Triangle軟件在自適應剖分中的應用

張衍林，梅　鋼，徐能雄

(中國地質大學(北京) 工程技術學院, 北京　100083)

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Triangle軟件在自適應剖分中的應用

張衍林，梅鋼，徐能雄

(中國地質大學(北京) 工程技術學院, 北京100083)

摘要：大型商業CAE/CAM軟件價格昂貴、操作復雜，且在生成大規模三角網格時速度較慢。Triangle軟件是一個開源、功能強大、操作簡單的二維三角網格生成器。該軟件能根據邊界的復雜程度，極其高效地生成高質量的、自適應的三角網格，但是該軟件在國內應用較少。闡述了利用該軟件進行網格自適應剖分的步驟，并通過工程實例對采用不同剖分方法得到的網格進行質量對比和數值計算。結果表明：Triangle軟件操作簡單、實用性強；采用由加密區向非加密區過渡的自適應剖分方法，產生的單元質量較好，且計算效率和精度可以達到實際工程中數值計算的需要，值得在數值模擬領域推廣應用。

關鍵詞：Triangle軟件； 自適應網格； 三角剖分； 數值計算； 效率

隨著計算機技術的普及和發展，為了更準確、真實地反映研究對象，人們對數值分析的復雜程度、效率和精度方面有了更高的要求[1]。據統計，在數值分析的3個階段中：前處理約占總時間的40%～60%；數值求解約占5%～20%；計算結果后處理約占30%[2]。如果對復雜的分析區域進行人工布點、離散，工作繁雜，且容易出錯。此外，在數值計算中，需要根據應力、應變的大小設置網格加密區和非加密區，為實現網格的平穩過渡，也需要使用網格自動加密的自適應剖分方法，準確地表現出分析對象的幾何特征。

Delaunay三角網具有空外接圓性質和最大的最小角性質，是“最接近于規則化”的三角網[3]。目前很多學者對Delaunay剖分進行了優化，如將凸包法、逐點插入法、角度判別對角線法相結合[4]，對平面點集使用并行二維凸殼算法[5]，將無約束的Delaunay三角剖分與帶斷層約束的Delaunay三角剖分結合使用[6]，對各種平面、空間點云數據采用局部連接Delaunay邊、Delaunay 面的方法[7]，實現了高效率、高精度的Delaunay三角剖分。據此很多學者以Delaunay三角剖分為基礎，編制出網格剖分軟件，如北京大學研制的 AUTOMESH 軟件，可保證網格剖分的收斂，且剖分結果最優[8]。EasyMesh[9]是簡單易用的二維三角形網格產生器，能對折線圍成的多空洞、多介質區域進行局部加密的三角形剖分。Gmsh[10]和TetGen[11]能快速生成三維的高質量網格，在國外的應用較廣。

Triangle軟件能進行Delaunay三角剖分和限定Delaunay三角剖分，具有高效率自適應剖分的強大優勢，但是在現階段介紹該軟件的文獻較少。因此，本文介紹了Triangle軟件的功能及使用步驟。實例驗證結果表明：使用該軟件進行自適應剖分產生的網格質量較高，計算速度和計算精度滿足數值模擬的需要，對于提高數值分析前處理階段的工作效率和促進該軟件在網格自適應剖分中的應用具有重要意義。

1　Triangle軟件介紹

Triangle軟件是由加州大學伯克利分校Jonathan Richard Shewchuk教授編制的、以C語言為基礎的、在Linux操作系統下運行的平面三角剖分軟件，特別適用于以二維模型為基礎的數值模擬計算。與大型商業CAE/CAM軟件相比有如下優勢：

1.1軟件規格小，操作簡單

Triangle軟件大小不足1M，無需安裝，只需將代碼文件置于Linux操作系統下，通過gcc編譯器編譯運行即可。操作命令是由研究區域的數據文件名和控制不同剖分方法的開關組合構成的，通過輸入一行命令即可實現剖分。

現有的大型商業CAE/CAM軟件集建模與計算功能于一體，規格動輒1G，安裝步驟復雜，且不易成功；由于版權限制，使用這些軟件時需要付費購買；當使用此類軟件建模時，大多數需要通過手工繪制模型，對于邊界復雜區域只能簡化模型，影響數值計算精度。

1.2軟件功能強大，剖分速度極快，剖分單元質量好

Triangle軟件能對點集和平面區域進行剖分和二次剖分，生成高質量網格。該軟件能接受用戶自定義的約束條件，如角度和三角形面積，可對“洞”和“凹、凸”等實現網格剖分[12]。該軟件剖分時占用內存小，剖分時間以毫秒計算，可以根據邊界形狀添加節點和加密網格，實現單元的自適應剖分和由加密區到非加密區的平穩過渡。

現有的大型商業CAE/CAM軟件可以對體和殼進行剖分。但是當對復雜邊界進行自適應剖分和網格由加密區到非加密過渡時，需要在邊界處重新布點，操作步驟較為復雜，剖分時占用內存較高，剖分速度相對較慢。

2　Triangle軟件的應用

Triangle軟件的使用流程分為輸入模型數據文件、剖分、輸出數據文件3步。其中輸入文件就是通過提取出構成模型所有線段的起點坐標和終點坐標，制作出Triangle軟件可以識別的環文件；剖分就是選擇代表不同剖分方法的開關，通過限制三角形單元的角度或面積實現網格的生成；輸出的數據文件為網格的節點文件和單元文件。

2.1輸入數據文件

Triangle軟件進行網格剖分所針對的模型是由若干閉合環組成的。圖1中共有2個閉合環，環上有12個節點，環內部有1個指示點。指示點是表征孔洞位置的點，即包含指示點的最小環為孔洞。將圖1中所有點和線段的信息進行整理生成環文件，作為Triangle軟件的輸入文件。

圖1　原始模型

將圖1中所有點和線段的信息整理生成名為example1.poly的環文件，具體內容如下：

# 以“#”開頭的行是注釋行

# 線段總數 邊界符號

# 孔洞數目

1

# 孔洞ID 指示點x坐標 指示點y坐標

1 65 68

2.2剖分

Triangle軟件是在Linux系統下運行的，因此需要將Triangle軟件的源代碼放在名為Code的文件夾下，并將該文件夾放在系統主目錄Home文件夾下。通過在終端輸入cd Code命令索引源代碼，并分別輸入“gcc triangle.c-lmo triangle”和“./triangle”命令來編譯、運行軟件，顯示軟件的功能開關，如圖2所示。該軟件主要是借助不同開關的相互組合實現不同的剖分效果。

對圖1所示的模型，通過在終端輸入“./triangle-pqa43.3 example1.poly”命令進行網格剖分，結果如圖3所示。

圖2　Triangle軟件運行界面

圖3　Triangle軟件剖分完畢界面

2.3輸出數據文件

如圖3所示，剖分完成之后產生新的節點文件、單元文件、環文件，并提示網格由53個節點和72個三角形單元組成。將點文件和單元文件進行整合，輸入到第三方數值分析軟件中生成網格，如圖4所示。

圖4　生成的網格

3　應用實例

3.1工程概況

某礦山地上部分的礦產已基本開采完畢，即將轉入井下開采。取該區域某一地質剖面作為地質模型的初始資料。如圖5所示，地表有約20 m厚的第四系覆蓋層，南坡主要為混合巖，北坡主要為千枚巖，中間區域為鐵礦石。

圖5　礦山開采地質剖面

隨著開采深度的增加，將會在礦井兩側形成高邊坡，為保證生命財產安全和礦產的順利開采，需要對邊坡的變形情況進行研究。巖體的物理力學參數如表1所示。

表1　巖體物理力學參數

3.2網格剖分

網格大小主要根據數值計算需要的精度來確定。隨著礦產開采深度的增加，邊坡潛在滑動面與臨空面之間的的巖體應力和應變較為顯著。為提高數值計算精度，需要對該區域的單元進行加密。根據其他區域是否進行加密或者加密區與非加密區之間過渡方式的不同，主要有以下3種剖分方法:

1) 模型整體加密剖分

此次研究中,使用腹腔鏡檢查,有47例子宮漿膜下肌瘤,10例盆腔粘連,18例輸卵管堵塞,17例卵巢囊腫,14例子宮穿孔和腫塊。有46例輕度疼痛,49例中度疼痛,11例有迷走神經刺激癥狀。患者平均手術花費24.5 min,平均出血31.5 m L。對患者患者了半年的隨訪,有2例失聯,共有40例子宮漿膜下肌瘤患者月經正常,7例改善。10例盆腔粘連患者接受分離手術后,子宮形態恢復,內膜生長良好。有17例卵巢囊腫患者癥狀改善。有12例輸卵管堵塞的患者均成功妊娠,有3例疏通。

將圖5中的模型整理生成名為example2.poly的環文件，通過在在Linux系統終端輸入“./triangle -pqa7 example2.poly”命令，將圖5中的全部區域剖分成單元面積不超過7 m2的網格，如圖6所示。將網格名稱命名為a，該網格共有節點196 513個、三角形單元391 354個。

圖6　整體加密剖分網格圖

2) 網格由加密區向非加密區自由過渡

為減少單元數量，對于應力、應變不顯著區域不進行單元加密，即為非加密區。根據經驗估算，當開采礦層至最后一層時為最危險滑動面的位置。在圖5中添加輔助線，即圖7中的粗虛線，該虛線將剖分區域分為加密區和非加密區。對于非加密區，不限制單元大小，在拓撲關系一致的前提下，Triangle軟件自由添加節點，實現自適應剖分。

將圖7中的模型整理生成名為example3.poly的環文件，在Linux系統終端輸入“./triangle-pqa example3.poly”命令，將圖7中的粗虛線以內的區域剖分成單元面積不超過7 m2的網格，其他區域的網格根據拓撲關系一致的原則自由過渡，最后生成的網格如圖8所示。將網格名稱命名為b，該網格共有節點34 668個、三角形單元68 930個。

圖7　自由過渡模型

圖8　自由過渡網格

3) 網格由加密區向非加密區穩定過渡

圖8中從加密區到非加密區單元大小變化太大。為實現單元的穩定過渡，對非加密區人為分成多個小區域，并限制每個小區域的單元大小，在拓撲關系一致的前提下，對非加密區實現自適應剖分。在圖7中添加細虛線作為輔助線，如圖9所示。

圖9　穩定過渡模型

將圖9中的模型整理生成名為example4.poly的環文件。在Linux系統終端輸入“./triangle-pqa example4.poly”命令，將圖9中的粗虛線以內的區域剖分成單元面積不超過7 m2的網格，其他區域的單元面積最大值以加密區為中心向兩邊逐漸過渡，依次為43.3，173.2，530.425，1 082.5 m2，如圖10所示。將網格名稱命名為c，該網格共有節點42 846個、三角形單元85 104個。

圖10　穩定過渡網格圖

將a、b、c三種網格的信息進行整理，結果如表2所示。

表2　網格剖分情況統計

圖6與圖8對比，對非加密區進行網格剖分時，前者存在單元面積限制，Triangle軟件自動在邊界添加節點，后者無單元面積限制，邊界上節點明顯較少。圖8與圖10對比，后者通過添加多條輔助線，限制非加密區網格剖分時內部節點的位置，實現網格的平穩過渡。

3.3網格質量

二維單元的主要質量指標包括單元長度、翹曲角、單元邊長比、內角大小、扭曲角、雅可比比率等[13]。根據LEE C K和LO S H[14]提出的評價三角形質量的公式(式(1))評價Triangle剖分后每一個三角形的質量。

(1)

其中AB是以三角形頂點A為起點，以頂點B作為終點的向量，AC、BC亦如此。

根據平均值公式和均方差公式(式(2)和(3))計算上述3種網格質量的平均值和均方差值，結果如表3所示。

(2)

(3)

式(1)中α值范圍為0～1，單元質量隨著α值的增大而變好。對表3中的平均值λ和均方差值η做對比發現：a網格質量最好；b網格質量最差；c網格質量居中。

3.4數值計算

將剖分之后的網格沿x軸方向拉伸20 m，模型由二維轉變成擬三維，三角形單元轉變成三棱柱單元。將模型導入FLAC3D軟件中進行數值計算，驗證不同的剖分方法對計算效率和計算精度的影響，以此選擇最佳的剖分方式。為表述方便，a、b、c網格拉伸后的模型分別命名為a-a、b-b、c-c模型，其中c-c模型如圖11所示。

圖11　FLAC3D中c-c模型

數值計算采用位移約束邊界條件，對側面施加法向位移約束，對底面施加全約束，采用摩爾-庫倫本構關系，重力加速度取值為9.80 m/s2，開挖第1層礦產。當計算不收斂時，即出現塑性區貫通時，停止計算。a-a、b-b、c-c模型數值計算結果分別如圖12～14所示，圖中A、B點為最危險滑動面在地表的位置。

圖12　整體加密塑性區圖

圖13　自由過渡塑性區圖

圖14　穩定過渡塑性區圖

將計算時間和最危險滑動面在地表的位置分別作為計算效率和計算精度的判斷依據。計算精度是通過塑性區范圍確定的，如果計算得到的范圍偏小，則存在安全隱患，計算精度偏低。統計結果見表4。

表4　數值計算結果統計

由圖12～14及表4可以得出：a-a、b-b、c-c 模型進行數值計算的時間關系為a-a>c-c>b-b；精度關系為a-a>c-c>b-b。

將表2、表3、表4進行對比分析得出：c網格剖分用時、單元數和節點數均小于a網格；c網格單元質量高于b網格；c-c模型數值計算效率和精度均優于b-b模型。因此采用穩定過渡的自適應剖分是一種較為合適的剖分方法。

4　結論

Triangle軟件是一款高效的二維剖分軟件，規格小、操作簡單，其優勢完全能與大型商業軟件擁有的前處理功能媲美。

1) 該軟件能根據邊界的復雜程度進行自適應剖分，自動添加節點、加密網格，實現網格由加密區到非加密區的穩定過渡。

2) 該軟件對大規模網格剖分用時較短，剖分形成的網格總體質量較好，將模型導入數值計算軟件后計算時間較短、精度較高。

雖然該軟件具有強大的剖分功能，但是仍有不足之處，影響該軟件的推廣使用。該軟件通過輸入代表模型信息的環文件進行網格剖分，當地質情況復雜時，尤其模型中點的數量較多時，難以手工制作環文件，需要通過自己編制程序處理數據。因此建議開發出通過輸入CAD模型直接生成Triangle軟件可以識別的環文件的程序，從而提高生成數值計算模型的效率。

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(責任編輯楊文青)

收稿日期：2016-02-18

基金項目：國家自然科學基金資助項目(40602037，40872183)

作者簡介：張衍林(1988—)，男，河北石家莊人，碩士研究生，主要從事地質工程數值模擬方面的研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.07.019

中圖分類號：TP319

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2016)07-0112-07

Application of Triangle Packge in Adaptive Mesh Generation

ZHANG Yan-lin, MEI Gang, XU Neng-xiong

(School of Engineering and Technology,China University of Geosciences (Beijing), Beijing 100083, China)

Abstract:Large commercial CAE/CAM software is typically quite expensive; and the operations in the use of the large software are in general complex. In addition, the computational efficiency in the cases of generating large-scale triangular meshes is low. The package triangle is an open source, powerful, easy-to-use 2D triangular mesh generator. This package has the capability of producing high-quality adaptive triangular mesh extremely fast for the target regions that are represented with complex boundaries. However, there are few references published in China that are focused on introducing the applications of this package. This paper first described the detailed steps of employing this package for generating high-quality adaptive meshes, and then presented a real-world engineering application to demostrate the effectiveness and efficiency of this package. The application results indicate that: the package triangle is effective and easy to use; It uses adaptive subdivision method to make the transition from encryption area to the non-encryption section, through which the unit quality is better; in addition, the computational efficiency and accuracy when using the high-quality adaptive triangular meshes can reach the requirements in practical numerical applications.

Key words:Triangle software; adaptive mesh; triangulation; numerical calculation; efficiency

引用格式：張衍林，梅鋼，徐能雄. Triangle軟件在自適應剖分中的應用[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(7):112-118.

Citation format：ZHANG Yan-lin, MEI Gang, XU Neng-xiong.Application of Triangle Packge in Adaptive Mesh Generation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(7):112-118.