“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”（高三二輪復(fù)習(xí)）

潘淑淑（浙江省永嘉中學(xué)）

“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”（高三二輪復(fù)習(xí)）

潘淑淑
（浙江省永嘉中學(xué)）

一、教材分析

“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”是人教版A版必修1第三章“函數(shù)的應(yīng)用”第一節(jié)內(nèi)容，主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定。本課揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系是函數(shù)與方程思想的理論基礎(chǔ)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會(huì)畫簡單函數(shù)的圖象，會(huì)通過圖象研究、理解函數(shù)的性質(zhì)，這為學(xué)生理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了幫助。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，理解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，掌握零點(diǎn)存在的判定方法，能利用函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷某些函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及所在區(qū)間。

2.體會(huì)函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化規(guī)思想。

四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：了解函數(shù)的零點(diǎn)概念，掌握函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理。

2.教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確理解零點(diǎn)的存在性定理。

五、課堂實(shí)錄

問：求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)。

生1：x=0或x=2

師：我們復(fù)習(xí)一下函數(shù)的零點(diǎn)。

生2：對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。于是得到以下等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根，就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

意圖：復(fù)習(xí)零點(diǎn)的概念，由函數(shù)零點(diǎn)的概念得出三個(gè)等價(jià)關(guān)系。

師：討論函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a有一個(gè)零點(diǎn)1；

當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a沒有零點(diǎn)；

當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a有兩個(gè)零點(diǎn)2-a和a。

生4：（數(shù)形結(jié)合）作出y=f（x）和y=a的圖象，討論這兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)論同上。

師：總結(jié)一下判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法。

意圖：理解函數(shù)零點(diǎn)的定義；求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；體會(huì)整體思想和轉(zhuǎn)化思想。

師：變式2：求函數(shù)y=f（x）·logx2-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

生6：令y=f（x）·logx2-1=0，得令f（x）=log2x，其中x＞0且x≠1作出y=f（x）和y=log2x，其中x＞0且x≠1的圖象，發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y=f（x）·logx2-1只有1個(gè)零點(diǎn)。

師：證明關(guān)于x的方程f（x）=log2x，（其中x＞0且x≠1）只有一個(gè)根。

生7：令

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，log2x＜0，此時(shí)g（x）＞0，∴y=g（x）在（0，1）沒有零點(diǎn)；

當(dāng)x＞1時(shí)，y=g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，又g（1）=1＞0，

g（2）=-1＜0，由零點(diǎn)的存在性定理知y=g（x）在（1，+∞）上只有1個(gè)零點(diǎn)。

∴y=g（x）在（0，+∞）上只有1個(gè)零點(diǎn)，結(jié)論得證。

意圖：復(fù)習(xí)零點(diǎn)的存在性定理；求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。

師：變式3：對任意的t∈［2，4］時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）= log2t+a總有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍。

生8：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的包含關(guān)系。

當(dāng)t∈［2，4］時(shí)，log2t+a∈［1+a，2+a］，∴2+a＜1∴a＜-1

練習(xí)：已知函數(shù)g（x）是定義在R上的奇函

意圖：使學(xué)生對方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)問題有進(jìn)一步的認(rèn)識，培養(yǎng)其獨(dú)立思考和自主探索的習(xí)慣。

總結(jié)：知識和思想方法。

意圖：使學(xué)生對所學(xué)的知識有比較全面的認(rèn)識，有利于學(xué)生知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，在培養(yǎng)概括能力的同時(shí)，也能對課堂的教學(xué)效果進(jìn)行反饋。

六、教后反思

本節(jié)課借助這一道題，復(fù)習(xí)了“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的所有內(nèi)容。內(nèi)容設(shè)計(jì)層次深入，分段進(jìn)行，又環(huán)環(huán)相扣，使學(xué)生在接受知識、探究問題的過程中能有一個(gè)逐步積累深入、螺旋上升的發(fā)展。借助這一道題把本節(jié)課的重點(diǎn)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，尤其是對零點(diǎn)的存在性定理的應(yīng)用比較靈活。本節(jié)課還注重思想方法的滲透，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、整體思想等多種思想方法。

浙江省特級教師議課：

本節(jié)課內(nèi)容設(shè)計(jì)由淺入深，課堂對話非常真實(shí)。課堂的主體意識很強(qiáng)，給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，學(xué)生積極參與課堂，讓學(xué)習(xí)指導(dǎo)課堂，而不是讓老師指導(dǎo)課堂。能把握本節(jié)課的重點(diǎn)：求函數(shù)的零點(diǎn)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，把求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，存在性定理的靈活應(yīng)用。注重提煉學(xué)習(xí)方法，變式教學(xué)，練高考題。

·編輯楊國蓉