轉子定軸轉動時軸上附加壓力計算的研究

蔣再富，張定梅

(荊楚理工學院數理學院， 湖北 荊門 448000)

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轉子定軸轉動時軸上附加壓力計算的研究

蔣再富，張定梅

(荊楚理工學院數理學院， 湖北 荊門 448000)

利用動量定理和角動量定理推導出了剛體定軸轉動時的軸上附加壓力的一般表達式，并對正方板和正三角板的軸上附加壓力作了計算，給出了參數表達式，針對具體實際情況進行了分析討論，得出轉子在高速轉動時作用在軸上的附加壓力相對于重力產生的壓力要大很多，并且同質量的三角形轉子比正方形轉子產生的附加壓力要大。所得的結果為轉子的設計、安裝提供一定的理論參考。

定軸轉動；轉動慣量；附加壓力；三角形轉子；正方形轉子

在機械工程技術中，很多機械的轉子都為定軸轉動的剛體，如發電機的線圈為正方形轉子、電站渦輪機組多為圓盤狀轉子、新式內燃機為三角形轉子等。在轉子的安裝過程中，經常需要高精度調試，一般轉子的質心應該在轉軸上，轉子的對稱軸應該與轉軸重合，這樣轉子在高速轉動過程中對軸承沒有附加壓力。但在安裝過程中，由于多方因素導致轉子對稱軸與轉軸可能偏離一定角度，通常在1°左右，這時轉軸上將會有附加壓力出現，如果附加壓力超過了轉軸的承受能力，將會使轉軸折斷，導致嚴重的后果。因此在轉子及轉軸的設計過程中一定要考慮由于安裝不善而出現的附加壓力，一些文獻針對圓盤狀轉子的附加壓力作了1°計算[1～5]，但三角形轉子及正方形轉子的附加壓力的計算鮮有提及。下面，筆者利用剛體的動量定理和角動量定理針對三角形轉子及正方形轉子的附加壓力進行計算，給出參數表達式，并對實際情況進行討論。

1　基本理論

圖1　任意形狀轉子定軸轉動

假如有一任意形狀剛體以角速度ω繞AB軸轉動，如圖1所示。A、B點為軸的固定點，NAX、NAY、NBX、NBY為軸上的約束反作用力，如果約束反作用力除了重力外還有附加項，則軸上將會有附加壓力出現[2]。

如果剛體受到合外力為F，則由動量定理和動量矩定理可以導出：

(1)

式中，FX、FY、FZ分別為合外力在3個坐標軸上投影；MX、MY、MZ分別為合力對3個坐標軸的合力矩；IYZ、IZX、IZZ為慣量積。

要求解軸上附加壓力的大小必須求出約束反作用力的大小，下面將利用此方法計算2種不同形狀的剛體定軸轉動時軸上的附加壓力的大小。

2　正三角板定軸轉動軸上附加壓力的計算

圖2　三角形轉子定軸轉動

由于安裝不善，導致正三角板的法線與轉軸成交角 α(α很小)，如圖2所示。O-XYZ是固定坐標系，O-X′Y′Z′是固著在轉子上與轉子一起運動的運動坐標系，在圖2中Y′軸與Y軸剛好重合。a、b是轉子與固定點A、B的距離，轉子質量為m，邊長為l。由于OX′、OZ′、OZ這3線共面，且該面為正三角板的對稱面，三角板重心在轉軸上，故Xc=Yc=0，IY′Z′=IYZ=0。假設剛體勻速轉動，Z軸上無主動力作用。則由式(1)可得：

(2)

將IX′X′、IZ′Z′、IX′Z′代入式(3)后可得出：

(4)

將式(4)代入式(2)可解出：

(5)

式中，F附加是由于安裝不善而導致的軸上附加壓力。

3　正方板定軸轉動軸上附加壓力的計算

圖3　正方形轉子定軸轉動

假如正方板的法線與轉軸成交角α(α很小)，正方板的質量為m，邊長為d，同樣建立2個坐標系O-XYZ,O-X′Y′Z′，如圖3所示。

(6)

4　結語

利用式(5)和式(6)可以算出任意質量的正三角板和正方板在定軸轉動時的軸上附加壓力。如正三角板質量為15kg,邊長為0.2m,a=b=0.5m,α=1°，轉速為12000r/min，則軸上附加壓力的大小為F附加=16840N，而由于重力添加到軸上的作用力為150N。如正方板質量為15kg,邊長為0.2m, a=b=0.5m,α=1°，則軸上附加壓力的大小為F附加=1340N，而由于重力添加到軸上的靜力作用力為150N。

由上面計算可以看出，只要給定了正三角板和正方板的質量，邊長以及偏轉角，就可以很方便的計算出軸上的附加壓力，而且附加壓力相對于靜力作用力大很多，對軸承的危害是很大的。而且通過比較可以看出，同等質量的三角板比正方板產生的軸上附加壓力要大很多，因此三角形轉子的安裝比正方板型轉子的安裝要求更高。

[1]楊春艷，吉恒，李開毅.三種分析定軸轉動剛體軸上附加壓力的教學方法對比研究[J].玉溪師范學院理學院學報，2015，31(4)：29～31.

[2]周衍柏.理論力學教程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2014：129～137.

[3]韓眾.幾種形狀規則剛體轉動慣量的計算[J].山西大同大學學報，2014，30(4)：25～26.

[4]周瑞雪.對幾種剛體轉動慣量的研究[J].貴陽學院學報(自然科學版)，2011，6(3)：10～13.

[5]宋洪訓.淺談定軸轉動剛體的動量矩[J].大學物理，2009，18(6)：15～17.

[編輯]洪云飛

2016-04-19

湖北省教育廳科學研究計劃項目(B2014084)。

蔣再富(1981-)，男，碩士，講師，現主要從事理論物理方面的教學與研究工作；E-mail:jiangzaifu23003@163.com。

O313.3

A

1673-1409(2016)19-0069-03

[引著格式]蔣再富，張定梅.轉子定軸轉動時軸上附加壓力計算的研究[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(19)：69～71.