給學生思開維啟的鑰匙
——《多邊形的內角和》教學賞析

○包曉燕

給學生思開維啟的鑰匙
——《多邊形的內角和》教學賞析

○包曉燕

●數學是思維的體操，數學課堂是促進學生思維發展的主陣地。特級教師嚴育洪老師的《多邊形的內角和》一課，以問題為抓手，喚醒學生已有的知識經驗，與學生一起探究、梳理、拓展，幫助學生打開思維之門。

《多邊形的內角和》是“綜合與實踐”這一領域的內容，屬于規律探索類課型。教材安排這一實踐活動的價值不僅僅在于得出一個結論，而是重在讓學生經歷規律探索的過程與方法，積累數學活動經驗，發展數學思維。因此，這需要教師給學生開啟思維的鑰匙。課上的時間是有限的，如何利用有限的時間讓學生舉一反三、靈活運用，以不變應萬變呢？嚴育洪老師為我們做了很好的詮釋。

一、喚醒：變開門見山為曲徑通幽

1.出示三角尺。

師：三角尺有什么用？

生1：可以用來畫三角形。

生2：可以用來測量三角形是不是直角三角形。

生3：還可以用相同的三角形拼出平行四邊形、長方形、三角形。

師：三角尺是三角形的，這個三角形特殊嗎？特殊在哪里？

生：有一個角是直角。

師：關于這個三角形你們還知道什么？

生：一個角是60°，一個角是30°。這個直角三角形的內角和是180°。

2.出示：

師：這個三角形特殊嗎？它的內角和是多少度？

3.陸續出示：

師：這兩個是一般三角形，它們的內角和是多少度？

賞析：嚴老師并沒有直接出現“三角形的內角和是180°”，而是以一把生活中常見的三角尺“激疑”：三角尺有什么用？三角尺的形狀有什么特殊？三角形的內角和是多少？而這一個個看似簡單的問題，都與本課所學知識密切相關：“量”“拼”“算”，這是解決多邊形內角和的具體方法；“從特殊到一般”，這是探索規律的思維方法；三角形的內角和是舊知，這是新知的生長點。

二、探究：化抽象籠統為抽絲剝繭

1.特殊四邊形的內角和。

師：從三角形的內角和，你想到了什么？你覺得四邊形的內角和是多少度？

生1：因為三角形的內角和是180°，我想180°除以3，每個角就是60°，四邊形的內角和就是240°。

生2：我覺得可能是360°。

師：兩位同學有不同的想法，那么我們就一起來研究四邊形的內角和。同樣，我們先從特殊四邊形開始研究。（出示正方形）這個四邊形的內角和是多少？由正方形你還能想到什么？長方形的內角和是多少度？

2.直角梯形的內角和。

出示：

師：這是一個直角梯形，另外兩個角的度數可以知道嗎？有量角器的可以用量角器量，沒有量角器的可以用三角尺拼一拼。

（學生測量，交流展示。）

師：這個梯形的內角和是多少度？

生：90°+90°+120°+60°=360°。

師：來看第一種拼法，相當于把這個梯形分成了兩個三角形（如下圖）。

生：180°×2=360°。

師：同樣，再看第二種拼法（如下圖）。

師：360°+180°，怎么會多出來180°呢？

生：把它分成兩個圖形后，多出來了兩個直角，所以要減去180°。

師：你說得對，多出來的兩個直角不是內角，所以360°+180°-180°=360°。第三種拼法，也是把梯形分成了兩個三角形。不同的分法都能得到內角和是360°，你覺得哪種方法簡單呢？

生：分的時候要分成兩個三角形，這樣就比較簡單。

師：就是說這條線段應該是連接兩個頂點的線段。

3.一般四邊形的內角和。

學生自己畫，自己分，求出一般四邊形的內角和。

賞析：在課堂中，教師是“引路人”，時刻伴在學生的左右給予必要的幫助。對于四邊形內角和的研究，嚴老師采用從特殊到一般的方法，抽絲剝繭，層層深入。首先把目光聚焦在直角梯形上，打開學生的思維，用“量”“拼”“算”等多種方法尋求答案，方法各異，殊途同歸。這樣的設計讓學生在體驗的過程中不斷提出問題、思考問題、解決問題，激活了學生的問題意識，使學生的思維一步步向預定目標邁進。

三、梳理：換紛繁復雜為清晰明了

師：我們知道了三角形的內角和是180°，四邊形的內角和是360°，五邊形的內角和是不是720°呢？

師：你能不能自己畫一個五邊形，并想辦法得到它的內角和呢？

（學生自由畫，教師展示學生作品，點評。）

師：看來五邊形的內角和不是720°，而是540°。

賞析：嚴老師的課堂是民主的，是容錯的。同學們各抒己見，不管是對是錯，只要想得有道理，就已經是開啟了思維之門。學生猜“四邊形的內角和就是240°”，教師設伏“五邊形的內角和是720°”，這些都不是問題，只要尋找到正確的研究方向，自然會有收獲。

師：由五邊形繼續往下研究，你知道六邊形的內角和是多少度嗎？

師：下面，我們一起來整理一下研究過的圖形（如下圖）。

賞析：當探索出四邊形的內角和后，學生可以很自然地想要探索五邊形、六邊形的內角和，嚴老師給予學生時間和空間，讓學生自主探索。當五邊形、六邊形的內角和也探索出后，嚴老師引導學生整理研究的成果。學生梳理的過程，是獨立分析問題、解決問題的過程，也是培養他們創造力和思考能力的過程。

四、拓展：從點到為止到觸類旁通

1.歸納概括。

師：繼續往下研究，如果研究16邊形，你覺得它的內角和是多少度？

生：16-2=14，14×180°。

師：你是怎么看出要16減2的？

（生答略。）

師：那么多邊形的內角和怎么算？

生：多邊形的內角和=（邊數-2）×180°。

賞析：教學要沿著學生的思維軌跡自然行走，讓學生在自由的空間里自發地學習。在整理完五邊形、六邊形的內角和后，嚴老師提出了“如果研究16邊形，你覺得它的內角和是多少度”，這個問題不但具有挑戰性，更具有跳躍性，然而學生在嚴老師的引導下，自主探究，打開思維之門，很快就找到了16邊形的內角和。

2.回顧方法。

師：我們先從最簡單的三邊形開始研究，再研究復雜的四邊形、五邊形等，研究每一種圖形的時候是先特殊后一般的順序把多邊形轉化成三角形來研究。并且，在研究的過程中，我們不斷排除錯誤的猜想，從而找到正確的答案。從簡單的問題想起，有序思考，是探索規律的有效方法。

3.滲透延伸。

師：同學們，今天我們研究的是內角和，既然有內角，那有沒有外角呢？外角和有沒有規律呢？

賞析：一堂課的結束，并不意味著研究的結束，嚴老師教學的內容往往不是一堂課能夠完成的，他總會把課堂上有疑惑的內容留給學生繼續去研究，為學生思維的進一步發展提供了方向。