含有對數項混沌系統的動力學分析

張坦通（河南牧業經濟學院　信息與電子工程學院，河南　鄭州　450044）

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含有對數項混沌系統的動力學分析

張坦通
（河南牧業經濟學院信息與電子工程學院，河南鄭州450044）

利用自然對數函數的特征，構造了一個含有對數項的混沌系統，該系統含有3個參數、1個對數形式和2個乘積形式的非線性項，對該系統的一些動力學特性，如耗散性、平衡點及穩定性進行了系統性分析，結果表明新的對數混沌系統對系統參數的敏感性，揭示了系統具有復雜的動力學特性。

對數；混沌；Maltab仿真；動力學分析

1963年，美國氣象學家洛倫茨［1］在研究氣象學的基礎上提出了混沌理論，自此學者對混沌理論產生了極大的興趣。半個世紀以來，混沌理論的研究和應用已經在經濟學、物理學、信息學、密碼學等領域受到了廣泛的關注，并成為非線性科學研究領域的一個重要分支，并相繼提出了許多新的混沌系統如chen系統、Liu系統、LU系統等［2-4］。近年來，研究學者又開始嘗試構造不同類型的混沌系統，如指數混沌系統、分階數混沌系統、對數混沌系統等，進一步豐富了混沌的動力學理論。該文在LU混沌系統的基礎上設計了一個新的具有自然對數函數形式非線性項的混沌系統，通過理論推導、matlab仿真、系統的Lyapunov指數譜及分岔圖分析了該系統的動力學特性。

1　對數混沌系統

該文研究構造的對數混沌系統的動力學方程為：

式（1）中，x、y、z為系統變量，a、b、c為系統參數，當a= 28、b=20、c=30時，系統存在一個典型的混沌吸引子如圖1所示。通過數值計算，可得系統的3個Lyapunov指數為LE1=2.772、LE2=0.000、LE3=-12.783，而且系統的維數是分數，因此該系統具有混沌特性。

2　基本動力學分析

2.1耗散性

由于系統的散度為：

圖1　混沌系統吸引子相圖

2.2平衡點及穩定性

為求系統的平衡點，令系統（1）各式右邊等于0，即：

求得系統的平衡點為：

在平衡點s0=（0，0，1）處對系統進行線性化，求得Jacobian矩陣為：

由其特征方程|λI-J=0|可得：

特征值為：

為了使所有的特征值實部為負，則c＞0、a＞b，根據線性系統理論可知此時平衡點s0是漸進穩定的。反之，則可判定平衡點是不穩定的。同理，可判定平衡點s1、s2的穩定性。

2.3Lyapunov指數（LE）譜與分岔圖

非線性動力系統的狀態主要是由系統參數決定的，為了分析參數變化對系統狀態的影響，下面從系統3個方向的Lyapunov指數譜與分岔圖來討論其影響。

①固定參數b=20、c=30，改變參數a，a∈［25，40］。

當a在［25，40］范圍內變化時，系統LE譜如圖2所示，當a∈［25，26）時，系統的3個Lyapunov指數為：LE1=0，LE2＜0，LE3＜0，此時系統為周期運動；當a∈［26，40］時，除個別點系統的最大Lyapunov指數LE1=0，系統為周期運動，其他點處的Lyapunov指數為：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系統處在混沌狀態。當a∈［25，40］變化時，關于x的分岔圖如圖3所示，從分岔圖上也能分析出以上所得結果。

②固定參數a=28，c=30，改變參數b，b∈［10，25］。

當b在［10，25］區間變化時，系統的Lyapunov指數譜如圖4所示，當b∈［10，13.2］或［22.2，25］時，系統的最大LE1=0，此時系統為周期運動；當b∈（13.2，22.2）時，除極個別點的最大LE1=0，系統為周期狀態，其他點處的Lyapunov指數為：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系統為混沌狀態，由圖5所示的關于x的分岔圖中也能得出相同的判斷。

圖2　a變化時系統的LE譜

圖3　a變化時x的分岔圖

圖5　b變化時x的分岔圖

③固定參數a=28，b=20，改變參數c，c∈［20，60］。

當c在［20，60］變化時，圖6為系統的LE譜圖，當c∈［20，56］時，除個別點的最大LE1=0，系統為周期的，其他點處的最大LE1均大于0，系統為混沌狀態，當c∈（56，60］時，系統最大LE1=0，系統為周期運動，由圖7所示的關于x的分岔圖中也能得出相同的結論。

圖6　c變化時系統LE譜

3　結語

該文研究了一個新的含有對數項的三維自治混沌系統，通過數值仿真、平衡點及穩定性分析、Lyapunov指數譜和分岔圖等幾個方面，對系統的基本動力學特性進行了分析，證實了系統具有豐富的混沌特性，其結果進一步拓展了混沌理論及其應用的研究領域。

［1］Lorenz EN.Deterministic nonperodic flow［J］.Journal of the Atmospheric Sciences，1963（2）：130-141.

［2］Chen GR，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999（7）：1465-1466.

［3］Liu C X，Liu T，Liu L.A New Chaotic Attractor［J］. Chaos，Solitons and Fractals，2004（5）：1031-1038.

［4］王震，孫衛.T混沌系統的動力學分析與同步及電路仿真［J］.物理學報，2013（2）：20511.

Dynamic Analysis of a Chaotic System with Logarithmic Terms

Zhang Tantong
（School of Information and Electronic Engineering，Henan Animal Husbandry Economic College，Zhengzhou Henan 450044）

making use of the characteristic of the natural logarithmic function，the construct containing a logarithmic term of chaotic system.The system contains three parameters，a logarithmic form and two product form of the nonlinear term and the dynamical properties of the system，such as dissipation，equilibrium and stability of the system analysis.The results show that new logarithm chaos system to system parameter sensitivity，reveals the system with complex dynamic characteristics.

logarithm；chaos；Maltab simulation；dynamic analysis

O415.5

A

1003-5168（2016）04-0035-03

2016-03-08

張坦通（1983-），男，碩士，助教，研究方向：非線性電路與智能信息處理。