結構多目標拓撲優化目標函數構建方法的研究

張璟鑫　梁　偉　夏　洋

重慶交通大學，重慶，400074

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結構多目標拓撲優化目標函數構建方法的研究

張璟鑫梁偉夏洋

重慶交通大學，重慶，400074

為實現結構材料的多目標拓撲優化設計，基于數學規劃法提出一種廣義的平均距離法，用以研究多目標拓撲優化目標函數的構建方法。介紹了運用平均距離法演變的將多目標轉化為單目標的多種方法，并以汽車懸架控制臂為實例，應用演變的多種方法進行拓撲優化仿真研究。研究表明：運用平均距離法演變的多種方法可以靈活地構建多目標優化目標函數，基于所構建的目標函數可以尋找較優的構建方法，更好地將平均距離理念應用于多目標結構優化設計。

平均距離法；目標函數；多目標； 拓撲優化

0　引言

結構拓撲優化設計是優化設計領域最富有生命力、最具有發展前景的一個研究方向[1-2]。人們需要在結構優化設計領域中，尋找優化設計的最優方案或較優方案來解決單目標優化設計問題。然而在實際工程設計問題中，設計方案存在多項設計指標，期望其各指標達到最優，而這些指標往往難以協調，需要權衡多個目標來解決多目標問題，因此研究尋求合理解決多目標的拓撲優化優化問題的方法具有更重要的意義。

結構拓撲優化中以多工況靜態柔度最小化及多階動態頻率最大化為目標函數構造問題是典型的多目標優化問題[3]。人們多引入數學規劃來對多個目標進行綜合權衡進而將多目標轉化為單個目標來構造目標函數，最終建立優化數學模型。孫曉輝等[4]引入數學規劃法相關理論建立了5種不同的目標函數，并得到既能提高動態振動固有頻率又能提高結構剛度的拓撲構型。范文杰等[5]建立以折衷規劃法定義柔度并結合平均頻率特征值公式構建的多目標優化目標函數，并將函數應用于汽車車架結構的設計中，既提高了動態振動頻率，又提高了結構剛度。占金青等[3]分別定義靜態多工況剛度和動態特征值為兩個分目標的目標函數，并以綜合柔度最小化和平均頻率特征值最大化為目標對算例進行多目標優化，驗證其提出該數學模型的可行性。劉林華等[6]將折衷規劃法與理想點法結合起來，分別以綜合柔度、頻率特征值最優化構造了目標函數，并以某越野車車架為例驗證了多目標拓撲優化目標函數構建方法的正確性。顯然，如何建立合理的目標函數是實現結構多目標優化的關鍵。 本文將平均距離理論引入結構多目標優化，歸納了將多種多目標轉化為單目標的方法，并運用于拓撲優化來構建目標函數，對車架控制臂進行拓撲優化；針對拓撲優化結果，驗證該優化方法的可行性，為多目標結構優化設計提供了新的設計思路。

1　廣義平均距離公式

Ma等[7]在1995年提出的平均特征值公式很好地解決結構固有頻率振蕩問題，根據其平均特征值理念，提出廣義平均距離公式概念：

其中，xni(i=1,2,…,m)是各個單目標數值，ni(i=1,2,…,m)為指定的單目標，wi(i=1,2,…,M)為加權系數(各目標對目標函數的貢獻度)，x0i(i =1,2,…,m)為給定的參數，p為給定的權力值，y0和α為任意常數(僅用于一些目標函數的物理意義和目標函數尺寸的調整)。

所構建目標函數的意義在于，將多個單一目標xni與給定參數x0i的距離之和轉化為平均值y來定義評價函數，用來表征各目標加權距離的平均值，可以用取得平均值最大或最小的方法來實現各目標離指定點加權距離的最大化或最小化。

當p=1,2,…時，以目標函數最小化為例展開研究：

當p=-1,-2,…時，以實現目標函數最大化為例展開研究：

2　平均距離公式在結構多目標拓撲優化中的應用

在目前的結構多目標拓撲優化問題中，多工況柔度與多階動態頻率都屬于多目標問題，因此兩個多目標問題都應用平均距離公式來解決。

2.1靜態多工況剛度拓撲優化數學模型

不同工況對應的最優拓撲結構不同，各工況對應的多剛度難以同時達到最優，因此，結合平均距離公式，以多工況下剛度最大化問題轉化為柔度最小化的結構優化數學模型如下：

C=UTKU

s.t.ρ=(ρ1,ρ2,…,ρn)T

F=KU

0<ρmin≤ρk<1,k=1,2,…,L

式中，C(ρ)為結構平均柔度值；m為工況總數；wi為第i個工況柔度距離p次方的權重系數;ρ1,ρ2,…,ρn為拓撲優化設計變量，即通過變密度法得到的結構材料密度;L為單元總數；C為結構的柔度，F為受力；K為結構的剛度矩陣；U為位移向量； V0為設計區域原體積；V 為優化后的體積；Δ為體積分數。

令C0=0、α=1，以p=2、p=-1為例，將目標函數變換為

2.2動態頻率拓撲優化數學模型

若簡單地讓其中某一階頻率達到最大，會使其他階頻率值降到比較低的值，從而導致幾階頻率次序相互調換，這樣會使目標函數發生頻率振蕩現象[7]，因此為避免此現象并實現動態振動固有頻率的最大化，結合平均距離公式得到

s.t.ρ=(ρ1,ρ2,…,ρn)T

ajτj≥fjj=1,2,…

(K-τjM)φj=0

0<ρmin≤ρk<1k=1,2,…,L

式中，f(ρ)為結構的平均固有頻率值；l為固有頻率總階數；fj為結構的固有頻率； M為系統的質量矩陣；φj為結構第j階的正交特征向量；τj為結構第j階的頻率特征值；a=0.95。

2.3多目標拓撲優化的綜合模型

由于柔度和頻率的相互制約，而結構多目標優化的最終目的是實現各工況柔度最小化和各階頻率最大化，因此本文以權力值p=2為例，來實現兩個定義的分目標最優。統一數量級，消除各自的量綱，可以得到最終的優化模型：

式中，C(ρ)max為平均柔度的最大值；C(ρ)min為平均柔度的最小值；f(ρ)max為平均頻率的最大值；f(ρ)min為平均頻率的最小值；C(ρ)0、f(ρ)0給定的值。

以列舉的平均柔度和平均頻率定義的兩種目標函數為例，兩兩結合形成4種新的函數模型。

模型一：

模型二：

模型三:

模型四：

3　優化實例

本文以汽車懸架系統的控制臂為研究對象，以有限元軟件Hyperworks為分析平臺，參照文獻[8]和文獻[9]，選擇最為典型的制動、轉向、過路面凹坑工況，建立了汽車控制臂的有限元模型；由于控制臂在有限元載荷計算中有累積誤差，使得尋求一個完全平衡的外載荷力系的工作較困難[9]，而且邊界條件對計算結果有很大影響，因此本文采用慣性釋放原理來減小該影響，從而使計算結果更合理，更接近實際情況。

材料彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度7.9×103kg/m3,體積分數約束為上限40%，拔模方向指定為z方向，載荷與約束如圖1所示，其中A為載荷施加點，B為z方向的約束點，Fx、Fy、Fz均為1000 N。

圖1　汽車懸架控制臂有限元模型

3.1優化過程

表1　單工況柔度優化結果　N·mm

表2　單階固有頻率優化結果　Hz

再以平均柔度和平均頻率最優化分別得到C(ρ)min、C(ρ)max、f(ρ)min、f(ρ)max,結果如表3所示。

表3　以平均柔度和平均頻率最優化的優化結果

最后將表1～表3的數值，分別代入4個總目標函數模型進行優化，得出最終優化結果。

3.2優化結果

(1)經過Optistruct迭代得到的拓撲構型都保留相對密度0.505的材料，以z軸正方向觀察，如圖2所示，其中空白區域為刪除材料的區域。

(a)平均柔度最優　(b)平均頻率最優　(c)模型一圖2　模型一分目標和總目標拓撲構型的對比

(a)平均柔度最優　(b)平均頻率最優　(c)模型二圖3　模型二分目標和總目標拓撲構型的對比

(a)平均柔度最優　(b)平均頻率最優　(c)模型三圖4　模型三分目標和總目標拓撲構型的對比

(a)平均柔度最優　(b)平均頻率最優　(c)模型四圖5　模型四分目標和總目標拓撲構型的對比

通過圖2～圖5中各分目標和總目標拓撲構型的對比，4種多目標構型結合了兩分目標構型，擁有比較多的三角形和X形結構，其性能優于單目標構型。

(2)控制臂的各工況柔度和各階頻率經過這4種模型優化的最終結果如表4、表5所示。

由表4和表5可知：4種多目標優化模型優化后使各工況柔度有很大程度的減小，也就是各工況剛度得到較大程度的提高；優化后結構各階頻率也都得到相應的提高；該4種模型都很好地實現了多工況柔度最小化和多階頻率最大化的目的；模型三優化結果要比其他3種好。

表4　優化前后各工況柔度結果對比　N·mm

表5　優化后各階固有頻率結果對比　Hz

(3)4種模型目標函數的迭代過程如圖6所示。通過觀察4種多目標函數的迭代歷程可知：由于4種目標函數構造的不同，迭代次數及迭代結果不同，但迭代趨勢都趨于穩定，最終趨于0；說明在迭代過程中，各工況柔度及各階頻率都在向各自的目標值發展，使得柔度越接近最小值，頻率越接近最大值，平均距離越趨于最小值。

圖6　4種模型拓撲優化迭代歷程

4　結論

(1)本文將平均距離公式的基本理論與多目標結構優化相結合，基于4種構造的目標函數的拓撲優化結果可尋找較優的目標函數構建方法，從而使平均距離理念更好地應用于結構多目標拓撲優化。

(2)在多目標優化中，運用平均距離思想靈活地將距離的最大化轉化為最小化來處理，通過優化結果的相互比較來有效的確定理想的結構拓撲構型，為設計者提供新思路，對于今后的實際工程優化問題有一定的指導意義。

(3)文中的平均距離公式可選擇不同的參數，會演變不同的尋優方法，然而這種多樣性同樣增大優化過程的工作量，因此需對結構優化過程程序化，為拓撲優化模塊及軟件的開發提供了探索的空間。

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(編輯郭偉)

Research on Construction Method of Objective Function for Multi-objective Topology Optimization in Structures

Zhang JingxinLiang WeiXia Yang

Chongqing Jiaotong University，Chongqing,400074

For multi-objective topology optimization of structural materials，this paper presented a generalized average distance method to study the objective function construction method of multi-objective topology optimization based on mathematical programming. Several methods using the average distance of the evolution were introduced to change multi objectives into single objective,and the topology optimization of a automobile suspension control arm was taken as an example by a variety of methods that were evoluted in the simulation research. The results show that：a variety of methods using the average distance method can flexibly construct the objective function of the multi-objective optimization，and find a way to make better the construction objective function .The average distance concept may be applied to the design of structure optimization for multi-objective topology.

average distance method;objective function;multi-objective;topology optimization

2015-05-20

TH114DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.009

張璟鑫，男，1989年生。重慶交通大學機電與車輛工程學院碩士研究生。研究方向為結構優化。梁偉，女，1968年生。重慶交通大學機電與車輛工程學院教授。夏洋，男，1989年生。重慶交通大學機電與車輛工程學院碩士研究生。