基于創新型人才培養的大學數學課程改革研究
——以高等數學實驗教學為例

辛冬梅， 閆志來

(1.廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303；2.廣州中醫藥大學 經濟管理學院， 廣東 廣州 510000)

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基于創新型人才培養的大學數學課程改革研究
——以高等數學實驗教學為例

辛冬梅1， 閆志來2

(1.廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303；2.廣州中醫藥大學 經濟管理學院， 廣東 廣州 510000)

摘要:創新是引領發展的第一動力.在高等數學教學中引入數學實驗，發揮基礎實驗和探索、應用及綜合建模實驗的作用，對大學數學課程進行改革，可培養創新型人才.高等數學教學中開展數學實驗的措施：要保持高等數學知識體系結構，做好課程設置及管理，改進教學內容、方法，制作調查分析對比表，制定科學的考核方式，達到創新知識、培養學生的綜合素質和創新能力、培養創新型人才的目的.

關鍵詞:創新型人才；高等數學；數學實驗；課程改革

0引言

“創新是引領發展的第一動力”.2015年兩會期間，習近平總書記在參加上海代表團審議時提出了這一重大論斷[1].黨的十八大以來，創新驅動發展戰略在神州大地落地生根，引領中國經濟不斷向前.十八屆五中全會提出的“創新、協調、綠色、開放、共享”的五大發展理念.創新發展居于首要位置，是引領發展的第一動力.李克強總理在2015年《政府工作報告》中提出“大眾創業、萬眾創新”，激發了人們的創業、創新熱情.今年將“四眾”(眾創、眾包、眾扶、眾籌)寫入《政府工作報告》，顯示了政府對創業創新支撐平臺建設的高度重視.在今年的《政府工作報告》中，“創新”一詞被提到了59次，幾乎等于前兩年報告中被提到次數之和.

錢學森教授在1989年就指出了計算機對數學教學的深刻影響，提出了理工大學的數學課要改造一番，要實現計算機與課程教學的緊密結合，提倡計算機的模擬與實驗.中國科學院王元院士也強調：計算機和數學軟件的使用對培養工科學生的數學學習能力十分重要[2].許多科學家和數學家都強調把計算機和數學軟件作為教學手段和工具，融入到大學數學教學， 突出學生的主動參與性，提高學生的探索能力、實踐能力、團隊協作能力及綜合素質是培養創新型人才的重要途徑.1985年，美國在大學生中舉行首屆數學建模競賽，隨后越來越多國家開展這類競賽.我國從1989年起也組織隊伍參加美國大學生數學建模競賽[2].中國數學建模競賽于1992年開始舉辦[2]，1994年由國家教委高教司和中國工業與應用數學學會聯合主辦，得到中國數學會、各地數學會和高校的支持，為培養學生的創新能力開辟了途徑，對高校數學教育改革產生了良好的影響.

1創新型人才所具有的素質

創新型人才富于開拓性，具有創造能力，能開創新局面，對社會發展做出創造性貢獻的人才.通常表現出靈活、開放、好奇的個性，具有精力充沛、堅持不懈、注意力集中、想象力豐富以及富于冒險精神等特征.具體有以下幾個特征[3]：有很強的好奇心和求知欲望；有很強的自我學習與探索的能力；在某一領域或某一方面擁有廣博而扎實的知識，有較高的專業水平；具有良好的道德修養，能夠與他人合作或共處；具有觀察、實驗、類比、歸納、演繹、抽象與概括等重要的數學素質，具有較強的理解與領悟能力、邏輯分析與推理能力、靈活應變與創造能力；鍥而不舍、堅韌不拔的意志和毅力.

2傳統高等數學教學存在的問題

2.1偏理論推導和演算，少思想方法和應用

傳統高等數學教學多采用“從概念到定理，再到證明、例題、習題”的嚴謹、條理的注入式教學模式，教師花費大量的時間用于定理的推導和例題的演算等定性知識的展現，缺乏思想方法、事物規律的揭示，忽視了很多數學概念和知識是來源于生活實踐和現實世界的.事實上，在教材中有許多經典模型被用于概念的提出，例如高數上冊中，引入經典變速直線運動的瞬時速度模型，給出導數概念；引入變速直線運動的路程模型，給出定積分概念.讓學生感覺到數學是有活水源頭的，是我們熟悉的自然生活，那些看似枯燥無味的概念、定理和公式并非無木之本、無水之源，也不是憑空想象出來的，而是有其現實背景和來源的，與我們的生活密切相關，是從社會生活實踐中抽象出來，用于解決更多實際問題的.學生沿著數學知識的形成過程，自然體悟數學知識的合理性.但在教學中，經典模型往往成為概念、定理引入的敲門磚，用后就被棄之不理，轉向重復枯燥的套公式演算模式，沒有后續的將所學數學知識進一步在實際模型中升華.

2.2數學建模所起作用有限

目前，數學建模大賽極大地推動了數學建模在高校廣泛開展，調動了學生“學數學，用數學”的熱情，通過數學競賽，使學生將課堂知識進一步升華提高，看到了所學知識的不足和局限，從而產生強烈的主動求知欲，增強了學習興趣，提高了“學數學，用數學”的創新意識.但從各高校開展數學建模的現狀來看，數學建模競賽僅限于部分優秀學生參加，絕大多數學生并未參與，而且參加的學生也僅限于競賽時間段內接觸數學建模，很多同學不知如何入手.雖然有的學校把數學建模和數學實驗作為選修課，但受到指導建模的老師少、條件有限等限制，數學建模對培養學生應用數學能力的作用非常有限.如果不把數學建模、數學實驗思想融入到數學課中，數學建模、數學實驗也無法充分發揮培養創新人才的作用.

2.3教師知識更新、整合不夠

數學實驗融入數學教學中要求將計算機技術、數學軟件穿插于教學過程中，并結合當前出現的最新的社會環境、經濟、醫療、生物、物理、化學、天文、軍事等實際問題，根據所學數學知識分析問題，建立數學模型，利用所學計算機和數學軟件知識進行編程、計算、繪圖,最終解決問題，得出結論并揭示問題的本質，給出建設性建議，進一步預測、猜想新的成果，從而提高學生分析問題、解決問題、提出問題的能力及創新能力.這對教師運用綜合知識能力有一個更高的要求，特別是對于基礎課單一知識結構的教學教師而言，要掌握計算機技術和至少一門數學軟件，是對教師的一個挑戰.要把數學實驗、數學建模思想融入到教學中，就需要教師不僅具有較強的數學專業知識，更要具備豐富的綜合知識應用和解決實際問題的能力，迫使教師了解、掌握更多的綜合知識，并和各學科教師整合知識，及時了解更新前沿知識、提高業務能力和科研能力.

3數學實驗引入高等數學在培養創新型人才所起的作用

數學實驗是以實際問題為載體，把數學知識、數學建模、數學軟件和計算機有機結合起來，強調學生的主體地位，在教師引導下查閱文獻資料，用所學的數學知識和計算機技術，借助適當的數學軟件，如常用的Mathematical、MATLAB來分析解決一些實際問題，并撰寫實驗報告或論文，使學生得到全面鍛煉，從而增強學生學習數學的興趣，培養學生的主動探索精神、綜合應用能力和創新意識.

3.1發揮基礎實驗作用

基礎實驗[4]主要以數學軟件命令的學習和應用為主，注重基本數學運算和驗算的實驗，包括函數極限、導數微分以及積分、級數運算和驗算等基礎實驗，還有函數平面、立體作圖實驗、函數逼近實驗、方程求解實驗等內容.通過基礎性實驗教學，學生掌握基本的數學軟件函數命令的使用和簡單編程技術，用計算機技術和數學軟件來觀察、了解數學概念、定理知識的來龍去脈以及知識間的相互聯系，體驗、發現、總結和應用數學的規律，為后續的探索、應用、綜合實驗做準備.

例如求和級數這部分實驗，基礎實驗目的：掌握Mathematical數學軟件中求有限和及數項級數和的命令；驗證級數斂散性.

例1(計算問題)印度年輕的傳奇數學家拉馬努金提出了一個級數描述圓周率p的公式

試用這個公式計算圓周率p的近似值，要求結果精確到小數點29位[5].

[程序]：P1[n_]∶=2Sqrt[2]/9801*Sum[(4k)!

*(26390k+1103)/396^(4k)/(k!)^4,{k,0,n}]

//將以上表達式右端的導數定義為P1[n]函數，其中n為求和的項數.

s=N[1/P1[2],29]; //N[]函數保留小數點29位

Print["s=",s] //輸出s的數值

s=3.1415926535897932384626490657

Print["err=",N[p-s,29]] //輸出精確p值和本表達式計算的p值之間的誤差

err= -5.6824*10-24

利用數學軟件Mahtematical或Matlab中計算級數和的函數Sum[]和平方根函數Sqrt[] 得出這個公式計算p值的準確率非常高，并增減參數n的值來給出不同的誤差值下的p值這個例題是典型的應用數學軟件命令來進行復雜計算的基礎實驗.

圖1　調和級數散點圖

s[n_]∶=NSum[1/k,{k,1,n}]

t=ListPlot[Table[{k,s[k]},{k,1,100}]，PlotSyle→PointSize[0.01]]

通過離散點圖1觀察驗證得出調和級數是發散的.

3.2發揮探索、應用實驗以及綜合建模實驗的作用

探索實驗是以算法構造和計算機編程為目的，注重利用所學知識、具有探索實驗特點的實驗；應用實驗是注重解決實際問題的實驗，綜合建模實驗是數學實驗的核心部分，是在基礎實驗的基礎上培養學生的主動性、探索性、應用性、合作性、創新性.要求學生具備扎實的數學基礎知識和計算機編程技術以及熟練的數學軟件操作.在前半學期，主要以基礎實驗、探索實驗、應用實驗為主；后半學期，在前期實驗的基礎上逐漸過渡到綜合實驗，學生以3-5個人為一組，利用課內外時間圍繞所給設計題目，有目的的查閱、學習相關知識和文獻資料，通過團隊的合作實驗、討論等形式，用實驗方法分析問題、建立數學模型、求解模型、結果分析，進一步歸納、猜想新結果.在教師的指導下，撰寫實驗報告，最后通過答辯完成課題的設計過程.這種新模式，使得學生在實驗中學習、探索、發現數學規律及應用，既鞏固了對理論知識的理解，又培養了學習的主動性、創新性、團隊合作精神，增強了學生獨立思考，利用所學數學思想方法解決實際問題的能力，達到培養創新型人才的教學目的.

從例2的散點圖上發現它與自然對數lnx非常接近，將自然對數lnx與散點圖畫在一起比較.

[程序]: p=Plot[Log[x],{x,1,100}]Show[t,p]N[s[100]-Log[100]] 0.582207N[s[1000]-Log[1000]] 0.577716N[s[10000]-Log[10000]] 0.577266

圖2　調和級數與ln x　　　　比較圖

圖3　調和級數與ln x　　　　之差圖

通過對比發現，如圖2,雖然兩個圖形沒有重合，但具有隨自變量增加越來越接近一個常數的特征.是否相差一個常數？我們選擇n=1 000時的常數0.577 266來驗證,我們將0.577 266+lnx圖形和前n項調和級數的散點圖放在一起比較.

q=Plot[Log[x]+0.577266,{x,1,100}]

Show[t,q]

圖3中顯示兩個函數幾乎重合，這個顯示結果提示我們，極限

例4(應用實驗)一艘游船載有1 000人，一名游客患了某種傳染病，10h后有2人被傳染發病.由于這種傳染病沒有早期癥狀，故傳染患者不能被及時隔離.假設直升飛機將在50～60h將疫苗運到，試估算疫苗運到時患此傳染病的人數[5].

[程序]:DSolve[y'[t]=k*y[t]*(1000-y[t]),y[t],t]y[t]=10001+999e-0.0694149tPlot[y[t],{t,0,200}]y[50]31.1888y[60]60.548

圖4傳染病模型

由以上數據發現在t=50h：患此傳染病的人數約為32人；在t=60h：患此傳染病的人數約為61人.從這些數據可以看到，從50h到60h之間，被傳染的人數幾乎翻倍，因此在傳染病流行期間應該及時采取措施是很重要的.如果不采取措施，從圖形可以看到，當t在50～150h之間傳染最快，且當t趨于無窮大時，y(t)趨于1 000人，即導致全游艇人數都被傳染.

在高等數學課程中開設數學實驗教學的研究將會為廣大數學教育工作者提供新的視角，數學實驗教學是學生應用數學解決實際問題的最佳途徑；是培養創新型、應用型和復合型人才的最佳載體.隨著教育教學改革的深入發展，相信這門創新性的課程一定會在培養和造就各類專門人才中發揮更大的作用.數學實驗引入高數教學其目的不僅僅使學生掌握必要的數學知識，更重要的是把學生從枯燥復雜的題目計算當中解放出來，把更多的精力投入到更多的思想方法和探索發現新知識當中去，從而提高學生應用數學的意識和創新能力，以適應新時期高素質人才的需要.

4高等數學教學中開展數學實驗的措施

4.1保持高等數學知識體系結構完整性

在教學內容安排上，保持高等數學原有基礎知識內容與結構體系完整性，將數學實驗、數學建模思想融入高數教學，但不能喧賓奪主，在每章節根據內容增加數學實驗內容，在相關內容學習時介紹Mathematica的符號運算功能、圖像功能；每章安排不少于2課時上機實驗，引導學生利用課余時間繼續實驗驗證、探索并寫出實驗報告.

4.2做好課程設置及管理

在傳統的強調邏輯性、嚴謹性的教學模式下，使得大部分學生認為“高數有用，但不知如何用”，大大降低了大學生感受和應用數學的能力，大學生的創新能力得不到培養.因此，需要增強課程的合理性，提高學生對高數的興趣，看到高數的應用性，數學實驗和數學建模融入高數教學中，在一定程度彌補傳統教學中數學應用意識的不足.

隨著改革的提出，多數高校也引入了數學實驗，但實際操作過程中，數學實驗和高數是分家的兩個課程，出現一方面數學實驗教師只管數學實驗的軟件操作部分，不管高數知識，甚至不了解高數知識；另一方面，高數教師只管高數理論知識的講解，不懂將理論和實踐結合運用.造成這種現狀的原因，一方面是改革只是生搬硬套，沒有站在實用的角度，教師沒有積極改變以前的教學模式和及時更新、學習新知識的積極性.另一方面，教學大綱、課時安排等管理中缺乏正確的政策來支持，教師無法大膽嘗試創新.因此課程設置及管理是關鍵.

4.3改進教學內容、方法

在教學過程將如何將數學實驗引入課堂教學內容來培養學生的自主性、獨立性、合作性和創新性，讓學生的才智得到充分發揮，從而提高綜合素質.需要教師改變傳統模式，重新考慮制定教學計劃、教學大綱、編寫教案；組織課堂討論、搜集編寫綜合實驗案例、引導學生搜集查閱文獻、指導建立數學模型方法步驟、指導實驗與課題設計、批閱實驗報告.其中合理的教學建模案例是重難點，教學案例要新穎、要體現數學建模的基本思想方法，又不能遠離學生讓學生失去興趣，還要分類出不同應用背景的案例，因此也希望有關教育部門及學校提供基金項目支持，鼓勵和加強數學建模與數學實驗案例庫和問題庫的建設，確保數學實驗、建模思想有成效的引入高數課堂教學.

4.4制作調查分析對比表

調查引入數學實驗的試點班級和沒引入數學實驗的班級，制作調查對比表，從數學實驗對高數學習的幫助情況；學習興趣；提高計算機運用能力；解決實際問題能力；培養創新探究能力；課程比例合理性；考核方式科學性等主要方面調查對比，研究數學實驗引入高數教學的成效并及時調整教學方式.

4.5制定科學的考核方式

數學實驗的考核應重視實踐的全過程，著重考核學生的創新思維能力和數學素養在實踐過程中的體現.根據學生實驗前的準備情況、實驗過程的操作情況、實驗報告的完成情況進行全面考核.學生成績=高數知識成績×30%+基礎實驗成績×20%+綜合實驗建模成績× 30%+建模論文× 20%.高數卷面考試成績，采用傳統考試模式，重點考察基本概念、定理性質、數學思想方法的理解；基礎實驗成績和探索應用實驗成績，試題前半部分給出高數知識的計算題目，讓學生獨立上機利用所學數學軟件完成計算，試題后半部分給出探索應用題目，學生獨立上機完成探索、簡單建模問題，并寫出簡單的上機實驗報告；綜合實驗問題，給出生活實際問題，將學生3～5人成立若干建模小組，模擬數學建模比賽模式，學生分共完成搜集文獻，建立模型，上機編程得出結論、完成建模論文.

培養創造性人才是教育的目標和努力方向，高等數學的理論和方法對培養學生的創新素質和后續課程的學習都有重要的作用.數學實驗是用數學來解決實際問題的橋梁，因此作為數學教育工作者要重視將數學實驗、數學建模思想和方法融入到數學教學中，使我們的數學教學對培養創新型人才起到重要作用.

參考文獻：

[1] 劉志強,姚雪青.創新點燃中國經濟新引擎[N].人民日報,2016-03-03

[2] 李嵐. 高等數學教學改革研究進展[J].大學數學，2007,23(4):20-26.

[3] 王麗靜,樊永艷,張 靜.基于創新人才培養的大學數學課程體系改革[J] .滄州師范學院,2015,31(1)：16-119.

[4] 高潔,周瑋. 在高等數學課程中開展數學實驗教學的探索與研究[J].數學教育學報,2015,24(3):86-90.

[5] 王兵團,劉曉.數學實驗基礎[M].北京：清華大學出版社，北京交通大學出版社,2006:46-65.

收稿日期：2016-04-25

基金項目:國家自然科學基金資助項目(61370186)；2013年廣東省高等院校學科建設專項資金項目(2013KJCX0140)

作者簡介：辛冬梅，女，山東肥城人，廣東第二師范學院數學系講師.

中圖分類號：G 642.0

文獻標識碼：A

文章編號：2095-3798(2016)03-0096-06

A Research on the Reform of College MathematicsCurriculumBasedontheCultivationofInnovativeTalents——TakingtheExperimentTeachingofHigherMathematicsasanExample

XINDong-mei1，YANZhi-lai2

(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou,Guangdong, 510303,P.R.China;2.SchoolofEconomicsandManagement,GuangzhouUniversityofChineseMedicine,Guangzhou,Guangdong, 510000,P.R.China)

Abstract:Innovation is to lead the development of the first power. In the teaching of Higher Mathematics，introducing mathematics experiments, playing the role of basic experiment and exploration, the application and comprehensive modeling of the experimental, the reform of college mathematics courses, can cultivate innovative talents. Measures should be taken to develop the mathematical experiment in the teaching of Higher Mathematics: to maintain higher mathematics knowledge system, to complete the curriculum setting and management, to improve the teaching content, methods, survey analysis comparison table, to formulate scientific way of evaluation, to achieve knowledge innovation, to cultivate students′ comprehensive quality, innovation ability and innovative talents.

Key words:innovation talent; higher mathematics; mathematics experiment; curriculum reform