環板結構面內自由振動特性分析

石先杰 李春麗 史冬巖

摘要： 采用譜幾何法（SpectroGeometric Method， SGM）對彈性邊界條件下環板結構的面內自由振動特性進行計算分析，彈性邊界條件采用沿各邊界均勻分布的法向和切向線性彈簧來模擬。板結構的位移容許函數被不變地描述為一種譜形式的改進三角級數，正弦三角級數項的引入能夠有效地克服彈性邊界處潛在的不連續或跳躍現象。將位移容許函數的級數展開系數看作廣義坐標，并采用瑞利里茲法對其進行求解，得到一個關于級數展開系數的標準特征值問題。通過求解標準特征值問題而簡便地求解環板結構面內自由振動固有頻率及其振型。通過不同數值算例，并與現有文獻解及有限元法計算結果進行對比，驗證了文中方法的正確性。關鍵詞： 環板； 面內振動； 譜幾何法； 彈性邊界條件

中圖分類號： O326；TB532文獻標志碼： A文章編號： 1004-4523（2016）03-0465-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.012

引言

環板結構作為獨立的結構或組合結構的基本構件，已經被廣泛地應用于各類工程領域，例如航天飛行器、船舶、建筑等。因此，環板結構的動態特性是工程師和設計者比較關注的問題。然而，目前大量的研究均集中在彎曲振動問題，而對于面內振動問題的研究還比較少見。近年來研究表明[15]，在實際工程應用領域中，需要同時考慮基礎構件的彎曲和面內振動。例如，在機械工程領域中，由于加工與安裝的不確定性所帶來的誤差可能會導致實際載荷方向存在一定的角度偏差，進而引起基礎結構的面內振動，危害整個結構的可靠性和安全性。而對于復雜組合結構，耦合邊處會發生面內振動和彎曲振動的耦合作用，從而引起波型轉化。此外，面內振動對于高頻振動或能量傳輸也起著十分重要的作用，還與周圍環境的輻射噪聲存在直接關系。

Love[6]開創性地研究了自由邊界條件下圓板結構面內自由振動問題，給出了一般解，這就是著名的Love理論。Ambati[7]等人提出了一種適用于環板面內振動特性分析的通用求解方案，并通過改變內外半徑參數將該求解方案拓展至圓板和圓環結構。Srinivasan[8]等人分析了內邊簡支、外邊自由組合情況下環板的面內振動特性，并通過伽利略變換獲得了外邊在旋轉面內激勵力作用下的穩態應力響應情況。Irie[9]等人采用傳遞矩陣法建立了環板結構面內振動分析模型，其中環板的邊界條件僅為內、外邊上的自由或固支的組合。Park[10]根據哈密爾頓原理推導了固支邊界條件下圓板的面內振動方程。而國內目前的研究工作大部分均集中在環板的彎曲振動問題，對于其面內振動的相關研究較少。史冬巖[11]等對環扇形板結構面內自由振動特性進行了相關研究分析。

文獻中的相關研究工作大部分局限于簡單的經典邊界條件，而對于彈性邊界下的面內振動問題涉及還較少。但在實際工程問題中，存在大量的均勻彈性支撐邊界，所以彈性邊界條件下環板結構面內自由振動問題一直是設計者關心的問題。因此，開展彈性邊界約束下環板結構的面內自由振動特性研究具有實際工程需求和意義。

針對這些技術局限性和實際工程需求，本文基于譜幾何法建立了彈性邊界條件下環板結構面內自由振動分析模型。將面內振動位移容許函數不變地表示為一種譜形式的改進三角級數形式。然后，將位移容許函數的級數展開系數看作廣義坐標，并采用瑞利里茲法進行求解，將結構的面內振動問題轉化為求解一個標準的特征值問題。最后通過大量的數值算例對文中方法及分析模型進行驗證。

3結論

文中基于譜幾何法建立了彈性邊界約束條件下環板結構面內自由振動分析模型。該方法的思想是將結構的面內振動位移容許函數表示為一種譜形式的改進三角級數形式，采用沿各邊界均勻分布的切向和法向線性位移彈簧來模擬任意彈性約束條件，使環板的面內自由振動問題歸結為一個標準特征值問題。通過相關數值算例，驗證了文中方法的正確性和可靠性，并得出以下結論：

1）任意彈性約束邊界條件下環板結構面內振動位移容許函數可以不變地表示為一種譜形式的改進三角級數形式，收斂性較傳統的傅里葉級數有較大改善；

2）在數值計算中，隨著級數截斷項數的增大，計算結果快速收斂，并且表現出良好的數值穩定性；

3）邊界條件的改變僅需通過修改邊界約束彈簧剛度值來簡單實現，而不需要重新構造位移容許函數，或重新推導與編程。

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