基于循環(huán)矩陣和Arnold變換的局部非等長(zhǎng)圖像置亂方法

宮珊珊

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230022)

李木軍

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)精密機(jī)械與精密儀器系, 安徽 合肥 230026)

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基于循環(huán)矩陣和Arnold變換的局部非等長(zhǎng)圖像置亂方法

宮珊珊

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230022)

李木軍

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)精密機(jī)械與精密儀器系, 安徽 合肥 230026)

通過圖像置亂的方法將圖像矩陣打亂以實(shí)現(xiàn)信息加密，是當(dāng)前信息安全研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題。以循環(huán)矩陣思想為基礎(chǔ)，提出一種新的圖像置亂算法。該算法針對(duì)圖像中包含敏感信息的局部非等長(zhǎng)區(qū)域，結(jié)合循環(huán)矩陣和Arnold變換的方法，從空間位置上均勻地打亂圖像像素的位置，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像關(guān)鍵部分的置亂加密。該算法可對(duì)圖片中任意大小的矩形進(jìn)行加密和解密，具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、置亂度高、易于操作等特點(diǎn)。

圖像置亂；非等長(zhǎng)局部圖像；循環(huán)矩陣；Arnold變換

現(xiàn)代信息技術(shù)的蓬勃發(fā)展，為圖像的獲取、處理、保存以及傳播提供了非常大的便利，但由此也帶來相應(yīng)的安全問題。一些圖像往往包含敏感信息或個(gè)人隱私信息，如銀行卡號(hào)、手機(jī)號(hào)、身份證號(hào)等。圖像加密技術(shù)是信息安全領(lǐng)域的重要研究問題，為圖像信息的安全提供了重要的保障。

圖像置亂是一類重要的圖像加密技術(shù)，通過將圖像信息進(jìn)行空間或頻率上的變換，使得有意義的信息變得錯(cuò)亂無章，從而達(dá)到隱藏或偽裝關(guān)鍵信息的目的，提高信息安全性。圖像置亂可以在位置、色彩或頻率空間上進(jìn)行。當(dāng)前已提出的置亂方法主要有Arnold 變換[1，2]、幻方變換[3]、Gray代碼[4]、Hilbert變換[5]、cross-image pixel 算法[6]、基于混沌的算法[7]以及自相關(guān)加密算法[8]等。其中Arnold 變換[1]因?yàn)椴僮骱?jiǎn)單且具有周期性而被廣泛使用，但傳統(tǒng)的Arnold圖像置亂變換一般用于正方形圖像處理，不適于處理一般的矩形圖像。處理非等長(zhǎng)二維圖像置亂的方法主要有2種。第1種方法是對(duì)非等長(zhǎng)圖像進(jìn)行正方形擴(kuò)展，將非等長(zhǎng)圖像擴(kuò)展為等長(zhǎng)圖像進(jìn)行處理[9]。這種簡(jiǎn)單擴(kuò)展圖像矩陣的方法需對(duì)像素矩陣擴(kuò)展，增加了圖像的信息[10]。在此方法基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[11]提出將原非等長(zhǎng)圖像劃分為有限多個(gè)有重合區(qū)域的正方形區(qū)域塊，對(duì)每個(gè)正方形塊從左到右順序置亂的方法。第2種方法是使用高維置亂變換陣，用多維等長(zhǎng)Arnold變換處理非等長(zhǎng)圖像[12]。該方法不需要進(jìn)行圖像擴(kuò)展，但增加了維數(shù), 使得計(jì)算代價(jià)提高。

上述研究方法是針對(duì)整幅圖像的，然而在很多場(chǎng)合下并不希望對(duì)整幅圖像進(jìn)行置亂，而僅需要對(duì)局部的敏感信息進(jìn)行處理。譬如在新車展示中隱藏車牌，身份證復(fù)印件中隱藏身份證號(hào)等。針對(duì)此類問題，筆者結(jié)合循環(huán)矩陣和Arnold變換的方法，提出一種新的置亂方法。首先將循環(huán)矩陣的思想引入圖像置亂中，對(duì)原始圖像的關(guān)鍵部分進(jìn)行預(yù)置亂，然后再利用基于Arnold變換的方法進(jìn)行再置亂，達(dá)到對(duì)一張圖片的關(guān)鍵信息加密并解密的目的。

1　基本算法分析

1.1基于循環(huán)矩陣的圖像置亂

循環(huán)矩陣是一種特殊形式的矩陣，其行向量的每個(gè)元素都是前一個(gè)行向量各元素依次右移一個(gè)位置得到的結(jié)果。如：

該循環(huán)矩陣除了第一行和第一列以外的元素，每個(gè)元素的值都和左上角元素值相等。基于這一思想，對(duì)任意具有上述形式的矩陣，把其對(duì)角線和平行于對(duì)角線的所有元素組成列向量組，即得到想要的置亂矩陣。

利用循環(huán)矩陣進(jìn)行置亂的一個(gè)實(shí)例如圖1和圖2所示。圖1為原始圖片，在黑色背景上畫有Blizzard公司的宣傳廣告，圖2為置亂后的效果圖。從圖2中可以看出，Blizzard公司的廣告內(nèi)容已經(jīng)被置亂，內(nèi)容已經(jīng)被打亂并且文字變得模糊難以分辨。與原圖比較，已經(jīng)基本上看不出真實(shí)信息。

1.2基于Arnold變換的圖像置亂

對(duì)于正方形的數(shù)字圖像，離散化的Arnold變換為：

其中，N為圖像的寬度和高度。

對(duì)于數(shù)字圖像而言，位置移動(dòng)實(shí)際上是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值或RGB顏色值的移動(dòng)，即將原來點(diǎn)(x，y)處象素對(duì)應(yīng)的灰度或RGB值移動(dòng)至變換后的點(diǎn)(x′，y′)處。可以迭代進(jìn)行Arnold變換，即將左端輸出作為下一次變換的輸入。當(dāng)?shù)欢ù螖?shù)時(shí)，滿足對(duì)圖像置亂度的要求，計(jì)算停止。

仍以圖1作為原始圖片，基于Arnold變換的圖像置亂處理，一次迭代后的效果如圖3所示。從圖3中可以看出，Blizzard公司的廣告內(nèi)容已經(jīng)被置亂，很難辨認(rèn)真實(shí)的圖像信息。

圖1　置亂前的原始圖像　　　　　圖2　基于循環(huán)矩陣的圖像置亂　　　圖3　基于Arnold變換的圖像置亂

1.3循環(huán)矩陣與Arnold變換相結(jié)合的置亂方法

將循環(huán)矩陣思想與基于Arnold變換的數(shù)字置亂方法結(jié)合產(chǎn)生的新的置亂方法運(yùn)用于數(shù)字圖像關(guān)鍵部分的置亂加密，具體過程如下：

1)將圖像中需要進(jìn)行置亂處理的局部區(qū)域提取出來，復(fù)制給同樣大小的臨時(shí)矩陣。這個(gè)區(qū)域可以是任意非等長(zhǎng)的矩形區(qū)域。循環(huán)矩陣和Arnold變換方法只能處理方陣的情形，因此，參考文獻(xiàn)[11]的做法，將非正方形區(qū)域分成幾個(gè)正方形小區(qū)域，分別進(jìn)行置亂加密。解密恢復(fù)時(shí)，也分別進(jìn)行。

2)對(duì)提取出來的臨時(shí)方陣，首先按照循環(huán)矩陣的思想進(jìn)行預(yù)置亂，然后用基于Arnold變換的數(shù)字置亂方法進(jìn)行置亂加密，最后把變換過的方陣再放回原來的矩陣的相應(yīng)位置。重復(fù)上述過程直至所有臨時(shí)方陣處理完畢。

3)將變換后的局部矩形區(qū)域圖像替換原圖中對(duì)應(yīng)的部分，完成圖像局部非等長(zhǎng)區(qū)域的加密。

不同于灰度圖，彩色圖像有R、G、B 3個(gè)通道，所以對(duì)彩色圖片進(jìn)行置亂必須要對(duì)R、G、B這3個(gè)通道都分別進(jìn)行置亂。同理，解密恢復(fù)時(shí)也必須分別對(duì)R、G、B 3個(gè)通道進(jìn)行恢復(fù)。

1.4解密算法分析

對(duì)加密后的圖像進(jìn)行解密實(shí)際上是加密過程的一個(gè)逆過程，步驟如下：

1)讀取需要解密的圖像，對(duì)加密的區(qū)域進(jìn)行提取，并對(duì)該區(qū)域用一定大小的正方形區(qū)域(加密時(shí)已確定)進(jìn)行分割，將得到的若干正方形小區(qū)域復(fù)制給同樣大小的臨時(shí)方陣。

2)對(duì)得到的臨時(shí)方陣進(jìn)行Arnold逆運(yùn)算。需要注意的是，由于加密時(shí)進(jìn)行Arnold變換的迭代計(jì)算，因此在解密時(shí)，Arnold逆運(yùn)算也需要依次進(jìn)行相同次數(shù)的迭代。

3)將上述Arnold逆運(yùn)算所得矩陣按循環(huán)矩陣加密的逆運(yùn)算方式進(jìn)行變換，即可得到加密臨時(shí)方陣的解密方陣。

4)重復(fù)進(jìn)行步驟2)和步驟3)，直至所有的臨時(shí)小方陣都解密。將解密后的臨時(shí)小方陣賦予對(duì)應(yīng)的正方形小區(qū)域，并將所有這些小區(qū)域進(jìn)行組合，即可對(duì)整個(gè)加密區(qū)域進(jìn)行恢復(fù)，解密完成。

2　置亂效果評(píng)價(jià)

為了度量加密圖像中灰度變化程度，采用出灰度變化平均值GAVE進(jìn)行判斷[13]。若A，B分別是原始圖像和置亂后的圖像，則：

為B相對(duì)于A的灰度變化平均值，其中M×N表示2個(gè)圖像的大小。

灰度變化平均值在A與B相同時(shí)取最小值0，而當(dāng)加密圖像為原圖像的逆，即bij=L-aij時(shí)取最大值L。對(duì)于一個(gè)加密圖像，并非該值越大加密圖像的安全性就越高，而是2個(gè)圖像灰度變化越均勻，圖像置亂效果越好。

圖4　置亂效果比較

針對(duì)圖1，分別用基于Arnold變換和基于筆者提出的方法進(jìn)行圖像置亂。分別迭代1、5、10、20、30、40和50次，得到的灰度變化平均值GAVE如圖4所示。從圖4中可見，隨著迭代次數(shù)的增加，2種算法得到灰度變化平均值在10次迭代以后均能基本上收斂，表明算法收斂快，效率高，置亂均比較穩(wěn)定。不同的是，筆者提出的方法在Arnold變換之前對(duì)圖像置亂區(qū)域進(jìn)行了循環(huán)矩陣變換運(yùn)算，使得置亂圖像更加雜亂無章，而這也使得灰度變化平均值獲得一定的提高，圖像灰度變化更均勻，圖像置亂效果更好。從圖4中可見，除迭代一次外，其余情況下筆者提出的方法比基于Arnold變換的圖像置亂方法性能要好，且該置亂方法克服了單一Arnold變換的周期性回歸的缺點(diǎn)。

3　試驗(yàn)結(jié)果及分析

身份證號(hào)碼是身份證上的關(guān)鍵信息，它位于身份證上一個(gè)非正方形的區(qū)域內(nèi)。因此將這個(gè)非正方形區(qū)域分成若干個(gè)正方形小區(qū)域[11]，分別進(jìn)行置亂加密。解密恢復(fù)時(shí)，也分別進(jìn)行。

對(duì)身份證樣證進(jìn)行置亂和恢復(fù)的效果如圖5和圖6所示。從圖5可以看到經(jīng)過加密后，身份證的號(hào)碼部分被完全置亂，置亂后的身份證號(hào)碼呈現(xiàn)無規(guī)則排列的均勻圖案，并與原來的圖片較為和諧的融合在一起，顯得整潔美觀。

圖像恢復(fù)是圖像置亂的逆過程。在上述置亂加密過程中，由于身份證圖像的特殊性，身份證號(hào)碼固定為18位。據(jù)此將需要加密的圖形區(qū)域分割成18個(gè)方形小區(qū)域，每個(gè)區(qū)域?qū)?yīng)一位數(shù)字。解密時(shí)首先對(duì)這些方形小區(qū)域運(yùn)用Arnold逆變換依次進(jìn)行迭代(考慮到計(jì)算效率和置亂效果，算例中選擇迭代5次)。然后將Arnold逆變換后得到的方陣進(jìn)行循環(huán)矩陣反向過程運(yùn)算，得到恢復(fù)后的方形小區(qū)域。需要說明的是，由于處理的是彩色圖像，因此每個(gè)方形小區(qū)域需要按R、G、B 3個(gè)通道分別進(jìn)行變換運(yùn)算。當(dāng)所有方形小區(qū)域都恢復(fù)后，重新組合并替換掉加密圖像中的已被置亂的身份證號(hào)碼區(qū)域，即可得到解密后的恢復(fù)圖像。

圖6是對(duì)置亂后的身份證樣證進(jìn)行恢復(fù)的效果圖，解密恢復(fù)后身份證號(hào)碼信息清晰可見，被置亂加密的信息完整恢復(fù)，說明筆者提出的算法是有效的。

圖5　局部加密后的身份證樣證　　　　　　　　　　　　　　圖6　解密后的身份證樣證

4　結(jié)語

首先將循環(huán)矩陣的思想引入圖像置亂中，對(duì)將要進(jìn)行置亂的圖像的關(guān)鍵部分進(jìn)行預(yù)置亂，然后再利用基于Arnold方法的圖像置亂方法進(jìn)行再置亂，實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)字圖像關(guān)鍵部分的置亂加密與解密恢復(fù)工作。作為該算法的試驗(yàn)驗(yàn)證，將這種新的置亂方法應(yīng)用在身份證號(hào)碼加密中，達(dá)到快速加密、解密的效果。該置亂方法不僅可用于灰度圖也可用于真彩圖。該方法將Arnold 變換的置亂方法推廣到了圖像的局部矩形區(qū)域的情形，拓寬了Arnold 變換的應(yīng)用范圍，豐富了Arnold 變換在圖像加密中的應(yīng)用。

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[編輯]張濤

2016-04-16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51475442)；安徽省教育廳重點(diǎn)重大項(xiàng)目(KJ2015A322)；安徽建筑大學(xué)校質(zhì)量工程項(xiàng)目(2012yx26)。

宮珊珊(1979-)，女，碩士，講師，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。

李木軍(1976-)，男，博士，副教授，現(xiàn)主要從事CAD/CAM方面的教學(xué)與研究工作；E-mail:lmn@ustc.edu.cn。

TP391.9

A

1673-1409(2016)19-0065-04

[引著格式]宮珊珊，李木軍.基于循環(huán)矩陣和Arnold變換的局部非等長(zhǎng)圖像置亂方法[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2016,13(19)：65～68.