三角函數(shù)最值問題的常見求解策略

宋艷萍（浙江省蘭溪市第三中學(xué)）

三角函數(shù)最值問題的常見求解策略

宋艷萍
（浙江省蘭溪市第三中學(xué)）

三角函數(shù)的最值問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)非常重要的問題。從利用三角函數(shù)的有界性求解最值問題；引入輔助角，求解三角函數(shù)的最值問題；利用配方法，求三角函數(shù)的最值問題，利用換元法等方面歸納三角函數(shù)最值問題的常見求解方法。

三角函數(shù)；最值；求解；策略

三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用，其內(nèi)容除了具有獨(dú)特性質(zhì)外，它也具有普通函數(shù)的性質(zhì)。解決這類問題的基本途徑同求解其他函數(shù)的最值一樣：一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等）；另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問題。另外，需要靈活運(yùn)用三角公式進(jìn)行三角變換，需要熟練的恒等變形能力。筆者通過幾個(gè)例子，介紹三角函數(shù)的幾種最值問題和常見的解題策略。

策略一：配方法

若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，且它們的次數(shù)是2和1并存時(shí)，一般需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。

例1.求函數(shù)f（x）=-sin2x-3cosx+3的最小值。

［分析］本題可以通過公式sin2x=1-cos2x將函數(shù)表達(dá)式化為y=cos2x-3cosx+2。因含有cosx的二次式，可換元。

解：令：cosx=t，則-1≤t≤1，原函數(shù)可化為y=t2-3t+2，配方，得

策略二：化一法

所謂化一法是由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分組成，其中“化一次”使用到降冪公式，“化一名”使用到推導(dǎo)公式，“化一角”使用到倍角公式及三角函數(shù)的和差公式等， 因此需要大家熟練掌握相關(guān)公式并靈活運(yùn)用。

【分析】降冪后發(fā)現(xiàn)式中出現(xiàn)了sin2x和cos2x，這時(shí)再化成一個(gè)角的三角函數(shù)便可求得。

策略三：利用三角函數(shù)的有界性

在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是重要的特征——有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法。

策略四：數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化

策略五：不等式轉(zhuǎn)化方式

作為三角函數(shù)最值的求解問題，在處理這類問題的過程中，可以合理運(yùn)用不等式轉(zhuǎn)化的方式，能夠使問題的解決更加便利，有助于學(xué)生解題能力的提升。

針對(duì)這樣的問題，可以將其向不等式形式轉(zhuǎn)化，以此來對(duì)最值問題進(jìn)行合理求解，能夠使問題的解決更加便利。

因此，針對(duì)這樣的問題可以合理地借助基本不等式轉(zhuǎn)化的方式，以此能夠使問題的解答更加容易，有助于學(xué)生問題解決效率的提升。總之，在高中的三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，針對(duì)最值問題的求解，可以積極借助以上五種方式，作為高中數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該為學(xué)生合理講解這五種方式的運(yùn)用手段，以此能夠在學(xué)生的學(xué)習(xí)與解題過程中提供積極的幫助，能夠促進(jìn)學(xué)生的合理健康成長。

李東文.三角函數(shù)最值的歸類求解策略［J］.考試周刊，2014（4）.

·編輯楊國蓉