考慮三加速度項影響的顯式積分格式及其應用

徐寧 任尊松 孫守光

摘要： 基于車輛軌道耦合動力學快速顯式積分法，提出了一種新的顯式積分格式并給出了相關參數選取方式。不同于快速顯式法僅考慮相鄰兩個加速度對于位移和速度積分的影響，本文方法積分格式中包含了相鄰三個時刻的加速度項。該方法除具有快速顯式積分法無需求解高階線性方程組且運算速度快等特點之外，還具有數值結果無振幅衰減、截斷誤差具有更高階精度等優點。與快速顯式積分方法相比，求解線性問題時，本文方法獲得的結果與解析解的吻合度更高；車輛軌道垂向耦合系統頻域傳遞特性問題研究結果表明，本文方法獲得的系統中、高頻成分的幅頻特性更為準確。關鍵詞： 車輛系統動力學； 顯式積分法； 誤差精度； 預測校正格式

中圖分類號： U211. 5文獻標志碼：A文章編號：1004-4523（2016）03-0472-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.013

引言

在結構和大自由度系統動力學研究中，數值積分方法被廣泛使用[19]，所以迫切需求精度更高、穩定條件更寬松、更省時的計算方法。經典的方法如Newmarkβ法，Houbolt法，Wilsonθ法[1]等，精度很高且都具備比較好的穩定性，桂國慶[2]更是提出了無條件穩定的高精度計算方法，但這些隱式方法求解大型方程組，特別對于非線性問題，都需要計算C，K矩陣，計算量非常之大。有鑒于此，翟婉明[3]在Newmarkβ法基礎之上提出新型快速顯式積分法，該方法在求解大型非線性動力學問題時，只要求質量矩陣M為對角化，不限制C，K矩陣形式，不再需要求解高階線性代數方程組，從而大幅度地提高了數值計算的經濟性，其截斷誤差與Newmarkβ同階，該方法具有較好的穩定條件，且當參數ψ和φ相等且都取值1/2情況下具有無振幅衰減以及周期延長率變化較小的特點。

隨著列車運行速度提高及車輛部件輕量化，運用安全性以及運行品質等問題的研究變得越來越重要，研究結果也要求越來越準確，促使車輛動力學模型需要對部分或者全部部件彈性化處理，由此系統自由度和非線性度進一步大幅增加且車輛軌道耦合系統中高頻振動亦成為研究重點之一。在此情況下，快速顯式法存在一定的不足：在保障無振幅衰減并且延長率變化較小時，其計算結果高階精度不足。吳國榮[4]提出的方法雖然很大程度地提高精度，但對于位移和速度求解具有先后次序，其應用具有一定的局限性；趙秋玲[5]、裘春航[6]和王海波等[7]提出的精細積分法對于線性和非線性問題計算精度高，但求解過程依賴狀態變量求解過程，并需要將大型二階微分方程組轉為對應的一階形式，這對車輛軌道耦合系統求解來說，工作量很大。范奎武[8]構造了包含An2的隱式積分格式，對于求解中頻和高頻問題具有很好精度，本文在快速顯式積分法基礎上，結合文獻[8]和[9]隱式格式中考慮多個時刻加速度以提高積分精度的方式，在快速顯式法積分格式包含An和An1基礎上考慮An2這一項對于速度和位移的影響，構造了考慮三個時刻加速度項的顯式積分格式，也簡稱本文方法。這一積分方法在滿足收斂條件下，具有保障積分結果有無振幅衰減且周期延長率變化較小的特點，并在一定參數選擇下能夠有比快速顯式積分法更高的截斷誤差精度。參照預測校正積分法，應用Newmarkβ進行校正積分，得到本文方法的高精度格式，對非線性問題的積分求解精度略高于原有預測校正模式。

圖7為兩方法得到的軌道位移傳遞函數與解析法結果對比。可以看出在35s，110 Hz左右的第一、第二峰值處，較比快速顯式法，本文方法結果與解析結果吻合度更高，形態上更為接近，以及300～450 Hz的較高頻率區間局部處，本文方法計算結果與解析結果幾乎一致，而快速顯式法結果與解析解有一定差別。

由圖8和9看出，總體上，兩種積分方法下，一位輪對和一位構架的頻域傳遞特性與解析解均比較接近，在經過局部放大的65～80Hz以及140～150Hz頻域區間上可以發現，本文方法在數值上和走勢上均與解析解更為接近，說明較比快速顯式法，本文積分格式計算精度對于系統中頻和較高頻特性模擬的準確度上有所提高。

4結論

本文方法具有簡單、實用和較為精確的特征，計算算例表明該方法在數值計算求解線性和非線性微分方程準確、有效。即求解線性問題的數值積分時計算結果相比于快速顯式積分法有更高精度，非線性問題的數值積分時高精度預測校正格式計算精度優于基本格式，本文的高精度預測校正格式計算精度更是高于快速顯式積分法的高精度格式。應用于車輛軌道垂向系統幅頻特性計算時，本文方法得到幅頻響應函數在低頻段與快速顯式積分法較為一致并非常接近解析精確解，但在100Hz上下及300～500Hz等多個局部位置對比發現，本文方法模擬結果在數值上和走勢上更為精確。與快速顯式方法相比，本文方法計算平均計算用時略有增加，增長比率約1%，仍然處于可以接受的范圍。

參考文獻：

[1]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].第4版.武漢： 華中科技大學出版社，2006：121—122.

LI Qingyang， WANG Nengchao， YI Dayi. Numerical Analysis[M].4th ed. Wuhan： Hua zhong University of Science and Technology Press， 2006：121—122.

[2]桂國慶，何玉教.求解結構動力方程的高精度直接積分法[J]. 天津大學學報，1993，（6）：36—45.

GUI Guoqing， HE Yujiao. High accurate direcit integration method for solving the equtions of stractural dynamic[J]. Journal of Tianjin University， 1993， （6）：36—45.

[3]翟婉明.車輛軌道耦合動力學 [M].第2版.北京：科學出版社，2001：107—120.

ZHAI Wanming. The Vehicletrack Coupling Dynamic [M].2nd ed.Beijing： Science Press， 2007：107—120.

[4]吳國榮，唐瑞霖，陳福全.結構動力響應分析的一種簡便算法[J]. 福建工程學院學報， 2005， 2（3）： 13—16.

WU Guorong， TANG Ruilin， CHEN Fuquan. An effective direct integration method for structure dynamic response analysis[J]. Journal of Fujian University of Technology， 2005，2（3）： 13—16.

[5]趙秋玲. 非線性動力學方程的精細積分法[J]. 力學與實踐， 1998， 20（6）： 24—26.

ZHAO Qiuling. The Accurate Integration Method for solving nonlinear dynamics problems[J]. Journal of Mechanics and Practice， 1998， 20（6）： 24—26.

[6]裘春航，蔡志勤，呂和祥. 非線性動力學問題的一個顯式精細積分算法[J]. 應用力學學報， 2001， 18（2）：34—40.

QIU Chunhang， CAI Zhiqin， LV Hexiang. An explicit precise integration algorithm for nonlinear dynamics problems[J].Chinese Journal of Applied Mechanics， 2001， 18（2）： 34—40.

[7]王海波，余志武，陳伯望.非線性動力方程的改進分段直接積分法[J]. 工程力學， 2008，9（25）：13—22.

WANG Haibo， YU Zhiwu， CHEN Bowang. An improved segmenteddirectitegration method for nonlinar dynamic equations [J]. Journal of Engineering Mechanics， 2008，9 （25）：13—22.

[8]范奎武. 結構動力學中的一種直接積分法[J].強度與環境，2002，39（3）： 32—38.

FAN Kuiwu. Application of a direct integration method in the structural dynamics [J]. Structure& Environment Engineering ，2002， 39（3）：32—38.

[9]М К Тлеулинов. Об одном методе прямого интегрирования уравнений движения при динамическом，деформиированииконструкций летательных[J].аппаратов：М.2008.6c.Деп.вВИНИТИ17， 2008： 626B2008.

[10]任尊松.輪軌多點接觸及車輛道岔系統動態相互作用[M].北京：科學出版社，2014：65—66.

REN Zunsong. Wheel/Rail Multipoint Contacts and Vehicle Turnout System Dynamic Interactions[M]. Beijing： Science Press， 2014：65—66.