關于半線性方程div(|Du|p-2Du)=f(|x|,u)的有界正整解

許興業

(廣東外語外貿大學 南國商學院公共課教學部, 廣東 廣州 510545)

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關于半線性方程div(|Du|p-2Du)=f(|x|,u)的有界正整解

許興業

(廣東外語外貿大學 南國商學院公共課教學部, 廣東 廣州 510545)

摘要:研究形如div(|Du|p-2Du)=f(|x|,u)的半線性橢圓型方程的有界正整解問題，建立了2個有界正整解的存在性定理.

關鍵詞:半線性橢圓型方程；有界正整解；相對緊；連續映照；不動點定理

0引言

本文運用Schauder-Tychonoff不動點定理研究一類形如

div(|Du|p-2Du)=f(|x|,u)

(1)

1主要結果

定理1設f(r,u)滿足：

(Ⅰ)f(r,u)關于u∈R+是不減函數；

(2)

(Ⅲ)存在常數c>0使

(3)

則方程(1)存在無窮多個有界正整解u(x).其中

證明令u(x)=y(|x|)，則方程(1)可歸結為常微分方程的初值問題：

(4)

其中φp(y)=|y|p-2y,η為待定常數.從而初值問題(4)的解等價于如下積分方程的解.

(5)

從而轉到討論積分方程(5)的可解性.由(Ⅱ)知

k(s)f1/(p-1)(s,2λ)·λ-1≤k(s)f1/(p-1)(s,(2c)·c-1,λ≤c.

其中c是(Ⅲ)中出現的常數，且對每一s∈(0,),當λ→0+時有

k(s)f1/(p-1)(s,2λ)·λ-1→0.

由(Ⅲ)知

于是由Lebesgue控制收斂定理得

(6)

由(6)知可以選擇充分小的常數η>0使得

(7)

記C1[0,∞)是定義在[0,∞)上的所有連續可微函數作成的空間，依通常的方法引入C1[0,∞)的拓撲，作集合

G={y∈C1[0,)|η≤y(r)≤2η,0≤y′(r)≤(η/2)1/(p-1),r≥0}，

則G是C1[0,)的閉凸子集.定義映射Φ:G→C1[0,)如下：

(8)

在這里補充定義：

下面分三個命題證明映射Φ滿足Schauder-Tychonoff不動點定理的條件.

命題1Φ:G→G.

對?y∈G，由(7)、(8)得

(9)

進一步由(8)知當r>0時

(10)

注意到(10)式

0≤(Φy)′(r)≤(η/2)1/(p-1),r≥0.

(11)

所以ΦG?G.

命題2Φ是連續映射.

設yi∈G(i=1,2,…)且依C1[0,)的拓撲yi收斂于y.對?r∈[0,)由(8)、(10)式得

命題3ΦG是相對緊的.

先證{Φy(r)|y∈G}與{(Φy)′(r)|y∈G}在[0,)的任一緊子區域[0,M]一致有界且等度連續.事實上，對?[0,M]?[0,),{Φy(r)|y∈G}與{(Φy)′(r)|y∈G}在[0,M]上的一致有界性以及{Φy(r)|y∈G}在[0,M]上的等度連續性從(9)和(11)即可以看出.于是需證明{(Φy)′(r)|y∈G}在[0,M]上的等度連續性.由(10)式當r>0時有

注意到f(r,u)≥0,有φp(y′)=|y′|p-2·y′=(y′)p-1，從而

(12)

(13)

由(12)式得

于是(13)式對任意r≥0成立.從而在[0,M]上對(φp((Φy)′(r)))′有估計式:

從而在[0,M]上有估計式|φp(Φy) ′(r1)-φp(Φy) ′(r2)|≤LM|r1-r2|,r1,r2∈[0,M]，即

|((Φy) ′)p-1(r1)-((Φy)′)p-1(r2)|≤LM|r1-r2|,r1,r2∈[0,M]，故有

這就證明了{(Φy) ′(r)|y∈G}在[0,M]上是等度連續的.故對[0,∞)的任一緊子區間[0,M]，依C1[0,∞)的拓撲能用Ascoli-Arzela定理[7].

要證明ΦG在G中是相對緊的，即要證ΦG中任一序列{(Φyi)(r)}必包含一個子序列，該子序列依C1[0,∞)的拓撲收斂于中G的一個元素，我們只要對區間列[0,M1]?[0,M2]?…?[0,Mj]?…,(其中Mj→,當j→時)逐次利用Ascoli-Arzela定理，并采用“取對角線子列”手續即可完成.

上面3個命題證明了Schauder-Tychonoff不動點定理[8]的條件全部滿足，所以Φ存在不動點y∈G，即y就是方程(8)的解，且依G的定義知y滿足η≤y≤2η，從而也就證明了方程(1)存在有界正整解u(x)=y(|x|),x∈Rn.

選擇ηk,(k=1,2,3,…)滿足(7)式，且使諸區間[ck,dk]互不相交，其中ck=ηk,dk=2ηk，則對每一k，由上面的證明知方程(1)存在有界正整解uk(x),k=1,2,3,…且ck≤uk(x)≤dk，所以方程(1)存在無窮多個有界正整解.

定理1′設除了f(r,u)滿足定理1中的假設(Ⅰ)、(Ⅲ)外，還滿足

(2)′

則方程(1)存在無窮多個有界正整解u(x).

定理2設f(r,u)滿足：(Ⅰ)f(r,u)關于u∈R+=[0,)是不增函數；

(14)

(14)′

(Ⅲ)存在常數c>0使

(15)

則分別在假設(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)或(Ⅰ)、(Ⅱ)′、(Ⅲ)下方程(1)存在無窮多個有界正整解u(x).其中

證明同定理1完全類似，略.

3例子

例1考察方程

div(|Du|p-2Du)=a(|x|)uα,x∈Rn,n≥2,α>0，p>1.

(16)

(17)

參考文獻：

[1]KUSANOT,SWANSONCA.Positiveentiresolutionsofsemilinearbiharmonicequations[J].HiroshimaMath,1987,17(1):13-28.

[2]KAWANON,KUSANOT,NAITOM.OntheellipticequationsΔu=Φ(x)uγinR2[J]. Proc Amer Math Soc,1985, 93:73-78.

[3] 葉常青.一類奇異非線性雙調和方程正整解[J].數學物理學報，2001,21A(1):138-144.

[4] XINGYE X， BICHENG Y,DEBNATH L. Positive entire solutions of nonlinear polyharmonic equations in R2[J].Applied Mathematics and Computation,2002,126:377-388.

[5] 許興業.一類擬線性橢圓型方程正的徑向對稱整體解的存在性[J].廣東第二師范學院學報,2015，35(5):48-51.

[6] 許興業.一類奇異擬線性橢圓型方程的正整解.韶關學院學報(自然科學)，2015,36(12):1-4.

[7] ADMAS R A. Sobolev spaces[M]. Boston：Acamdemic Press,1975.

[8] EDWARDS R E. Functional analysis[M]. New York: Rinchart and Winston,1995.

收稿日期：2016-03-22

基金項目：廣東外語外貿大學南國商學院校級重點科研課題資助項目(16-005A)

作者簡介：許興業，男，廣東普寧人，廣東外語外貿大學南國商學院公共課教學部教授.

中圖分類號：O 175.25

文獻標識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0039-05

The Bounded Positive Entire Solutions to the Semilinear Equations Such as div(|Du|p-2Du)=f(|x|,u)

XU Xing-ye

(Department of Public Course Teaching, South China Business College, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou, Guangdong, 510545, P.R.China)

Abstract:This paper aims to study the problem of bounded positive entire solutions to semilinear equations such as div(|Du|p-2Du)=f(|x|,u), and has established two existence theorems of bounded positive entire solutions.

Key words:semilinear elliptic equations; bounded positive entire solutions；relative compactness; continuous mapping; fixed point theorem