分數階SISV傳染病模型的穩定性分析

葛　清，賀大奎，馬慧芳

(新疆農業大學， 烏魯木齊　830052)

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分數階SISV傳染病模型的穩定性分析

葛清，賀大奎，馬慧芳

(新疆農業大學， 烏魯木齊830052)

摘要：研究了具有雙線性發生率的分數階SISV傳染病模型。首先分析了模型的無病平衡點及地方病平衡點的存在性，然后利用分數階的Routh-Hurwitz準則給出了各平衡點局部漸近穩定的條件，最后通過數值模擬進一步驗證了結論的正確性。

關鍵詞：分數階；Caputo 導數；Routh-Hurwitz準則；基本再生數

傳染病模型在解釋傳染病的傳播規律及提供可行的策略等方面起著重要的作用，越來越多的學者參與到研究傳染病模型的工作中來并且做出了大量重要的優秀成果[1-3]。

但是這些工作都局限于整數階傳染病模型。近些年來許多學者提出了采用分數階模型研究傳染病模型的思想[4-10]，這是因為分數階模型是整數階模型的推廣，而且分數階模型在描述具有記憶及遺傳性的過程方面具有一定的優越性。

本文研究一類具有雙線性發生率分數階的 SISV 傳染病模型:

(1)

這里將總人口數N分成了3部分：易感者S、 染病者I、 恢復者R。

本文假設模型(1)中所有參數均為正的常數，并且根據疾病的傳播發展機理，對參數做如下說明：Λ為常數輸入率；β為S,I的傳播率系數；μ為S,I,V的自然死亡率；q為新生者被接種的比例；p為易感者被接種的比例；ε為因病死亡率；γ為恢復率系數；δ為免疫失去率系數。假設初始條件為：S(0)=S0,I(0)=I0,V(0)=V0。

1　預備知識

定義1令函數f∈Cn([0,+∞),R),α階Caputo導數定義為

其中Γ(·)為伽馬函數，n-1<α≤n。特別地，當n=1時，

(2)

考慮系統

(3)

定義2常數x*為系統(3)的平衡點當且僅當f(t,x*)=0。

2　平衡點的存在性及局部穩定性

定理1當R0<1時，系統(1)的無病平衡點P0是局部漸近穩定的。

證明系統(1)在P0處的雅可比矩陣為

(4)

則特征方程為

所以

定理2當R0>1，且系統(1)滿足下列條件之一時，

系統(1)的地方病平衡點P*=(S*,I*,V*)是局部漸近穩定的，這里：

ai(i=1,2,3)由式(7)確定。

(5)

所以特征方程為

(6)

令

(7)

從a1,a2,a3的表達式中很容易得出：a1>0,a2>0,a3>0且a1a2>a3，因此由文獻[4]的Routh-Hurwitz準則知定理2成立。

3　數值模擬

例1為了驗證定理2的第2個條件，令：α=0.5,Λ=0.58,β=0.2,μ=0.06,q=0.3,p=0.5,ε=0.23,γ=0.6,δ=0.35。初始條件：S0=2,I0=1,V0=3。此時地方病平衡點為(4.164 1, 0， 5.502 6),R0=0.935 8，且滿足定理1的條件。由圖1可以看出無病平衡點是局部漸近穩定的。

圖1　例1

例2為了驗證定理2的第1個條件，令：α=0.5,Λ=0.25,β=0.5,μ=0.06,q=0.3,p=0.5,ε=0.02,γ=0.6,δ=0.65。初始條件：S0=1.86,I0=1.407 5,V0=1.263 4。此時地方病平衡點為(1.36, 1.307 5， 1.063 4),且滿足定理2的條件(2)，由圖2可以看出地方病平衡點是局部漸近穩定的。

圖2　例2

例3為了驗證定理2的第2個條件，令：α=0.5,Λ=0.25,β=0.5,μ=0.06,q=0.3,p=0.5,ε=0.03,γ=0.6,δ=0.35。初始條件：S0=1.88,I0=0.713 9,V0=2.065 9。此時地方病平衡點為(1.38, 0.613 9， 1.865 9),且滿足定理2的第2個條件，由圖3可以看出地方病平衡點是局部漸近穩定。

圖3　例3

參考文獻：

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(責任編輯劉舸)

收稿日期：2016-04-18

基金項目：國家自然科學基金青年基金資助項目(11301451)

作者簡介：葛清(1988—)，女，碩士，主要從事常微分方程及其動力系統的研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.07.025

中圖分類號：O175

文獻標識碼：A

文章編號：1674-8425(2016)07-0146-03

Stability Analysis of Fractional Order SISV Epidemic Model

GE Qing, HE Da-kui, MA Hui-fang

(Xinjiang Agricultural University, Urumqi 830052, China)

Abstract:We mainly studied the rate of fractional SISV epidemic model with bilinear incidence. Firstly, we analyzed the existence of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium, and then we showed conditions of local asymptotic stability for the equilibrium points by using the fractional Routh-Hurwitz criterion, finally by means of numerical simulation, the accuracy of conclusions was verified.

Key words:fractional order; Caputo derivative; Routh-Hurwitz criterion; basic reproductive number

引用格式：葛清，賀大奎，馬慧芳.分數階SISV傳染病模型的穩定性分析[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2016(7):146-148.

Citation format：GE Qing, HE Da-kui, MA Hui-fang.Stability Analysis of Fractional Order SISV Epidemic Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(7):146-148.