系統，利用線性二次型最優控制理論，研究了兩個同構憶阻混沌系統的同步問題。根據李雅普諾夫穩定性定理，得到了使兩個憶阻混沌系統同步的充分條件，并通過數值仿真驗證了系統的同步行為，證明了該方法的可行性。而且，該方法實現了憶阻混沌系統的控制能量消耗和同步誤差的綜合最優。該系統中同步方法在增強通信系統保密性方面有很高的實用價值。

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(責任編輯：傅游)

收稿日期：2016-01-11

基金項目：國家自然科學基金項目(61473177,61473178)；教育部博士點基金項目(20133718110011).

作者簡介：常文亭(1992—)，女，山東嘉祥人，碩士研究生，主要從事憶阻混沌電路的研究.E-mail：jnydcwt@163.com 李玉霞(1968—)，女，山東濱州人，教授，博士生導師，主要從事控制理論及機器人技術等方面的研究，本文通信作者.E-mail：yuxiali2004@126.com

中圖分類號：N941.7

文獻標志碼：A

文章編號：1672-3767(2016)04-0093-06

Synchronization of Chua’s-Circuit-Based Memristive Chaotic Systems Based on Optimal Control

CHANG Wenting,LI Yuxia,HUANG Xia,ZHANG Linlin

(College of Electrical Engineering and Automation,Shandong University of Science and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

Abstract:This paper studies the synchronization of two identical Chua’s-circuit-based memristive chaotic systems based on linear quadratic optimal control.A scheme is proposed to synchronize the two chaotic systems.The Lyapunov stability theorem was adopted to prove the sufficient conditions for the synchronization of the two systems.With this method,the optimization on both energy consumption and synchronization error could be realized synthetically.Finally,the simulation results testified the effectiveness of the proposed method.

Key words:Chaos synchronization;memristive chaotic systems;optimal control;asymptotically stable