含有對數(shù)項混沌系統(tǒng)的動力學分析

張?zhí)雇ǎê幽夏翗I(yè)經(jīng)濟學院　信息與電子工程學院，河南　鄭州　450044）

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含有對數(shù)項混沌系統(tǒng)的動力學分析

張?zhí)雇?br/>（河南牧業(yè)經(jīng)濟學院信息與電子工程學院，河南鄭州450044）

利用自然對數(shù)函數(shù)的特征，構造了一個含有對數(shù)項的混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)含有3個參數(shù)、1個對數(shù)形式和2個乘積形式的非線性項，對該系統(tǒng)的一些動力學特性，如耗散性、平衡點及穩(wěn)定性進行了系統(tǒng)性分析，結果表明新的對數(shù)混沌系統(tǒng)對系統(tǒng)參數(shù)的敏感性，揭示了系統(tǒng)具有復雜的動力學特性。

對數(shù)；混沌；Maltab仿真；動力學分析

1963年，美國氣象學家洛倫茨［1］在研究氣象學的基礎上提出了混沌理論，自此學者對混沌理論產(chǎn)生了極大的興趣。半個世紀以來，混沌理論的研究和應用已經(jīng)在經(jīng)濟學、物理學、信息學、密碼學等領域受到了廣泛的關注，并成為非線性科學研究領域的一個重要分支，并相繼提出了許多新的混沌系統(tǒng)如chen系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)、LU系統(tǒng)等［2-4］。近年來，研究學者又開始嘗試構造不同類型的混沌系統(tǒng)，如指數(shù)混沌系統(tǒng)、分階數(shù)混沌系統(tǒng)、對數(shù)混沌系統(tǒng)等，進一步豐富了混沌的動力學理論。該文在LU混沌系統(tǒng)的基礎上設計了一個新的具有自然對數(shù)函數(shù)形式非線性項的混沌系統(tǒng)，通過理論推導、matlab仿真、系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜及分岔圖分析了該系統(tǒng)的動力學特性。

1　對數(shù)混沌系統(tǒng)

該文研究構造的對數(shù)混沌系統(tǒng)的動力學方程為：

式（1）中，x、y、z為系統(tǒng)變量，a、b、c為系統(tǒng)參數(shù)，當a= 28、b=20、c=30時，系統(tǒng)存在一個典型的混沌吸引子如圖1所示。通過數(shù)值計算，可得系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)為LE1=2.772、LE2=0.000、LE3=-12.783，而且系統(tǒng)的維數(shù)是分數(shù)，因此該系統(tǒng)具有混沌特性。

2　基本動力學分析

2.1耗散性

由于系統(tǒng)的散度為：

圖1　混沌系統(tǒng)吸引子相圖

2.2平衡點及穩(wěn)定性

為求系統(tǒng)的平衡點，令系統(tǒng)（1）各式右邊等于0，即：

求得系統(tǒng)的平衡點為：

在平衡點s0=（0，0，1）處對系統(tǒng)進行線性化，求得Jacobian矩陣為：

由其特征方程|λI-J=0|可得：

特征值為：

為了使所有的特征值實部為負，則c＞0、a＞b，根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知此時平衡點s0是漸進穩(wěn)定的。反之，則可判定平衡點是不穩(wěn)定的。同理，可判定平衡點s1、s2的穩(wěn)定性。

2.3Lyapunov指數(shù)（LE）譜與分岔圖

非線性動力系統(tǒng)的狀態(tài)主要是由系統(tǒng)參數(shù)決定的，為了分析參數(shù)變化對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，下面從系統(tǒng)3個方向的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖來討論其影響。

①固定參數(shù)b=20、c=30，改變參數(shù)a，a∈［25，40］。

當a在［25，40］范圍內變化時，系統(tǒng)LE譜如圖2所示，當a∈［25，26）時，系統(tǒng)的3個Lyapunov指數(shù)為：LE1=0，LE2＜0，LE3＜0，此時系統(tǒng)為周期運動；當a∈［26，40］時，除個別點系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)LE1=0，系統(tǒng)為周期運動，其他點處的Lyapunov指數(shù)為：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系統(tǒng)處在混沌狀態(tài)。當a∈［25，40］變化時，關于x的分岔圖如圖3所示，從分岔圖上也能分析出以上所得結果。

②固定參數(shù)a=28，c=30，改變參數(shù)b，b∈［10，25］。

當b在［10，25］區(qū)間變化時，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖4所示，當b∈［10，13.2］或［22.2，25］時，系統(tǒng)的最大LE1=0，此時系統(tǒng)為周期運動；當b∈（13.2，22.2）時，除極個別點的最大LE1=0，系統(tǒng)為周期狀態(tài)，其他點處的Lyapunov指數(shù)為：LE1＞0，LE2=0，LE3＜0，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，由圖5所示的關于x的分岔圖中也能得出相同的判斷。

圖2　a變化時系統(tǒng)的LE譜

圖3　a變化時x的分岔圖

圖5　b變化時x的分岔圖

③固定參數(shù)a=28，b=20，改變參數(shù)c，c∈［20，60］。

當c在［20，60］變化時，圖6為系統(tǒng)的LE譜圖，當c∈［20，56］時，除個別點的最大LE1=0，系統(tǒng)為周期的，其他點處的最大LE1均大于0，系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，當c∈（56，60］時，系統(tǒng)最大LE1=0，系統(tǒng)為周期運動，由圖7所示的關于x的分岔圖中也能得出相同的結論。

圖6　c變化時系統(tǒng)LE譜

3　結語

該文研究了一個新的含有對數(shù)項的三維自治混沌系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真、平衡點及穩(wěn)定性分析、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等幾個方面，對系統(tǒng)的基本動力學特性進行了分析，證實了系統(tǒng)具有豐富的混沌特性，其結果進一步拓展了混沌理論及其應用的研究領域。

［1］Lorenz EN.Deterministic nonperodic flow［J］.Journal of the Atmospheric Sciences，1963（2）：130-141.

［2］Chen GR，Ueta T.Yet another chaotic attractor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos，1999（7）：1465-1466.

［3］Liu C X，Liu T，Liu L.A New Chaotic Attractor［J］. Chaos，Solitons and Fractals，2004（5）：1031-1038.

［4］王震，孫衛(wèi).T混沌系統(tǒng)的動力學分析與同步及電路仿真［J］.物理學報，2013（2）：20511.

Dynamic Analysis of a Chaotic System with Logarithmic Terms

Zhang Tantong
（School of Information and Electronic Engineering，Henan Animal Husbandry Economic College，Zhengzhou Henan 450044）

making use of the characteristic of the natural logarithmic function，the construct containing a logarithmic term of chaotic system.The system contains three parameters，a logarithmic form and two product form of the nonlinear term and the dynamical properties of the system，such as dissipation，equilibrium and stability of the system analysis.The results show that new logarithm chaos system to system parameter sensitivity，reveals the system with complex dynamic characteristics.

logarithm；chaos；Maltab simulation；dynamic analysis

O415.5

A

1003-5168（2016）04-0035-03

2016-03-08

張?zhí)雇ǎ?983-），男，碩士，助教，研究方向：非線性電路與智能信息處理。