圓錐曲線焦點弦問題的解法探討

馬翔羽

（寧夏吳忠市回民中學 寧夏吳忠 751100）

圓錐曲線焦點弦問題的解法探討

馬翔羽

（寧夏吳忠市回民中學 寧夏吳忠 751100）

在求解圓錐曲線的焦點弦問題中，可以結合橢圓的幾何定義，借助焦半徑公式和代數方法進行求解，從一般問題延伸到特殊問題，將橫向思考方法和縱向思考方法相結合，才能保證圓錐曲線焦點弦問題正確快速求決。

圓錐曲線；焦點弦；求解方法

在高中平面解析幾何中，圓錐曲線的問題一直都是重點和難點，其中圓錐曲線的焦點弦問題涉及頗多，通常出現在解答題中，分值較重，計算過程也比較復雜，往往令學生無所適從。為了使多種累心給的圓錐曲線問題迎刃而解，必須對典型的例題進行深入剖析，挖掘問題的本質并進行適當的轉化，不斷提高學生思考問題的能力[1～2]。

1 典型問題分析

1.1 提出問題

1.2 問題求解

（1）方法一

（2）方法二

圖1 解法二

（3）解法三

在這道題中，應用了三種常見的方法，在問題求解的過程中充分應用左焦點F和的信息，解法一的思考較為籠統，從代數方面入手，計算量較為龐大。在解法二中對圓錐曲線的定義進行聯想，從幾何角度進行入手分析，應用數形結合的方法，簡化了問題的求解。在解法三中應用更巧的方法，連線極坐標系下圓錐曲線的統一定義，借助斜率角θ的幾何意義進行求解，使問題得到簡化[3]。

2 焦點弦公式的推導應用

高中數學直線與圓錐曲線教學的過程中，一直都將求解焦點弦長度的問題作為重點。在求解這類問題的過程中，如果應用傳統的代數解法可能導致計算量龐大，字母運算也十分復雜，因此可以充分借助數形結合的方法[4]。

設圓錐曲線的離心率為e，焦點為F，弦AB經過F，斜率為k，且，求證

如圖2所示，F為圓錐曲線的焦點，l為圓錐曲線的準線，從A、B兩點向l作垂線，垂足分別為D、C。焦點弦AB的傾斜角為α，過點B作AD的垂線與AD或者DA的延長線于點E，則△AEB為Rt△。

圖2

3 結束語

圓錐曲線的學習過程中，需要把握幾何曲線的基本定義，再將代數和幾何的方法結合起來，找出求解焦點弦問題的規律，便于在類似問題中觸類旁通，在題解中找出變化，將多種問題聯系起來，提高解題效率。

[1]邱昌銀.圓錐曲線的準線切線焦點弦的相關性[J].數學通報，2013，26（11）：32.

[2]廖應春.圓錐曲線焦點弦的一個性質[J].數學通報，2003，15（4）：35.

[3]黃加流.圓錐曲線平行焦點弦性質探究[J].數學教學通訊，2013，59（33）：159.

[4]徐 琴.圓錐曲線中離心率e，焦點弦的比λ和弦所在直線的傾斜角α的關系及其應用[J].語數外學習（數學教育），2013，22（10）：691.

G633.6

A

1004-7344（2016）05-0036-02

2016-2-2

馬翔羽（1980－），女，中教二級，本科，主要從事高中數學教學工作。